2016年江西高考文数真题及答案

2016全国I卷高考文科数学真题及答案

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至3页，第n卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第I卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)设集合A={1,3,5,7},8={X|2<XV5},则AB=()。

(A){1,3}(B){3,5}(C){5,7}(D){1,7}

(2)设(l+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=()。

(A)-3(B)-2(C)2(D)3

(3)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花

种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

(A)-(B)-(C)-(D)-

3236

2

(4)AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知q=逐，c=2,COsA=-,则b=()。

3

(A)也(B)6©2(D)3

(5)直线1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到1的距离为其短轴长的;，则该椭圆的离心率

为()。

1123

(A)-(B)-(C)-(D)-

JZJ4

JI1

(6)若将函数y=2sin(2x+y)的图像向右平移］个周期后，所得图像对应的函数为(),

兀兀兀兀

(A)y=2sin(2x+-j-)(B)y=2sin(2x+—)(C)y=2sin(2x-7)(D)y=2sin(2x--)

4J4O

(7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是

(A)17Ji(B)18Ji(C)20n(D)28JI

(8)若a>b>0,0<c<L则()o

(A)logac<logbc(B)logca<logcb(C)ac<bc(D)ca>cb

(9)函数y=2x2-e-在[-2,2]的图像大致为()。

（10）执行右面的程序框图，如果输入的

%=0»=1,11=1,则输出龙,丁的值满足（）。

(A)y=2x

(B)y=3x

(C)y=4x

(D)y=5x

(11)平面。过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点

Aa〃平面C42,ai1平面ABCD=m,aT'l平面AB44=n则m,n所成角的正弦值为（）。

"）4⑻与©4（d）I

（12）若函数/（x）=x-；sin2x+asinx在单调递增，则a的取值范围是（）„

(A)[-1,1](B)-1,1,1

(C)(D)-1,——

3'33

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)设向量a=(x,x+1),b=(l,2),且a±b,贝!jx=.

jr371

(14)己知e是第四象限角，且sin(O+—)=—,则tan(O--)=___________.

454

(15)设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点，若|八8|_则圆C的面积为.

(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙

材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时，生产一件产品A

的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。学.科网该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则

在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本题满分12分)

已知｛凡｝是公差为3的等差数列，数列也｝满足伪=1,伪=｝。也+1+勿+1=曲，.

(I)求｛4｝的通项公式；

(II)求也｝的前n项和.

18.(本题满分12分)

如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE

并延长交AB于点G.

(I)证明G是AB的中点；

(II)在答题卡第(18)题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的

体积.

(19)(本小题满分12分)

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购

买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购

买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,

得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单

位：元)，”表示购机的同时购买的易损零件数.

(I)若"=19,求y与x的函数解析式；

(II)若要求“需更换的易损零件数不大于〃”的频率不小于0.5,求”的最小值；

(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计

算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19

个还是20个易损零件？

(20)(本小题满分12分)

在直角坐标系中，直线l:y=t(tW0)交y轴于点M,交抛物线C：_/=2px(p〉0)于点P,M关于点P

的对称点为N,连结0N并延长交C于点H.

\OH\

⑴求网;

(II)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

(21)(本小题满分12分)

已知函数值)=(X-2厅+a(x—1尸.

(1)讨论f，；x)的单调性；

(II)若f(x)有两个零点，求。的取值范围.

(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，AOAB是等腰三角形，ZA0B=120a以。。为圆心，：0A为半径作圆.

(I)证明：直线AB与0相切；

(II)点C,D在。0上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB/7CD.

(23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，曲线G的参数方程为［V=aOOSt，(t为参数，a>0)»在以坐标原点为极点，x

ly=1+asint.

轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线Cz：p=4cose.

(I)说明3是哪种曲线，并将3的方程化为极坐标方程；

(II)直线C3的极坐标方程为e=a0,其中a。满足tana°=2,若曲线Q与C2的公共点都在C3上，求a。

(24)(本小题满分10分)，选修4一5：不等式选讲

已知函数f(x)=|x+1I-I2x-3I.

(I)在答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图像；

(II)求不等式|f(x)I>1的解集。

(24)(本小题满分10分)，选修4一5：不等式选讲

已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(I)在答题卡第(24)题图中画出y=f(x)的图像;

(ID求不等式If(x)|>1的解集。

2016全国I卷高考文科数学真题及答案

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至3页，第n卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第I卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)设集合A={1,3,5,7},5={X|2<XV5},则AB=()。

(A){1,3}(B){3,5}(C){5,7}(D){1,7}

【参考答案】B

【答案解析】集合A与集合B公共元素有3,5,故AcB={3,5}选B。

(2)设(l+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=()。

(A)-3(B)-2(C)2(D)3

【参考答案】A

【答案解析】设(l+2，)(a+，)=a—2+(l+2a»,由已知，得a—2=l+2a,解得a=—3,选A.

【试题点评】本题在高考数学(理)提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

(3)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花

种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是

1115

(A)-(B)-(C)-(D)-

3236

【参考答案】A

【答案解析】将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中

红色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为工，选A.

3

l2

(4)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=逐，c=2,cosA=-,则b=()。

3

(A)6(B)6(C)2(D)3

【参考答案】D

21

【答案解析】由余弦定理得5=/+4—2xbx2x—,解得3=3(6=——舍去)，选D.

33

(5)直线1经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到1的距离为其短轴长的则该椭圆的离心率

为()。

1123

(A)-(B)-(C)-(D)-

【参考答案】B

【答案解析】如图，由题意得在椭圆中，0F=c,0B=b,0D=Lx2b=』b,在RtAOFB中，

42

|OF|x|OB|=|BF|x|OD|,且a2=b?+c2,代入解得a?=4c2,所以椭圆得离心率得：e=-,故选B.

2

(6)若将函数y=2sin(2x4)的图像向右平移;个周期后，所得图像对应的函数为()。

(A)y=2sin(2x+y)(B)y=2sin(2x+1~)(C)y=2sin(2x4)(D)y=2sin(2x-y)

【参考答案】D

【答案解析】函数y=2sin(2x+四)的周期为兀，将函数y=2sin(2x+巴)的图像向右平移!个周期即4个

6644

单位，所得函数为y=2sin[2(x-女)+」)]=2sin(2x-巴),故选D.

(7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是

()o

(C)20JI(D)28JI

【参考答案】A

【答案解析】由三视图可知其对应体应为一个切去了!部分的球，所以体积应为(2乃/)义,=学，所以

8383

71

可得r=2,则此几何体的变面积应为一个球面，再加上3个一圆，所以表面积为

84

/入712

(4^r)x—+3x(—yrr)=17TT=2,故选A。

(8)若a>b〉0,0<c<L则()o

(A)logac<logbc(B)logca<logcb(C)ac<bc(D)ca>cb

【参考答案】B

【答案解析】对于选项A：logaC=^,logbC=詈E，0<c<l；.lgc<0,而a>b>0,所以lga>lgb,

IgaIgb-

但不能确定lga、lgb的正负，所以它们的大小不能确定；对于选项B：logca=^』ogbC=^，而

IgelgC

lga>lgb,两边同乘以一个负数;—改变不等号方向所以选项B正确;对于选项C：利用y=x,在第一象

-lgc

限内是增函数即可得到a。〉b"所以C错误;对于选项D：利用y=cx在R上为减函数易得为错误.所以本

题选B.

【参考答案】D

【答案解析】

函数f(x)=2x2-e|x|在［-2,2］上是偶函数，其图

象关于)轴对称，因为

/(2)=8-e2,0<8-e2<1,所以排除4,5选

项；当xe［0,2］时，y=4x—1有一零点，设为

与，当xe(O,Xo)时，/(X)为减函数，当

xe(Xo,2)时，/(x)为增函数.故选D

(10)执行右面的程序框图，如果输入的

x=O,y=l,n=l,则输出尤,V的值满足()。

(A)y=2x

(B)y=3x

(C)y=4x

(D)y=5x

【参考答案】C

【答案解析】第一次循环：x=0,y=l,n=2,第二次循环：x=；,y=2,〃=3,第三次循环:

33

x=—,y=6,n=3,此时满足条件一+/236,循环结束，x=—,y=6,满足y=4x.故选C

(11)平面a过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点Aa〃平面。旦。，a平面ABCD，

a1平面则m,n所成角的正弦值为()。

(A)旦(B)@(C)B(D)-

2233

【参考答案】A

【答案解析】如图所示C42.•.若平面平面

•/a//平面CBN,：.若设平面CBQic平面ABCD=叫，则叫〃m

又•..平面ABCD〃平面AGA，，结合平面42。c平面AG5A=4〃

BQ]〃吗，故BQ】//吗

同理可得：CDx//n

故机、〃的所成角的大小与42、C"所成角的大小相等，即/CR4的大小.

而4C=A2=CR(均为面对交线)，因此/C24=g,即sin/C〃与=走.

故选A.

(12)若函数/(%)=%-；sin2%+〃sin%在(fo,4w)单调递增，则a的取值范围是()。

r,,111一।r

[-1,1](B)-1,-(C)(D)-1,--

【参考答案】C

【答案解析】用特殊值法：取a=—1,

/(0)=1--2-1=--2<0,不具备在(田,+8)单调递增，排除A,B,D.故选C.

第n卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题〜第(24)

题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)设向量a=(x,x+l),b=(l,2),且a±b,则x=.

【参考答案】---

3

2

【答案解析】由题意，ci'b=0,x+2(x+1)=0,x=——.

TT371

(14)已知0是第四象限角，且sin(0+-)=一，则tan(0--)=.

454

3

【参考答案】—

4

【答案解析】由题意，

cos(8+tan(^-—)=tan(8+---)=-tan(8+—)=.z.tan(8+—)=—

454424444

(15)设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点，若以即:2\口，则圆C的面积为.

【参考答案】4不

【答案解析】圆0:三+丁2_2分一2=0,即C:V+(y—a/=〃+2,圆心为C(0,a),由|A3|=2g,C

10—。+2a|10—a+2a|

到直线y=x+2a的距离为,所以由+0)2=/+2得4=2,所以圆的面

072

积为力(/+2)=4万.

(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙

材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时，生产一件产品A

的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。学.科网该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则

在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。

【参考答案】216000

【答案解析】如图

y

M5x+3j-600

x

O

3x+y=300

2100x+900v=z

、=

10x+3*900,

7z77z

将z=2100x+900y变形，得丁=——x+——，平行直线y=——x,当直线y=--x+——经过点”时,

■390033900

Z取得最大值.

10x+3y=900

解方程组「°，得/的坐标(60/00).

[5x+3y=600

所以当x=60,y=100时，=2100x60+900x100=216000

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

已知｛4｝是公差为3的等差数列，数列也｝满足4=1，H=g，42+1+2+1=曲，.

（I）求｛4｝的通项公式；

（II）求也｝的前n项和.

31

【参考答案】（I）3«-1;（II）|（1-—）

【答案解析】

,anbn+L1+Z7n+口i=nbn

〃也+d=4=%=2

/.an=3n—l

3叫+1=nbn

18.（本题满分12分）

如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE

并延长交AB于点G.

（I）证明G是AB的中点；

（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的

体积.

【参考答案】（I）见解析；（II）1

【答案解析】（I）由题意得D为正4ABC中心，

.\DP±ffiABC

.*.PD±AB

VDE1®PAB

/.DEXAB

因此:AB_L面PDG

.\AB±DG

；.G为AB中点

（2）作法：在面PAB中过E作EF〃PB,交PA于F

VPA±PB,PB±PC

APBXffiPAC

：PB〃EF

面PAC

%.DEF=^.DE.S△PEF=gDE（PF.EF=g

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购

买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购

买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,

得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单

位：元），〃表示购机的同时购买的易损零件数.

（I）若"=19,求y与x的函数解析式；

（II）若要求“需更换的易损零件数不大于〃”的频率不小于0.5,求〃的最小值；

（III）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计

算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19

个还是20个易损零件？

3800,0<%<19

【参考答案】（l）y=50077。。419；@9；（3）购买2。个更合理

【答案解析】

(1)由题意得：

"200xl9(0<x<19)[3800(0<x<19)

y=<=<

200x19+(x+9)x500(x>19)[500x-5700(x>19)

(2)由柱形图可得：

P(H^18)=0.06+0.16+0.24=0.46

尸(后19)=0.46+0.24=0.7

."最小值为19

(3)购买19个的费用：S]=100x200x19+300x20+300x2x10=39200元

平均费用占=3920元

若为20个：S2=100x200x20+300x10=40300元

购买20个更合理

（20）（本小题满分12分）

在直角坐标系中，直线l:y=t(tWO)交y轴于点M,交抛物线C：丁=2p%(p>0)于点p,M关于点P

的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.

⑴求解

(II)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

【参考答案】(1)2；(2)除H以外，直线MH与C无其它公共点.

【答案解析】

(1)如图：易得P(」一J),N(上-1)

2p2p

则直线ON为:y='x

与y2=2px联立得

P

，吗=2

ON

2产n

(2)点A/(0,t),H(,27),则直线皿为丫=—x+t

pIt

与y2=2px联立消y得：

p222

4、x—px+厂=0

.-.△=0

...除H以外，直线MH与C无其它公共点.

(21)(本小题满分12分)

已知函数K2=G-2)e*+a(X-1产

C1)讨论的单调性;

(II)若f(x)有两个零点，求。的取值范围.

【参考答案】(1)见解析，(2)aNO

【答案解析】(1)

①当aNO时，令f'(x)=O,则x=ln(-2a)或x=l

/(x)增区间为(1,+oo)，减区间为(-00,1)

②当a<O0寸，f(x)=0,则x=ln(-2a)或x=l

/(x)增区间为(-00,1),[ln(-2a),+oo]；减区间为[1,In(-2a)]

(2)ln(-2a)=l,此时r(x)恒成立

此时/(x)R上为增

(3)In(-2a)<1,4f(x)>0,贝k<ln(—2a)或

令于'(x)<0,则In(-2a)<x<l

此时/Xx)增区间为[-如In(-2a)],则减区间为[ln(-2a),l]

综上所述：

当。<-万,/(x)增区间为(-℃,1),[In(-2a),+oo[减区间为[1,In(-2a)]

当a=-卞/(x)在R上为增

当一/(x)在增区间为[―如ln(-2a)](1,+6,减区间为[In(―2a),1]

(II)

①当a>0时，此时/'(x)一定有两个零点

②当aVO时，若为第(1)种情况，则f(x)只有一个零点，不符合；若为第(2)种情况，则只能为f[ln(-2a)]=o成立才有可能。

③当a=0时，f(x)只有一个零点

综上，要使y=f(x)有两零点应满足a30.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分，做答时请写清题号

(22)(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，4OAB是等腰三角形，NA0B=120°以。。为圆心，；0A为半径作圆.

(I)证明：直线AB与0相切；

(II)点C,D在。0上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB〃CD.

【参考答案】见解析

【答案解析】(1)取AB中点P,连接0P,因为AOAB是等腰三角形，所以OPLAB

因为NA0B=120。，所以NA0P=/B0P=60。，在RtZ\APO中，OP=OAcosZAOP=-OA

2

所以直线AB与圆0相切。

(II)设CD的中点为Q,四边形ABCD外接圆的圆心为O',连接OC,OD,O'C,O'D

因为OC=OD,所以OQ_LCD,因为O'C=O'D,所以O'QLCD,所以O',O,Q三点共线

同理可得O,O',P三点共线，所以Q,O,O',P四点共线

即PQ过点0,且PQLAB,PQ1CD

(23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，曲线G的参数方程为f*=90'(t为参数，a>0)o在以坐标原点为极点，x

轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C?：P=4cos6.

(I)说明