2025版高考数学一轮总复习考点突破第7章立体几何第1讲空间几何体的结构及其表面积和体积考点4几何体的体积

几何体的体积角度1直接利用公式求体积(2024·辽宁辽东十一所重点高中联合教研体摸底)底面半径为3，表面积为24π的圆锥的体积为(A)A．12π B．36πC．3eq\r(55)π D．9eq\r(55)π[解析]设圆锥的母线长为l，因为圆锥的底面半径为3，表面积为24π，所以S表＝9π＋eq\f(1,2)×2π×3×l＝24π，解得l＝5，所以圆锥的高为h＝eq\r(l2－r2)＝4，所以，圆锥的体积为V＝eq\f(1,3)×9π×4＝12π.故选A.角度2割补法求体积(2024·福建漳州质检)如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，EF<AB，EF∥AB，若AB＝25，AD＝10，且底面ABCD与其余各面所成角的正切值均为eq\f(3,5)，则该五面体的体积是(C)A．225 B．250C．325 D．375[解析]过E作EO⊥平面ABCD于O，过O作GH∥BC分别交AB，CD于G，H，记BC的中点为M，连接EM，OM，同理作出FJ，FI，IJ，如图，由题意可知∠EMO、∠EGO分别为相应面与底面所成的角，即tan∠EMO＝tan∠EGO＝eq\f(3,5)，∴OG＝OM＝5，从而OE＝3，JG＝15，∴五面体的体积V＝VF－ADIJ＋VFIJ－EGH＋VE－BCHG＝S△EGH·JG＋2×eq\f(1,3)SBCHG·OE＝225＋100＝325.故选C.[思考]本节考点3例2中陀螺的体积为eq\f(7π,3).角度3等体积法求体积(2024·浙江浙南名校联盟联考)生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ADE－BCF，其中四边形ABFE与CDEF都为等腰梯形，ABCD为平行四边形，若AD⊥平面ABFE，且EF＝2AB＝2AE＝2BF，记三棱锥D－ABF的体积为V1，则该五面体的体积为(C)A．8V1 B．5V1C．4V1 D．3V1[解析]因为ABCD为平行四边形，所以S△ABD＝S△BCD，所以VF－BCD＝VF－ABD＝V1.取EF的中点G，连接AG，DG，由题意知VD－AEG＝VD－AGF＝VD－ABF＝V1，所以该五面体的体积V＝VD－AEG＋VD－AGF＋VD－ABF＋VF－BCD＝4V1.故选C.名师点拨：求空间几何体的体积的常用方法【变式训练】1．(2024·湖南长沙质检)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，现将△ABD沿BD折起成△A1BD，折起过程中，当A1B⊥CD时，四面体A1BCD体积为(B)A．2 B．eq\f(3\r(7),2)C．3eq\r(7) D．eq\f(9\r(7),2)[解析]由A1B⊥A1D及A1B⊥CD，故A1B⊥平面A1CD，所以A1B⊥A1C，即此时△A1BC为直角三角形，又由A1B⊥CD及BC⊥CD，于是CD⊥平面A1BC，所以此时四面体A1BCD的体积为eq\f(1,3)×3×eq\f(1,2)×3×eq\r(7)＝eq\f(3\r(7),2).故选B.2．(2023·全国甲卷)在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，则该棱锥的体积为(A)A．1 B．eq\r(3)C．2 D．3[解析]取AB中点E，连接PE，CE，如图，∵△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，∴PE⊥AB，CE⊥AB，又PE，CE⊂平面PEC，PE∩CE＝E，∴AB⊥平面PEC，又PE＝CE＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，PC＝eq\r(6)，故PC2＝PE2＋CE2，即PE⊥CE，所以V＝VB－PEC＋VA－PEC＝eq\f(1,3)S△PEC·AB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×2＝1，故选A.3.(2024·江西九校联考改编)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的体积