晶体几何学点阵与群论

关于晶体几何学点阵与群论2.1点阵与点阵结构1.点阵的意义晶体的结构就是质点在空间的排列方式，需对晶体进行几何抽象，将组成物质的质点抽象化，忽略其大小和重量及化学和物理属性使之成为一个纯粹的几何点，抽象后的这些几何点称为阵点或节点。（latticepoint）,它们在空间周期性的规则排列称为“点阵”（lattice）,因此点阵是表达晶体结构周期性的一种几何形式。

关于晶体结构规律性的探讨是多方面的也是无止境的，我们研究的只是晶体内部结构中原子组态的一个抽象几何模型。第2页,共42页，2024年2月25日，星期天2.点阵结构的确定：

为便于点阵结构的描述，采用三组互不共面的平行线将全部点阵连接起来，这样整个点阵就可以看作是由一系列形状、大小、完全相同的，且相互紧密排列在一起的平行六面体所构成。

晶体结构中原子排列的几何规律性，最基本的一条是原子排列的周期性。第3页,共42页，2024年2月25日，星期天图2-2NaCl结构平面图形

第4页,共42页，2024年2月25日，星期天第5页,共42页，2024年2月25日，星期天CaF2结构二氧化硅结构氯化铯结构第6页,共42页，2024年2月25日，星期天干冰第7页,共42页，2024年2月25日，星期天氯化钠结构图第8页,共42页，2024年2月25日，星期天氯化钠结构图第9页,共42页，2024年2月25日，星期天金刚石型晶体结构二氧化碳晶体结构第10页,共42页，2024年2月25日，星期天在NaCl晶体结构中，所有Na+的前后、左右、上下都是Cl－，所有Cl—的前后、左右、上下部是Na+。在NaCl晶体结构中所有Na+在同一取向上所处的几何环境和物质环境皆相同；所有Cl－在同一取向上所处的几何环境和物质环境皆相同；但在同一取向上Na+的环境与Cl—的环境都不相同。

晶体结构中在同一取向上几何环境和物质环境皆相同的点称为等同点。NaCl晶体结构中，Na+所在的点是一类等同点，C1—所在的点又是一类等同点。第11页,共42页，2024年2月25日，星期天

例如Na+和C1-之间的中点(图中的M点)，其所处的环境皆相同(它们所在点的电子密度和电场强度皆相等)，是一类等同点。在同一NaCl晶体结构中，我们可以找出无穷多类等同点(如M和a点)，但由每一类等同点集合而成的图形，都呈现出相同的形态(称为面心立方点阵)。每一类等同点集合成一等同点类。

下图所示的图形是NaCl晶体结构中各等同点类所共同具有的几何形象。这种概括地表示晶体结构中等同点排列规律的几何图形(点集合)，称为空间点阵或空间格子。第12页,共42页，2024年2月25日，星期天

在NaCl晶体结构的空间点阵中，每一点既可以来代表Na+或Cl-也可用来代表其它各类等同点。构成空间点阵的点是抽象的几何点，称为格点(通常也称为结点)。空间点阵是由具有物质性的晶体结构抽象出来的几何图形，其中的格点虽与晶体结构内任一类等同点相当，但只有几何意义，并非具体的质点。另一方而，抽象的空间点阵却不能脱离具体的晶体结构而单独存在，它不是一个无物质基础的纳粹几何图形。第13页,共42页，2024年2月25日，星期天导出空间格子的方法：

首先在晶体结构中找出等同点，再将相当点按照一定的规律连接起来就形成了空间格子。等同点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。）第14页,共42页，2024年2月25日，星期天两种推导方式结果一致第15页,共42页，2024年2月25日，星期天第16页,共42页，2024年2月25日，星期天对于同一晶体结构，不论等同点在哪里，所得出的一系列等同点在空间的相对位置都是一致的，但对于不同的晶体结构，所得的空间格子具体形式是有区别的。等同点的分布可以体现具体结构中的所有质点的重复规律，这种规律就是等同点在三维空间作格子状排列。空间格子只是一个几何图形，是从具体的晶体内部质点抽象而来的。“晶体是其内部结构具有空间点阵这种几何图象的固体”。第17页,共42页，2024年2月25日，星期天第18页,共42页，2024年2月25日，星期天＊＊＊对于同一种点阵，由于三组互不共面的平行线选取方式不同，由它们所截取的平行六面体大小形状也不尽相同！！！＊＊＊为保证所截取的平行六面体能够统一，且又是最简单，又能代表整个点阵的几何特性特如下规定：3、平行六面体的截取规定：Ⅰ、所选取的平行六面体必须能够反映点阵的宏观对称性。Ⅱ、在满足上述Ⅰ条件下、所选取的平行六面体应具有尽可能多的直角。Ⅲ、在满足Ⅰ,Ⅱ规定的条件下，选取的平行六面体应为最小体积。第19页,共42页，2024年2月25日，星期天与单位平行六面体相应的晶体结构单元是晶体的基本结构单元，客观反映了晶体结构的三维周期性的晶格，将晶体结构截分为一个个彼此并置而相互等同的平行六面体的基本单元，称之为‘晶胞’（unitcell）。晶胞包括两个要素：一是晶胞的大小、型式。二是晶胞的内容。能使点阵结构复原的全部平移向量聚合而成一个群，称为平移群。设反映结构的三维周期性的三个互不共面的基向量为a,b,c，而m,n,p为任意常数，则平移向量组为：

Tmnp＝ma+nb+pc(m,n,p=0,±1;±2…..±∞)P=0表示平面点阵的平移群p,n=0表示直线点阵的平移群第20页,共42页，2024年2月25日，星期天第21页,共42页，2024年2月25日，星期天空间格子表明了晶体物质在三维空间质点做周期性重复排列这一根本的性质，因此晶体也可以定义为具有格子构造的固体。第22页,共42页，2024年2月25日，星期天FeS2晶体结构的一个平面，类似于花布图案第23页,共42页，2024年2月25日，星期天每一个晶体结构中都含有一个潜在的抽象的空间点阵。空间点阵的每一个格点对应着晶体结构中一定数量的粒子。换言之，晶体结构中一定数量粒子构成的粒子集团可以表示为相应的空间点阵的一个格点，晶体结构的这个与空间点阵----格点相对应的粒子集团，称为晶体结构的基元。犹如一个格点按照空间点阵的周期重复成整个空间点阵那样，一个基元按照空间点阵的周期就可以重复成整个晶体结构，实际上，晶体结构的基元就是初级单位晶胞。

第24页,共42页，2024年2月25日，星期天4、格子和晶胞格子的类型：根据点阵点的位置。素格子（P）;体心格子（I）；底心格子（A，B,C）；面心格子（F）第25页,共42页，2024年2月25日，星期天晶胞中原子的位置一般用分数来表示。对于立方格子a,b,c正交等长，例如CsCl晶体结构中：Cs+(0,0,0),Cl-(1/2,1/2,1/2)，其结构基元由一个Cs+和Cl-组成。第26页,共42页，2024年2月25日，星期天

结构基元由两个O2-，四个Cu2+构成，晶胞代表了晶体结构，所以只要知道了一个晶胞中的原子的位置，就确定了整个晶体中原子的位置。第27页,共42页，2024年2月25日，星期天5、重要的概念：1、行列：结点在直线上的排列；空间格子任意两个结点连接起来就是一条行列，行列中相邻节点间距离称为该行列的结点间距，不同方向行列上的结点间距一般是不等的。2、面网：结点在平面上分布即构成面网。空间格子不在同一行列上的三个结点就可以连成一个面网，或任意两个相交的行列就可以决定一个面网。面网上单位面积内节点的数目称为面网密度，任意两个面网之间的距离称为面网间距，平行的面网，面网间距与面网密度都相等，不平行的面网，一般面网密度与面网间距不等，且面网密度大的面网间距亦大。第28页,共42页，2024年2月25日，星期天面网AA’间距d1面网BB’间距d2面网CC’间距d3面网DD’间距d4面网间距依次减小,面网密度也是依次减小的.所以:面网密度与面网间距成正比.第29页,共42页，2024年2月25日，星期天6、非晶体：

不具备格子构造，内部只是统计上的均一，性质在各个方向上同一，无规则的外形的无定形体。

晶体与非晶体可以在一定条件下转化：玻璃上的霉点，就是向结晶态转变的雏晶，这种由非晶态向晶态转化称为晶化；某些含有放射性元素的矿物晶体由于其蜕变所放出的核能，破坏了晶体内部的结构而产生了非晶化现象。

在热力学条件下，晶体是稳定的，具有最小的内能，晶体具有最大的稳定性。第30页,共42页，2024年2月25日，星期天2.2群论一、一般性定义群是按照某种规律(规则)相互联系着的一些元素的集合.四个条件:1、封闭性:群中任意两个元素的乘积和任意一个元素的平方必为群中的一个元素。G代表群即：A∈G,B∈G，A*B＝C，A＊A=Q,

则：C∈G，Q∈G

乘积是广义的，可以用‘组合’，’组合积’，’操作’，‘规则’来代替。＊＊＊在群中乘法交换律不是普遍成立的！！！即A*B≠B*A；AB与BA的意义是不同的。满足交换律的群称为阿贝耳群。AB：B被A左乘；BA：B被A右乘。第31页,共42页，2024年2月25日，星期天2、群中必有一个元素可与所有其它元素互换，并使它们不变。用E表示，称之为恒等元素，EX=XE=X；3、乘法的结合律必须成立。

A(BC)＝（AB）C4、每个元素必有一个逆元素，它也是群的元素。R是S的逆元素，RS＝SR＝E；E的逆元素是自己。＊＊两个或多个元素乘积的逆元素等于各逆元素按相反次序的乘积。（ABC······XY）－1＝Y－1X－1······C－1B－1A－1二、一些例子：1、有限群和无限群；(所有的整数)2、有限群中元素的数目称为群的阶（h）；第32页,共42页，2024年2月25日，星期天3、例子：1、所有的整数作为一个无限群。取相加过程作为‘乘积’，恒等元素是0，每个元素的逆元素是（－n），并且此群为阿贝耳群。

2、所有的正数组合律：乘法，单位（恒等）元素是1，逆元素是1／n4、群的乘法表

h个元素的群，其乘法表由h行和h列所构成，所有元素之间的乘积列在表上（共有h2个）。乘法的次序确定规则：习惯上，按照（列元素）＊（行元素）的次序取这些因子。在标有X的列和标有Y的行的交叉点上找到的元素是XY的乘积。重排定理：在群的乘法表中，每一个群元素在每一行和每一列被列入一次，而且只被列入一次。第33页,共42页，2024年2月25日，星期天不可能有两个行或列是完全相同的，每一个行和列都是群元素重新排列的表。一阶群（E）二阶群（E，A）G2EAEAEAAE第34页,共42页，2024年2月25日，星期天三阶群：

EABEABEABABEABEABEABABE可不可以？第35页,共42页，2024年2月25日，星期天循环群：G3AA＝B；AB＝A(AA)＝E则取A，A2（AA），A3（AB）（＝E）将组成完整的群。

一般情况下，h阶循环群定义为一个元素X及其全部h个幂，一直到Xh=E，另一个重要性质：循环群都是互易的，是阿贝耳群，所有的乘法是可以交换的，又叫交换群。X称为生成元。G3EABEABEABABEBEA第36页,共42页，2024年2月25日，星期天四阶群：令X=A，X2=B，X3=C，X4=E：将有一个4阶的循环群

BB＝E，B的逆元素是其自身。若取A，B的逆元素是其自身的化，则C也是其自身的逆。否则同一列会出现两个相同的元素，只有一种方式完成这个表：EABCEABCEABCABCEBCEACEABG4（1）第37页,共42页，2024年2月25日，星期天EABCEABCEABCAECBBCEACBAEG4（2）第38页,共42页，2024年2月25日，星期天只存在一个5阶群；六阶群例子：EABCDFEABCDFEABCDFAEDFBCBFEDCACDFEABDCABFEFBCAE