全国名校高中数学题库-函数2

1.(2010全国卷I理)函数/(x)的定义域为R,若/(x+1)与/(x—l)都是奇函数，则()

A"(x)是偶函数B.7(x)是奇函数

C./(x)=/(x+2)D./(x+3)是奇函数

答案D

解析•••/(x+1)与—1)都是奇函数，

+1)=-/(X+l),/(-x-1)=-/(I),

・•・函数/(X)关于点(1,0),及点(—1,0)对称，函数/(x)是周期T=2[l—(―1)]=4的周

期函数X-1+4)=—/(x—1+4),/(—x+3)=-/(x+3),即/(x+3)是奇函

数。故选D

2.(2010浙江理)对于正实数二，记〃&为满足下述条件的函数/(x)构成的集合：

\/玉,》2eR且无2>为，有_。(工2—xj</(》2)_/(芭)<a(》2_玉).下列结论中正确的

是()

A.若/(x)eMa],g(x)e"a2，则/(X>g(x)e"ai.a2

B.若/&)6用〃，g(x)wMa2,且g(x)R0,贝I」翌eM.

g(x)而

c.若/(x)eMai，g(x)eMa2,则/(x)+g(x)6M皿武

D.若/(x)eM“1，g(x)eMa2,且%>的，则f(x)-g(x)欠"仙2

答案C

解析对于一。(乙-X])</(x2)-/(xj<a(》2-玉)，即有一a</(士)~"〜)<a,

x2-x]

令―上)=k,有一a<女<。，不妨设/(天)6加^,g(x)eMa2,即有

x2-%)

-a1<kf<ax,-a2<k^<a2,因此有一4-a2<kf+勺</+a2，因此有

/(X)+^(X)GMa\+a2'

3.(2010浙江文)若函数/(x)=/+3(aeR),则下列结论正确的是()

x

A.VaeR,/(x)在(0,+8)上是增函数

B.VaeR,/(x)在(0,+oo)上是减函数

C3aeR,/(x)是偶函数

D3aeR,/(x)是奇函数

答案C

【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查

结合函数的性质进行了交汇设问.

解析对于a=0时有=/是一个偶函数

解析函数有意义，需使e-'KO,其定义域为{xlxwO},排除C,D,又因为

，I^-X/lx,1c

y=--土=二-^=1+-^,所以当》〉0时函数为减函数,故选A.

-e—Te2x-le2x-l

【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难

点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

5.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=42,

则f(2009)的值为()

A.-lB.OC.lD.2

答案C

解析由已知得/(-I)=log22=1,/(0)=0,/⑴=/(0)-/(-1)=-1,

/⑵=/(1)-/(0)=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-(-1)=0,

/(4)=/(3)-/(2)=0-(-1)=1./(5)=/(4)-/(3)=1,/(6)=/(5)-/(4)=0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.，所以f(2009)=f(5)=1,故选C.

【命题立意】：本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

答案A.

解析函数有意义，需使e-*wO,其定义域为{xlxwO},排除C,D,又因为

,-x/2.x,ic

y=一二=~」=1+,所以当x>0时函数为减函数，故选A.

e-ee-1e~-1

【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点

在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

log(4-x),x<0

7.(2009山东卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=<2

/(x-l)-/(x-2),x>0

则f(3)的值为)

A.-lB.-2C.lD.2

答案B

解析由已知得/(-l)=log25,/(O)=log24=2,/(l)=/(0)-/(-l)=2-log25,

/(2)=/(l)-/(0)=-log25,/(3)=/(2)-/(l)=-log25-(2-log25)=—2,故选B.

【命题立意】：本题考查对数函数的运算以及推理过程.

8.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数/(x),满足/(彳-4)=一/。),且在区间[0,2]

上是增函数，则().

A./(-25)</(II)</(8O)B./(8O)</(11)</(-25)

C./(11)</(80)</(-25)D./(-25)</(80)</(11)

答案D

解析因为/*)满足/(x—4)=—/(x),所以/(x—8)=/(x),所以函数是以8为周期的

周期函数，则八一25)=/(-1),/(80)=/(0),/(11)=/⑶,又因为/(x)在R上是奇函

数，/(0)=0,f#/(80)=/(0)=0,/(-25)=/(-1)=一/⑴，而由/(x-4)=-7(x)得

/(11)=/(3)=-/(-3)=——(I—4)=/⑴，又因为/(x)在区间［0,2］上是增函数，所以

/⑴〉/(0)=0,所以一/(I)<0,即/(—25)</(80)</(11),故选D.

【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质，运用化归的数学思想

和数形结合的思想解答问题.

9.(2009全国卷n文)函数y=Q(x«0)的反函数是()

(A)y-x2(x>0)(B)y=-x2(x>0)

2

(B)y=f(x<0)(D)y=-x(x<0)

答案B

解析本题考查反函数概念及求法，由原函数x«0可知AC错,原函数y20可知D错.

10.(2009全国卷H文)函数y=y=log,2二)的图像()

~2+x

(A)关于原点对称(B)关于主线》=一了对称

(C)关于y轴对称(D)关于直线y=x对称

答案A

解析本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为(-2,2)关于原点对称，又f(-x)=-f(x),

故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。

11.(2009全国卷H文)设。=lge,b=(lge)2,c=lgj^则()

(A)a>b>c(B)a>c>b(C)c>a>h(D)c>b>a

答案B

解析本题考查对数函数的增减性，由l>lge>0,知2>0又c=gIge,作商比较知c>b,选B。

12.(2009广东卷理)若函数y=/(x)是函数y=a'(4>0,且awl)的反函数，其图像

经过点(、/,4),则/(X)=()

,,12

A.log2xB.log〕xC.—D.x

答案B

解析/（x）=log（（X,代入（、石,0）,解得•=,，所以/（X）=log|X，选B.

25

13.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）

行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为哧和丫乙（如图2所示）.那么对于图中给定的小和，

下列判断中一定正确的是

A.在6时刻，甲车在乙车前面

B.G时刻后，甲车在乙车后面

C.在小时刻，两车的位置相同

D.小时刻后，乙车在甲车前面

答案A

解析由图像可知，曲线叫比v乙在0〜%、0〜。与x轴所围成图形面积大，则在r,

时刻，甲车均在乙车前面，选A.

14.（2009安徽卷理）设aVb,函数y=（x—a）2（x—»的图像可能是（）

答案C

解析y1=（x-a）（3x-2a-b）,由新=0得x=a,x="’.,.当x=a时，y取极

大值0,当了=誓2时与取极小值且极小值为负。故选c。

或当时y<0,当时，y〉0选C

y

15.（2009安徽卷文）设函数1的图像可能是()

答案c

解析可得x=a,x=h^]y=(1一。)"％-〃)=0的两个零解.

当x<a时•，贝ijx<h/(x)<0

当〃<x</?时，则/(%)<0,当x>/?时，则/(x)>0.选C。

J—尤2—3x+4

16.(2009江西卷文)函数y==~土:的定义域为)

x

A.[-4,1]B.[-4,0)C.(0,1]D.[-4,0)U(0,1]

答案D

XH0_

解析由,得一4Wx<0或0cxM1,故选D.

-X2-3X+4>0

17.(2009江西卷文)已知函数/(x)是(-8,+8)上的偶函数，若对于xNO,都有

/(X+2)=/(%),且当xe[0,2)时,/(x)=log2(x+l),则/(一2008)+“2009)的

值为()

A.—2B.-1C.1D.2

答案C

解析/(-2008)+/(2009)=/(0)+/⑴=log；+log；=l,故选C.

18.(2009江西卷文)如图所示，一质点尸(x,y)在X。)，平面上沿曲线运动,

速度大小不变，其在x轴上的投影点。(x,0)的运动速度V=V(f)的图象_

大致为()

解析由图可知，当质点尸(x,y)在两个封闭曲线上运动时，投影点。(x,0)的速度先

由正到0、到负数，再到0,到正，故A错误；质点P(x,y)在终点的速度是由大到小

接近0,故。错误；质点P(x,y)在开始时沿直线运动，故投影点。(x,O)的速度为常

数，因此。是错误的，故选8.

19.(2009江西卷理)函数y=-/」n(x+l)-的定义域为()

V-X2-3X+4

A.(-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

[x+1>0[x>-l,

解析L由<，=><.故选C

[-X2-3X+4>0[-4<x<1

20.(2009江西卷理)设函数/(x)=Ja?+bx+c(a<0)的定义域为。，若所有点

构成一个正方形区域，则。的值为()

A.—2B.—4C.—8D.不能确定

答案B

解析।玉一%21=/皿(％)，J匚,|a1=2\[^a,。=一4,选B

21.(2009天津卷文)设函数/(x)="-4X+6，'20则不等式〃x)>/⑴的解集是()

x+6,x<0

A.(—3,1)53,+/)B.(-3,1)52,+S)

C.(—1,1)(3,-Ko)D.(—oo,-3)(1,3)

答案A

解析由已知，函数先增后减再增

当X20,/。"2川)=3令/。)=3,

解得x=l,x=3。

当x<0,x+6=3,x=-3

故/(x)〉/(l)=3,解得一3<x<l或x〉3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

22.(2009天津卷文)设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf,(x)>x2,x下面的不等式

在R内恒成立的是()

A./(X)>0B./(x)<0C.f(x)>xD./(x)<x

答案A

解析由已知，首先令x=0,排除B,Do然后结合已知条件排除C,得到A

【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点，考查

了分析问题和解决问题的能力。

23.(2009湖北卷理)设a为非零实数,函数y=匕竺(》eR,且xK-工)的反函数是()

1+QXa

\-ax,门口1、1+aX/人口1、

A、y=-----(xcR,且xw——)B、y-----(XER且工。——)

1+axa1-axa

C、y=-1上*-(x£R,月/w1)D>y=———(xe/?,Mx-1)

a(l-x)a(l+x)

答案D

解析由原函数是丁=匕竺(xeR,且XH—L),从中解得

\+axa

X=1-V(yGR,且yh—1)即原函数的反函数是x=上上一(ywR,月3/—1),故选

a(l+y)«(l+y)-

择D

24X2009湖北卷理)设球的半径为时间r的函数R(f)。若球的体积以均匀速度c增长，则球

的表面积的增长速度与球半径()

A.成正比，比例系数为CB.成正比，比例系数为2c

C.成反比，比例系数为CD.成反比，比例系数为2c

答案D

解析由题意可知球的体积为VQ)=g〃R3(f),则，=丫«)=4万夫2«)/?’。)，由此可

R⑴R⑴=4万RQ),而球的表面积为5(0=4%R2⑴,

所以v表=S'(f)=4万叱⑺=8万以(f)R'(f),

r\r\

即v表=8)R«)R(f)=2x4;rRQ)R'0)=———R(t)=——,故选

R⑴R«)RQ)

25.(2009四川卷文)已知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数x都有

叭x+l)=(l+x)/(x),则/§)的值是()

15

A.0B.-C.ID.-

22

答案A

]+X1

解析若xWO,则有/(x+l)=----/(X),取》=一一，则有：

x2

1-1

/(()=/(—g+i)=T/(—g)=—(：/(x)是偶函数，则

~2

/(-1)=/(1))由此得/(；)=0于是

1+31+£

吗)=耳+D=?/(|)=/m1)/彳]可)=5可)=o

22

b

26.(2009福建卷理)函数/。)=以+芯+以4/0)的图象关于直线了=——对称。据此

2a

可推测，对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x的方程加+对'(尤)+p=0

的解集都不可能是()

A.{1,2}B{1,4}C{1,2,3,4}D{1,4,16,64}

答案D

解析本题用特例法解决简洁快速，时方程〃?"(x)]2+,矿(X)+P=0中m,n,p分别

赋值求出/(x)代入/(x)=O求出检验即得.

27.(2009辽宁卷文)已知偶函数/(x)在区间[0,+o。)单调增加，则满足〃2x-

的x取值范围是)

(A)0|)B.[1,|)2

C.(一，2)D.)

233

答案A

解析由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(lxl)

...得f(l2x-ll)<f(-),再根据f(x)的单调性

3

112

得I2x-ll〈一解得-<x<-

333

28.(2009宁夏海南卷理)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值()

设f(x)=min{,x+2,10-x}(x>0),则f(x)的最大值为

(A)4(B)5(C)6(D)7

答案C

29.(2009陕西卷文)函数/(x)=07=Z(x24)的反函数为()

|22

(A)/-(X)=1X+4(X>0)B./-'(X)=1X+4(X>2)

(C)/-'(X)=1X2+2(X>0)(D)/-'(X)=1X2+2(X>2)

答案D

解析令原式y==y/2x-4(x>2)贝"2=2x—4,即+4=2_+2

22

故/T(x)=gx2+2(xN2)故选D.

30.(2009陕西卷文)定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意的和工2€[。,+00)。产工2)，

有山上也2<0则()

9一/

(A)/(3)</(-2)</(I)B./(l)</(-2)</(3)

C./(-2)</(I)</(3)D./(3)</(1)</(-2)

答案A

解析由)(/(Z)-/(*))>0等价，于"X?)一/(三)〉0则/(幻在

玉,X2e(-oo,0](M/々)上单调递增，又/(x)是偶函数，故/(x)在

事,》2e(0,+s](x产々)单调递减•且满足〃eN*时，/(-2)=/(2),3>2>1>0,得

/(3)</(-2)</(1)，故选A.

31.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意

的西,々€(-oo,0](X,*X2),有的2-尤1)(/(工2)-/(%))>0・

则当时，有()

(A)/(-n)</(«-1)</(〃+1)B./(〃-1)</(-〃)<f(n+1)

C.C./(n+l)</(-n)</(n-l)D./(〃+l)</(〃-l)</(-〃)

答案c

解析：xvx2e(-00,0](%1*x2)=>(X,-%!)(/(x2)-/(%]))>0

ox2〉阳时，/(x2)>/(xjo/(》)在(一8,0]为增函数

/(x)为偶函数=>/(x)在(0，+8]为减函数

而n+l>n>nT>0,/./(n+1)</(〃)</(n-1)n/(n+1)<f(一n)<f(n-l)

32.（2009四川卷文）已知函数/（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数天都有犷。+1）=（1+刈/3，则/（5）的值是（）

15

A.0B.-C.1D.-

22

答案A

1+x1

解析若XW0,则有/*+1）=--/（X）,取犬=——，则有：

x2

1-1

/（1）=/（-1+1）=—p/<-1）==-/（|）（；/（幻是偶函数，则

~2

/（-1=吗））

由此得/（；）=0于是，

3]_

吗）=/§+】）=?/（|）=|/（|）=?（；+】）=才甲吗）=5档）=。

22

33.（2009湖北卷文）函I数>=上亘（xeR,且XX」）的反函数是（）

l+2x2

Al+2x._1、1-?v1

A.y=-—―(xwR,且nxw-)B.y=-一凡月/。一%)

1-2x2l+2x2

1-X-y

C.y=----------(xeR,目01)D.y=—~—(xGR,且xw-1)

2(1-x)2(1+x)

答案D

解析可反解得x=_1_y••故广Yx）-I-*-且可得原函数中ydR、y¥-l所以

2（1+j）2（1+x）

/T(x)Lx且xGR、xW-1选D

2(1+x)

34.（2009湖南卷理）如图1,当参数2=4时，连续函数旷=」x一（xNO）的图像分别对应

1+Ax

曲线G和Q,则)

A0<2,<2B0<2</l1

C^!<2,<0D2,</1,<0

答案B

解析解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函

数在(0,+8)是连续的，可知参数4>0,4>0,即排除C,D项，又取x=l,知对应函

数值,山图可知M<当，所以4>4，即选B项。

35.(2009湖南卷理)设函数y=/(x)在(-8,+8)内有定义。对于给定的正数K,定义函

数)

f(x),f(x)<K

AW=<

K,f(x)>K

取函数/(x)=2-x-eT。若对任意的xe(+8,—oo),恒有4(x)=/(x),则()

A.K的最大值为2B.K的最小值为2

C.K的最大值为1D.K的最小值为1

答案D

解析由/'(x)=l-eT=0,知x=0,所以xe(-oo,0)时,/'(x)>0,当XG(0,+OO)

时,f'(x)<0，所以/(x)max=/(0)=1,即/(x)的值域是(一8,1],而要使人(x)=/(x)

在R匕恒成立，结合条件分别取不同的K值，可得D符合，此时人(x)=/(x)。故选D

项。

了2+4xxN0

36.(2009天津卷理)已知函数/(*)=<'一若八2—/)〉/5),则实数。

4x-x9x<0

的取值范围是()

A(-oo,-l)u(2,+oo)B(-1,2)C(-2,1)D(-oo,-2)u(l,+oo)

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

解析：由题知/(x)在R上是增函数，由题得2-，>“，解得一2<。<1,故选择C。

37.(2009四川卷理)已知函数/*)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意

实数X都有犷(x+1)=(1+x)/(x),则/(门|))的值是()

15

A.OB.—C.1D.一

22

【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。(同文12)

答案A

/(0)=0

X4-1

由xf(x+1)=(1+x)/(x)得)(x+1)=——/(X),所以

X

53

/(1)=|/(1)=|/(1)=|,1吗=°0/(/(|))=/(0)=0,故选择A。

22

1

38.(2009福建卷文)下列函数中，与函数y有相同定义域的是)

\[x

A.f(x)=InxB./(%)=-c.f(x)=1xID.f(x)=e'

X

答案A

解析解析由y可得定义域是x>0J(x)=lnx的定义域x>0；/(刈=」的定

Vxx

义域是x#0；/(x)=1xI的定义域是xe/?;/(%)=婷.定义域是xe/?o故选A.

39.(2009福建卷文)定义在R上的偶函数/(x)的部分图像如右图所示，则在(-2,0)上,

卜列函数中与/(X)的单调性不同的是y

)

A.y=x2+l

B.y=1+1

2x+l,x>0

x+1,x<0

答案c

解析解析根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在(-2,0)上单调

递减，注意到要与/(x)的单调性不同，故所求的函数在(-2,0)上应单调递增。而函数

y=x2+1在(-℃,1］上递减；函数y=|x|+l在(-oo,0］时单调递减；函数

y={q在(—8,0］上单调递减，理由如下y'=3x2>0(xv0),故函数单调递增，

-Y+IXYO

e"xN0

显然符合题意；而函数y=4'一，有y'=-eT<0(x<0),故其在(―8,0］上单调递减,

「XYO

不符合题意，综上选C。

40.(2009重庆卷文)把函数3x的图像G向右平移〃个单位长度，再向下平移

v个单位长度后得到图像若对任意的〃>0,曲线G与G至多只有一个交点，则-

的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析根据题意曲线C的解析式为y=(x-〃)3-3(x-“)-v,则方程

(x-w)3-3(x-u)-v=x3-3x,即3"/(“3-3”+丫)40,即v2-'r+3〃对任意

4

收恒成立，于是vN-LzJ+3”的最大值，令g(〃)=一,"3+3”(〃>0),则

44

33

i£：cg((“)=一—W2+3=一一(〃一2)(〃+2)由此知函数g(“)在(0,2)上为增函数，

44

在(2,+8)上为减函数，所以当“=2时，函数g(〃)取最大值，即为4,于是丫24。

41.(2009重庆卷理)若/(为二一1—十。是奇函数，则。=

2V-1

答案-

2

12r

解析解法1/(-%)=+a=——+〃,/(_%)=_/(尤)

2-11-2

2,11V1

n-----Fa=—(-----Fq)n2。=--------------=］故〃=—

1-2V2A-11-2X1-2A2

42(2009上海卷文)函数f(x)=x3+1的反函数『(x)=.

答案疟T

解析由y=x、l,得x=-1,将y改成x,x改成丫可得答案。

⑶x<\

44(2009北京文)已知函数/(x)=〈‘若/(x)=2,则》=___________.

[-X,x>1,

答案log32

解析本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值.属于基础知识、基本运算的

考查.

X<1fx>1

由1=>x=log32,《无解，故应填

3'=2[-x=2=>x=-2

一,x<0]

45.(2009北京理)若函数/(x)={%则不等式•的解集为_____________.

(|r,^>o3

答案

解析本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算

的考查.

x<0

(1)由|/(工)|2g=>«

3n—3Wx<0.

xNO卜NO

(2)由l/(x)l/=>.

(1Y1=></1Yv]=0W1.

[⑴3[⑺3

•••不等式的解集为{xl-3(x41},应填[—3,1].

J5-1

46.(2009江苏卷)已知〃=------,函数/(x)=〃,若实数〃？、n满足f(m)>/(〃)，

则加、〃的大小关系为_______.

解析考查指数函数的单调性。

a=~~~-G(0,1),函数/(x)=ax在R上递减。由/(加)〉/(〃)得：m<n

47.(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数/(%),满足/(X-4)=-/(x),且在区间[0,2]

上是增函数，若方程。)=01(111＞0)在区间［-8,8］上有四个不同的根知彳2，工3，/，则

xt+x2+x3+x4=.

答案-8

解析因为定义在R上的奇函数，满足/(x—4)=-/a),所以/(x-4)=/(—x),所以,

由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x=2对称且/(0)=0,由/(x-4)=-f(x)知

/(x—8)=/(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为/(x)在区间［0,2］上是增函数,

所以/(x)在区间［-2,0］上也是增函数.如图所示，那么方程f(x)=m(m＞0)在区间［-8,8］上有

四个不同的根%,工2，工3，》4,不妨设X］＜工2＜》3＜工4由对称性知％+%2=-12/+=4

所以西+》2+X3+X4———12+4=—8

【命题立意】：本题综合考查了函数的奇偶性，单调性,

对称性，周期性,以及由函数图象解答方程问题，

运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

14.(2009四川卷文)设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射

记。的象为/(a)。若映射满足：对所有a、beV及任意实数都有

+M=+则/称为平面加上的线性变换。现有下列命题：

①设/是平面M上的线性变换，a、beV,则/(a+份=/(“)+73)

②若e是平面M上的单位向量，对aeV,设了(a)=a+e,则/是平面M上的线性变

换；

③对aeV,设/(a)=—a,则/是平面M上的线性变换；

④设/是平面M上的线性变换，aeV,则对任意实数人均有/(ka)=QXa)。

其中的真命题是(写出所有真命题的编号)

答案①③④

解析①：令几=〃=1,则/(a+b)=/(a)+f(b)故①是真命题

同理，④：令丸=k,〃=0,则/(履)=^(a)故④是真命题

③：•••/(&)=-a,贝IJ有/(6)=-b

f(/la+fjb)--(Aa+jub)=2•(一a)+〃­(-b)--)+juf(b)是线性变换，故③是

真命题

②：由/(a)=a+e,则有/(/?)=匕+e

+曲)=(Aa++e=4<a+e)+〃-3+e)-e=%'(a)+//(b)-e

是单位向量，eWO,故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新

颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

48.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)

已知二次函数y=g(x)的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=­l处取

得最小值m—l(m*O).设函数/(x)=由也

X

⑴若曲线y=/(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为行，求m的值

(2)MkwR)如何取值时，函数y=/*)-丘存在零点,并求出零点.

解(1)设g(x)=ax2+bx+c,则=2QX+Z?；

又/(x)的图像与直线y=2x平行2〃=2a=l

b

又g(x)在尤=—1取极小值，-5=一1，b=2

g(-l)=a-h+c=l-2^-c=m-i,c=m；

〃x)=ii^=x+%+2,设尸(x°y。)

XX

/\22___

则|PQ「=X；+(%-2)2=X；+XQ+—=2%^+^-+2>25/2^+2

k玉)/玉)

/.2>j2m2+2=4m-±^-；

2

(2)由y=/(x)—爪=(1一上)x+—+2=0,

得(1一女)尤2+2x+〃？=0(*)

in

当k=l时，方程(*)有一解X=一,，函数y=/(%)-质有一零点％=-,；

当女工1时，方程(*)有二解=八=4一4〃?(1一k)〉0,若机〉0,Jl>l--,

m

函数y=/(x)—kx有两个零点”一2三业-4制皿=1±｛匕/«^2；若机<0,

2(1-％)k-1

k<l--,函数y=/(x)*有两个零点J土丘4M一)=上正前一)；

m2(1-Jt)k-\

当左力1时，方程(*)有一解oA=4—4加(1一k)=0,k=l~—,函数

tn

y=〃x)_Ax有一零点x=

49.(2009浙江理)(本题满分14分)已知函数/(X)=X3-(A2-%+I)X2+5X-2,

g(x)=k2x2+kx+\,

其中JeK.

(I)设函数p(x)=/(x)+g(x).若p(x)在区间(0,3)上不单调，求左的取值范围;

(II)设函数q(x)="一'是否存在女，对任意给定的非零实数玉，存在惟­

"(x),x<0.

的非零实数(》2。玉)，使得q'(X2)=/(…)成立？若存在，求k的值；若不存

在，请说明理由.

解⑴因P(x)=/(x)+g(x)=x3+(Z—1优+(%+5)—1,

p'(x)=3X2+2(k一l)x+(A+5),因p(x)在区间(0,3)上不单硼，.所