函数的最值与导数

关于函数的最值与导数1．函数的最大值f(x0)＝M

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0

∈I，使得__________．那么称M是函数y＝f(x)的最大值．f(x)≤M2．函数的最小值f(x0)＝M

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有________；②存在x0

∈I，使得__________．那么称M是函数y＝f(x)的最小值．f(x)≥M

复旧知新第2页,共26页，2024年2月25日，星期天0xyabf(a)f(b)

复旧知新问题一：函数极值相关概念（1）若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都小大，满足f'(b)=0且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。（2）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,满足f'(a)=0且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。第3页,共26页，2024年2月25日，星期天

复旧知新问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？解方程f'(x)=0。当f'(x0)=0时：（1）如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧

f'(x)<0

,那么f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值；第4页,共26页，2024年2月25日，星期天

观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象，你能找出它的极大值和极小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？

讲授新课x1极大值：f(x2)，f(x4)，f(x6)极小值：f(x1)，f(x3)，f(x5)最大值：f(a)最小值：f(x3)x2x3x4x5x6ba第5页,共26页，2024年2月25日，星期天oxyaby=f(x)y=f(x)oxyaboxyaby=f(x)oxyaby=f(x)性质探究探究问题1：开区间上的最值问题结论

在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值。若有最值，一定在极值点处取得。

如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？第6页,共26页，2024年2月25日，星期天性质探究探究问题2：闭区间上的最值问题y=f(x)abx1x2x4x3yxoaby=f(x)

如图，观察[a，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？

一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。结论

特别地，若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则最值则在端点处取得。yxo第7页,共26页，2024年2月25日，星期天Oxyabx3x2x1Oxyabx1x2x3Oxyabx2x1思考1观察下列图形,找出函数的最值并总结规律图1图3图2连续函数在[a,b]上必有最值；并且在极值点或端点处取到.第8页,共26页，2024年2月25日，星期天观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？

xX2oaX3bx1yy=f(x)思考2追踪练习第9页,共26页，2024年2月25日，星期天

(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)

比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.

求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；注意:在定义域内,最值唯一;极值不唯一方法总结第10页,共26页，2024年2月25日，星期天例1.给出下列说法：（1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值。（2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。（3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值。（4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极值。其中说法正确的有（）牛刀小试(4)第11页,共26页，2024年2月25日，星期天例1.已知函数,求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值．

x(0.2)2(2,3)y′-0+y递减递增第12页,共26页，2024年2月25日，星期天典例精讲例2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3,5]上的最值。解：f'(x)=48-3x2=-3(x2-16)=-3(x-4)(x+4)令f'(x)=0，得

x=4或x=-4（舍）当-3<x<4时，f'(x)>0，函数单调递增；

当4<x<5时，f'(x)<0，函数单调递减；所以当x=4时，函数取得极大值，且极大值f(4)=128；

又f(-3)=-117,f(5)=115所以函数在区间[-3,5]

上最大值为

128，最小值为-117.

第13页,共26页，2024年2月25日，星期天

求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2,1]上的最值解：

又f(-2)=1,f(1)=-8所以函数在区间[-2,1]

上最大值为

12,最小值为-8

巩固练习f'(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)，令f'(x)=0，得x=-1或x=2（舍）当-2<x<-1时，f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；所以当x=-1时，函数取得极大值，且极大值f(-1)=12；第14页,共26页，2024年2月25日，星期天练一练：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值。第15页,共26页，2024年2月25日，星期天4、函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（)(A)-4(B)0(C)16

(D)

20C学以致用第16页,共26页，2024年2月25日，星期天第17页,共26页，2024年2月25日，星期天反思：本题属于逆向探究题型：

其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。能力提升已知函数在[-2,2]上有最小值-37，（1）求实数a的值；（2）求f(x)在[-2,2]上的最大值第18页,共26页，2024年2月25日，星期天已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．

第19页,共26页，2024年2月25日，星期天例4．设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(t>0)（1）求f(x)的最小值h(t)；（2）若h(t)<-2t+m对(0<t<2)恒成立，求实数m的取值范围．

第20页,共26页，2024年2月25日，星期天

单调递减10

单调递增极大值第21页,共26页，2024年2月25日，星期天第22页,共26页，2024年2月25日，星期天有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数．第23页,共26页，2024年2月25日，星期天课堂小结1.规律总结；2.函数存在最值的的条件;3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤.(1)求函数y=f(x)在开区间(a,