与圆有关的比例线段切割线定理

关于与圆有关的比例线段切割线定理——相交弦、切割线、切线长定理五与圆有关的比例线段第2页,共26页，2024年2月25日，星期天一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆有关的相交弦的问题.探究1:如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？OBDACP图1证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB.第3页,共26页，2024年2月25日，星期天探究2:将图１中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直径（如图２），结论（１）还成立吗？OBDACP图２OBDACP图１PA·PB=PC·PD……(1)证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB.第4页,共26页，2024年2月25日，星期天OBDACP图１PA·PB=PC·PD……(1)证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴△APD∽△CPB.探究3:上面讨论了CD⊥AB的情形．进一步地,如果CD与AB不垂直，如图３,AB

、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（１）还成立吗？OBDACP图３OBDACP图２PA·PB=PC·PD……(2)PA·PB=PC·PD……(3)综上所述，不论AB、CD具有什么样的位置，都有结论（１）成立！第5页,共26页，2024年2月25日，星期天相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.OBDACP几何语言：

AB

、CD是圆内的任意两条相交弦,交点为P,∴PA•PB=PC•PD.上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理.下面从新的角度考察与圆有关的比例线段．第6页,共26页，2024年2月25日，星期天探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图３）运动到圆上（图４），再到圆外（图５），结论(1)还成立吗？OBDACP图3OBA(C,P)D图4OBDACP图5当点P在圆上,PA=PC=0,所以PA•PB=PC•PD=0仍成立.当点P在圆外,连接AD、BC,容易证明:△PAD∽△PCB,所以PA:PC=PD:PB,即PA•PB=PC•PD仍成立.第7页,共26页，2024年2月25日，星期天如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交⊙O于A、B和C、D.求证:PA∙PB=PC∙PD.证法2：连接AC、BD，∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形,∴∠PDB=∠A，又∠P=∠P,∴△PBD∽△PCA.∴PD：PA=PB：PC.∴PA∙PB=PC∙PD.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.应用格式（几何语言描述）:∵PAB,PCD是⊙O的割线,∴PA∙PB=PC∙PD.OCPADB第8页,共26页，2024年2月25日，星期天点P从圆内移动到圆外PA∙PB=PC∙PDOBDACP图3PA∙PB=PC∙PD图5OCPADBOA(B)PCD使割线PA绕P点运动到切线的位置，是否还有PA∙PB=PC∙PD？证明:连接AC、AD,同样可以证明△PAD∽△PCA,所以PA:PC=PD:PA,即PA2=PC•PD仍成立.第9页,共26页，2024年2月25日，星期天如图,已知点P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，割线PCD交⊙O于C、D.求证：PA2=PC∙PD.证明：连接AC、AD，∵PA切⊙O于点A,∴∠D=∠PAC.又∠P=∠P,∴△PAC∽△PDA.∴PA：PD=PC：PA.

∴PA2=PC∙PD.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.应用格式（几何语言描述）:∵PA是⊙O的切线,PCD是⊙O的割线,∴PA²=PC∙PD.ODPCA探究5:使圆的割线PD绕点P运动到切线位置，可以得出什么结论？第10页,共26页，2024年2月25日，星期天点P从圆内移动到圆外.相交弦定理PA∙PB=PC∙PDOBDACP图3割线定理PA∙PB=PC∙PD图5OCPADB使割线PA绕P点运动到切线的位置.OA(B)PCD切割线定理PA2=PC•PD使割线PC绕P点也运动到切线的位置.切线长定理PA=PC,∠APO=∠CPOOA(B)PC(D)第11页,共26页，2024年2月25日，星期天思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？1.结论都为乘积式;2.几条线段都是从同一点出发;3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）.PC切⊙O于点C

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PA∙PB=PC²切割线定理OBPCA割线PCD、PAB交⊙O于点C、D和A、B

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PA∙PB=PC∙PD割线定理OBCADPAB交CD于点P

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PA∙PB=PC∙PD相交弦定理OBPCADPA、PC分别切⊙O于点A、C

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PA=PC,∠APO=∠CPO切线长定理OA(B)PC(D)另外，从全等角度可以得到：第12页,共26页，2024年2月25日，星期天2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？ADCBC′O说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的特例！BADC第13页,共26页，2024年2月25日，星期天例1如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.OBPCAD解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x.由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD,∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10.∴CD=10.第14页,共26页，2024年2月25日，星期天练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D.(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,则PD=,PT=(2)已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径R=103练习2.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D,连结AC,BD,下面各比例式中成立的有:ODPATBCPA·PB=(7-R)·(7+R)△PAC∽△PDB

△BED∽△AEC

△PAD∽△PCB

OCPADBE第15页,共26页，2024年2月25日，星期天练习3.如图,A是⊙O上一点,过A切线交直径CB的延长线于点P,AD⊥BC，D为垂足.求证：PB:PD=PO:PC.分析：要证明PB：PD=PO：PC,很明显PB、PD、PO、PC在同一直线上无法直接用相似证明，且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明,所以可以通过证明PB•PC=PD•PO,而由切割线定理有PA2=PB•PC,只需再证PA2=PD•PO，而PA为切线,所以连接OA,由射影定理得到.第16页,共26页，2024年2月25日，星期天例2如图,E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF//CB,交AD的延长线于点F，FG切圆于点G.求证：(1)△DFE∽△EFA;(2)EF=FG.OBECADFG证明：

(1)∵EF//CB,∴∠DEF=∠DCB.∵∠DCB和∠DAB都是上的圆周角.∴∠DAB=∠DCB=∠DEF.∵∠DFE=∠EFA（公共角）,∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知∴△DFE∽△EFA，∴EF2=FA•FD.又∵FG是圆的切线，∴FG2=FA•FD.∴EF2=FG2,即FG=EF.第17页,共26页，2024年2月25日，星期天例3如图，两圆相交于A、B两点，P为两圆公共弦AB上任意一点，从P引两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD.PC2=PA∙PB,PD2=PA∙PB.CPADB证明：由切割线定理可得：∴PC2=PD2.即PC=PD．例4如图，AB是⊙O的直径，过A、B引两条弦AD和BE，相交于点C．求证：AC·AD+BC·BE=AB2．AEDCBFO证明：连接AC、AD，过C作CF⊥AB,与AB交于F．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=900.又∵∠AFC=900,∴A、F、C、E四点共圆.∴

BC•BE=BF•BA.………(1)同理可证F、B、D、C四点共圆.

∴AC•AD=AF•AB.

………(2)(1)+(2)可得AC•AD+BC•BE=AB(AF+BF)=AB2.

第18页,共26页，2024年2月25日，星期天例5如图，AB、AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，连接CD、BD、BE、CE.问题1:由上述条件能推出哪些结论？∴

CD:CE=AC:AE,∴CD•AE=AC•CE.………(2)同理可证BD•AE=AC•CE.

……………………

(3)∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE•CD=BD•CE.

………(4)探究1:由已知条件可知∠ACD=∠AEC,而∠CAD=∠EAC,∴△ADC∽△ACE.……(1)CAOBED图1问题2在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？第19页,共26页，2024年2月25日，星期天问题2在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？CAOBED图1CAOBED图2GF探究2:连接FG.与探究1所得到的结论相比较,可以猜想△ACD∽△AEC.下面给出证明.∵AB2=AD•AE,而AB=AC,∴△ADC∽△ACE.……(5)而∠CAD=∠EAC,∴AC2=AD•AE,同探究1的思路，还可得到探究1得出的结论(2)(3)(4).另一方面，由于F、G、E、D四点共圆.

∴∠CFG=∠AEC.又∵∠ACF=∠AEC.∴∠CFG=∠ACF.故FG//AC.……(6)你还能推出其他结论吗？第20页,共26页，2024年2月25日，星期天问题3在图2中,使线段AC继续绕A旋转，使割线CFD变成切线CD,得到图3.此时又能推出哪些结论？探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的所有结论.CAOBED图2GFCAOBED图3PQG此外，∵AC//DG.

∵

△ADC∽△ACE.由(7)(8)两式可得：AC•CD=AE•CG.

………

(9)连接BD、BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则∠PCQ=∠PGD∠DBE,所以C、E、B、Q四点共圆.

你还能推出其他结论吗？第21页,共26页，2024年2月25日，星期天

练习4.

如图,过⊙O外一点P作两条割线,分别交⊙O于点A、B和C、D.再作⊙O的切线PE,E为切点,连接CE、DE.已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm.（1）求PC的长;（2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE.解：（1）由切割线定理，得PC∙PD=PA∙PB∵AB=3,PA=2,∴PB=AB+PA=5.设PC=m,∵CD=4,PD=PC+CD=m+4.∴m（m+4）=2×5化简，整理得：m2+4m−10=0OPDEBAC324m解得：