2025版高考数学一轮总复习考点突破第10章计数原理概率随机变量及其分布第1讲两个计数原理排列组合考点4排列组合的综合应用

排列、组合的综合应用角度1数字问题在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数为(D)A．512 B．192C．240 D．108[解析]能被5整除的四位数末位是0或5的数，因此分两类，第一类，末位为0时，其他三位从剩下的数中任意排3个即可，有Aeq\o\al(3,5)＝60个，第二类，末位为5时，首位不能排0，则首位只能从1,2,3,4选1个，第二位和第三位从剩下的4个数中任选2个即可，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝48个，根据分类加法计数原理得可以组成60＋48＝108个不同的能被5整除的四位数，故选D.[引申](1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为252；(2)本例组成的四位数中偶数的个数为156个，其中比2310大的四位偶数的个数为109个．(3)本例组成的四位数中1和3相邻的个数为60.[解析](1)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2)＝360,360－108＝252.(2)个位为0时有Aeq\o\al(3,5)＝60个；个位非0时有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＝96个，故四位偶数有156个；其中比2310大的偶数中①前三位为231的有1个；②前两位为23第三位为4或5的有3个；③前一位为2第二位为4或5的有9个；④前一位为4的有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＝24个；⑤前一位为3或5的各有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＝36个，故共有109个．(3)1、3分别在百位、千位的有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝24个；1、3分别在十位、百位的有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝18个；1、3分别在个位、十位的有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝18个．故1、3相邻的四位数共有60个．角度2分组、分配问题如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分．假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有(A)A．450种 B．360种C．90种 D．70种[解析]由题知，可分两种情况考虑：第一种：分人数为1、2、3的三组，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360种；第二种：分人数为2、2、2的三组，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90种；所以不同的安排方法共有360＋90＝450种．故选A.名师点拨：1．数字问题注意“0”不能排在首位．2．分组、分配问题的解题策略是先分组后分配．(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．【变式训练】1．(角度1)(2024·湖北荆州中学月考)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为(B)A．120种 B．108种C．96种 D．72种[解析]1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，先排3个偶数，然后把3个奇数插入即可，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144个，若2在第二位，则第一位一定为奇数，则从3个奇数中选择一个放在第一位上，此时还剩下2个偶数和2个奇数安排在后四位上，则先排2个偶数，然后把剩下2个奇数插空即可，此时共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝36个，因此符合条件的六位数有144－36＝108个，故选B.2．(角度2)(2024·重庆渝中区期中)为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有(B)A．60种 B．150种C．180种 D．300种[解析]根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，①三组人数为1、1、3，此时有eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝