北师大版高中数学选修2-1全册课时练习

北师大版高中数学选修2-1全册课时练习

1.1命题

[A组基础巩固]

1.下列语句是命题的是（）

A.%-1=0B.2+3=8

C.你会说英语吗？D.这是一棵大树

解析：A中x不确定，无法判断x-l=0的真假.

B中2+3=8是命题，且是假命题.

C不是陈述句，故不是命题.

D大树的标准不确定，无法判断其真假.

答案：B

2.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）

A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D.”若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析：原命题的逆命题是若一个数的平方是正数，则它是负数.

答案：B

3.下列命题是真命题的为（）

A.超则x—yB.若f=i,则x=l

C.若x—y,则4=3I).若Ky,贝！

解析：若丁=1,则矛=±1,排除B；若x=y,F与近不一定存在，排除C；若Ky,

且x=-3,y=-2,PPJx>y,排除D.

答案：A

4.下列命题为真命题的是（）

A.命题“若”>1,则/>1”的逆命题

B.命题“若x=l,则/+*—2=0”的否命题

C.命题“若十》0,则%>—1”的逆否命题

D.命题“若x>y,则x>|y|"的逆命题

解析：命题“若x>l,则的逆命题是“若f>l,则x>l”,为假命题；命题“若

x=l,则\+x—2=。，的否命题是“若则f+x—2#0”，为假命题；命题“若冷0,

则x〉一1”的逆否命题是“若xW-l,则了2<0"，为假命题；命题“若x>y,则x>|y|”的

逆命题是“若x>|y|,则x>y"，为真命题，选D.

答案：D

5.已知命题“若aZ<0,则aWO或/<0"，则下列结论正确的是()

A.真命题，否命题："若ab〉O,则a>0或6>0"

B.真命题，否命题：“若瑟>0,则a>0且6>0”

C.假命题，否命题：“若a6>0,则a>0且6>0”

D.假命题，否命题：“若a»0,则a>0或反0”

解析：逆否命题“若a〉O且b>0,则a6>0”,显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，

故原命题为真命题.否命题为“若ab>0,则a>0且力0"，故选B.

答案：B

6.命题“若c>0,则函数f(x)=V+*—。有两个零点”的逆否命题是.

解析：原命题的条件c>0的否定为cWO,结论函数虱力=/+x—c有两个零点的否定

为“函数/1(x)=/+x—c没有两个零点”，因此逆否命题为：若函数f(x)=Y+x—c没有

两个零点，则c〈0.

答案：若函数/"(x)=f+x—c没有两个零点，则cWO

7.给定下列命题：①“若k》0,则方程^+2x-k=0有实数根"；②“若a>b,则a

+c>b+c)>的否命题：③”矩形的对角线相等”的逆命题；④“若灯=0,则x、y中至少

有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是

解析：①".,4>()，，/=4+44>0,是真命题.

②否命题为“若aWb,则a+cW6+c”，是真命题.

③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形"，是假命题.

④否命题为“若30,则x、y都不为零”，是真命题.

答案：①②④

8.下列命题是真命题的是(填序号).

①空集是任何一个集合的真子集；

②函数y=2x(xdN)的图像是一条直线；

③若/1(X)>欣材为常数)，则函数y=A%)的最小值为M；

④若函数f(x)的定义域为［0,2］,则函数g(x)=名智的定义域为［0,1).

解析：空集是任何一个非空集合的真子集，故①是假命题；函数y=2x(xCN)的图像是

一群孤立的点，故②是假命题；若/Xx)>材("为常数)，则函数尸/Xx)的最小值一定不为M,

故③是假命题；若函数/Xx)的定义域为［0,2］,则函数g(x)=Z驾中的x应满足

X—1

八，解得OW*G,则g(x)的定义域为［0,1),故④是真命题.

x—1W0

答案：④

9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命

题的真假.

⑴若a>b,则ac>bc；

(2)若在二次函数y=a/+6x+c中，炉-4ac<0,则该二次函数图像与x轴有公共点.

解析：⑴该命题为假.当c=0时，ac"=布.

逆命题：若ad〉布,则a>6,为真.

否命题：若aWb,则为真.

逆否命题：若afWbf,则为假.

(2)该命题为假.当万一4a&0时，二次方程ax2+6x+c=0没有实数根，因此二次函数

y=aV+6x+c的图像与x轴无公共点.

逆命题：若二次函数尸a/+6x+c的图像与x轴有公共点，则Z/-4ac〈0,为假.

否命题：若在二次函数ynaV+Ar+c中，Z/-4ac20,则该二次函数的图像与x轴没

有公共点，为假.

逆否命题：若二次函数尸af+原+c的图像与x轴没有公共点，则^-4ac>0,为假.

10.函数f(x)的定义域为A,若xi,禺W/且『金)=式生)时总有汨=如则称f(x)为

单函数.例如，函数/■(x)=2x+l(xGR)是单函数.下列命题：

①函数f(G(xWR)是单函数；

②若f(x)为单函数，Xi,X2G｛且Xi#X2,则/'(为)手f(x);

③若f：4-6为单函数，则对于任意。£6,它至多有一个原象；

④函数/-(%)在某区间上具有单调性，则/"(%)一定是单函数.

试判断各命题的真假.

解析：当时，不妨设f(*i)=/(及)=4,有M=2,&=-2,此时为之版，故

①不正确；由/'(为)=『(七)时总有小=及可知，当时，故②正确；若

bGB,8有两个原象时，不妨设为团，a2,可知aWaz,但/1(a)=/'(斑)，与题中条件矛盾，

故③正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时在整个定义域上不一定单调，因而/<x)不

一定是单函数，故④不正确.综上可得命题②③为真命题，①④为假命题.

［B组能力提升］

1.给出下列四个命题：①在比'中，若sin外平，则给；；②若lWx<2,则(x一

1)(%—2)WO；③若a=彳，则tan。=1；④已知a,b,c为向量，若a•b—a•c(aWO),

则b=c.

则以下判断正确的为()

A.①的逆否命题为真B.②的否命题为真

C.③的否命题为真I).④为真

解析：对于①，在△/8C中，0<J<it,由sin/>半，得?〈水户二所以原命题为真命

题，故其逆否命题为真命题.对于②，命题的否命题：若x22或水1,则(x—1)5—2)>0.

当x=2时，(x—l)(x—2)=0,故否命题为假命题.对于③，命题的否命题：若aW3,

5五

则tan。#1.当矛=丁时，tana—\,故否命题为假命题.对于④，向量是有方向的，若

b,c方向相反，a垂直于6,c,则6=。不成立，所以为假命题.故选A.

答案：A

2.命题“若/Xx)是奇函数，则f(—x)是奇函数”的否命题是()

A.若f(x)是偶函数，则/'(一X)是偶函数

B.若/"(x)不是奇函数，则/'(一X)不是奇函数

C.若『(一*)是奇函数，则/"(X)是奇函数

D.若f(一x)不是奇函数，则/Xx)不是奇函数

解析：命题的否命题既否定条件又否定结论，且“是”的否定是“不是”，故选B.

答案：B

3.下列语句中是命题的为,其中是真命题的为.(写出序号)

①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

②一个数不是正数就是负数；

③大角所对的边大于小角所对的边；

④△/8C中，若NA=NB,则sin4=sinB；

⑤求证xGR,方程1=0无实根.

解析：①是疑问句不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没

有考虑在同一个三角形中：④是真命题；⑤是祈使句不是命题.

答案：②③④④

4.已知集合4={x|V—4x+3W0},B—{y\y-x-2x+a\,C—{x|x2—<ax—4^0).命

题p：AD命题<?：AQC.

(1)若命题。为假命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题p,g都为真命题，求实数a的取值范围.

解析：(1)/={x|lWx<3},B={y\y=(x—l)"+a—1}={y\y^a-l].

由p为假命题,知4c8=0,/.a—1>3,a>4>

故实数a的取值范围是(4,+8).

(2)-：p,q都为真命题，二/n今。且4UC,

Z-1W3

5「5一

1—a—4W0,解得§WaW4,即实数a的取值范围为于4.

,9-3a-4^0

5.a,b,c为三个人，命题4：”如果6的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题

B-.“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a,b,c的年龄的大小

顺序是否能确定？请说明理由.

解析：显然命题4和6的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它的逆否命题来看.

由命题4为真可知，人不是最大时，则a是最小，；.c,最大，即c>6>a；而它的逆否命

题也为真，即“a不是最小，则6是最大”为真，即杨a>c.

同理由命题8为真可得：a>c>6或b>a>c.故由/与6均为真可知6>a>c....a,b,c三人

的年龄的大小顺序是：6最大，a次之，c最小.

1.2充分条件与必要条件

[A组基础巩固]

1.是“log2a>log2〃的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:若2">2”，则只能得到a»,但不能确定a,6的正负，当0>a>6时，log2a,\og2b

均无意义，更不能比较其大小；若log2a>1密。，则a>b>0,从而有2">2"成立.综上，"2">2""

是“log2a>log2b”的必要不充分条件.

答案：B

2.已知a,8都是实数，那么“於/是“a>6”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：①当炉时，有a"—4〉O0（a+6）（a—6）>0,由此推不出a>B.

②当时，如若a=—2,b——3,有才<4,故推不出才〉发

所以“黔甘”是"a>"'的既不充分也不必要条件.

答案：D

3.八，七表示空间中的两条直线，若p：7>,心是异面直线，S?“心不相交，则（）

A.。是1的充分条件，但不是g的必要条件

B.。是q的必要条件，但不是q的充分条件

C.p是q的充分必要条件

D.0既不是g的充分条件，也不是<7的必要条件

解析：根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断.

若人异面，则人4一定不相交；若人A不相交，则4,4是平行直线或异面直

线，故片夕，q/=p,故p是<7的充分不必要条件.

答案：A

4.“x=?”是“函数尸sin2”取得最大值”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

JIJI

解析：当时，函数y=sin2x=sink=1取得最大值；反过来，当函数y=sin2x

取得最大值时，不能推出X=亍，如x=¥■时，函数尸sin2x也可取得最大值.综上所述,

“了=2”是“函数y=sin2x取得最大值”的充分不必要条件，选A.

答案：A

5.在下列四个结论中，正确的有（）

①x"4是/<—8的必要不充分条件;

②在△/I6C中，“AN+AG=BG"是“△/（比为直角三角形”的充要条件;

③若a,bWR,则“才+必0”是“a,6全不为0”的充要条件；

④若a,b&R,则“，+4W0”是“a,6不全为0”的充要条件.

A.①@B.③④

C.①④D.②③

解析：对于结论①，由%<—8=>X—2=»x>4；但是f>4=水-2或x>2=f〈一8或，〉8,

不一定有8.故/<一8=六>4,但丁>4=/x'〈一8.所以①正确.

根据选择题的特点，对以上的四个结论有选择地进行判断，现已判定①正确，则不必对

③进行判定了.因为由①正确可知应淘汰B,D,进而只要对A,C作进一步的选择，而选A

还是选C,只需对②或④中的一个作出判定即可，可以从②④中选择容易判定的一个.

结论②，为直角三角形”没有明确哪个顶点为直角顶点，因此就不一定有

+AC=Bd”成立.故"+AC=BG”是“△45C为直角三角形”的充分不必要条件.

答案：C

6.已知p：/+x-2>0,q：x>a,若。是。的充分不必要条件，则a的取值范围可以

是.

解析：将p,q分别视为集合A—[x\^+x—2>0]—{x\x>\或x<—2],B—{x\x>a},

已知q是p的充分不必要条件，即6A,在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意

的a的取值范围为a》l.

答案：[1,+8)

7.设a,8为实数，则“00*1”是“a<；或核L'的条件.

解析：V0<aA<L:.a,6同号，且aZKl.

・••当d>0,力0时、当水0,力<0时、Z?>y.

"(Ka伙1”是“ag或a3”的充分条件.

而取a=~~l,b—\,显然有a<[,但不能推出0〈a伙1,

二“0〈a伙1”是“ag或吟'的充分不必要条件.

答案：充分不必要

8.已知p：/-4x—5W0,q：|x—31<a(a>0).若。是<7的充分不必要条件，则实数a

的取值范围是.

解析：设/={x|X”-4x—5W0}={x|—1WXW5},B={x||%—31<a]={x|—a+3<A<a

—a+3<-1

+3).因为。是g的充分不必要条件，所以46,故，，解得a>4,即实数a

a+3>5

的取值范围为(4,+8).

答案：(4,十8)

9.求关于x的方程af+2x+l=0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件.

解析：若方程aV+2x+l=0有且仅有一个负实数根，则

a=0时，x=-g,符合题意.

当aWO时，方程af+2x+l=0有实数根，则/=4-420,解得aWl,

当a=l时，方程有且仅有一一个负实数根x=-1,

当水1且a#0时，若方程有且仅有一个负实数根，则乂0,即水0.

a

综上，“方程/+2x+l=0有且仅有一个负实数根”的充要条件为QW0或a=l”.

10.指出下列各组命题中，o是q的什么条件，。是2的什么条件.

(1)已知人是不等于0的实数，p：31,°：a>b\

(2)夕：水一2,Q：方程/一x一勿=。无实根；

(3)已知夕：—2<zK0,0</?<1,q：关于x的方程/>+/?=0有两个小于1的正根.

解析：⑴由条件吟1”可得亍>0,

若b>0,则a>b-,若伙0,则有a<b,

.,.q1"=>/ua>bn,条件不充分.

b

反过来，力ga—b>Q,也不能推出色］2>00»1,条件也不必要.

・・・〃是q的既不充分也不必要条件，<7也是夕的既不充分也不必要条件.

(2)..,派一2=方程于一x—m=0无实根；

方程x—力=0无实根=/水一2.

・•・〃是g的充分不必要条件，q是0的必要不充分条件.

(3)若/+而家+刀=0有两根xz,则由根与系数的关系，有Xi+x2=一如乂•入2=),

又0<汨,总<1,/.0<^1+%2<2,0<^IA2<1.

/.—2<加0,0</7<1,/.(j=>p.

当加=—1,时，方程f+/»x+〃=0,

即V—x+B=O,此方程无实根，故A/Q.

；.p是q的必要不充分条件，q是P的充分不必要条件.

［B组能力提升］

1.已知定义在R上的偶函数/"(*)满足/1(4一x)=f(x),且在区间［0,2］上是增函数，那

么“f(0)〈0”是“函数f(x)在区间［0,6］上有3个零点”的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析：依题意，得/'(4—x)=f(x)=/■(—x),即函数F(x)是以4为周期的函数.因此,

当f(0)〈0时，不一定能得出函数『(")在区间［0,6］上有3个零点，如当『(2)<0时，结合该

函数的性质及图像，分析可知此时函数/'(X)在区间［0,6］上不存在零点；当函数f(x)在区间

［0,6］上有3个零点时，结合该函数的性质及图像，分析可知此时/'(0)<0.综上，“/'(OXO"

是“函数f(x)在区间［0,6］上有3个零点”的必要不充分条件.

答案：C

2.设0〈联万，则“xsir?水1"是"xsin的条件.

解析：因为0〈水万，所以O〈sinK1.

由x•sin联1知xsin-Vsin水1,因此必要性成立.由xsin,xVl得xsin—,而

sinx

」一>1,因此充分性不成立.

sinx

答案：必要不充分

3.给出下列命题：

①命题“若"4ac<0,则方程af+6x+c=0(a/0)无实根”的否命题：

②命题“在中，A4BC=CA,那么为等边三角形”的逆命题；

③命题“若a>b>0,则3r>35>0”的逆否命题：

④“若〃>1,则版一2(w+l)x+(如-3)>0的解集为R”的逆命题.

其中真命题的序号为_______.

解析：①否命题：若斤4ac》0,则方程af+bx+cnOQWO)有实根，真命题；

②逆命题：若△/比1为等边三角形，则/台二比三。，真命题；

③因为命题“若a>6>0,则3r>3币>0”是真命题，故其逆否命题为真；

④逆命题：若R/-25+1)X+(〃-3)>0的解集为R,则ni>\,假命题，因为

口»0,

「।T2得”后0.

(［-2(勿+1)］2—(R一3)<0,

所以应填①②③.

答案：①②③

4.已知条件p：4={x|V—(a+l)x+aW0},条件g：6={x|V—3x+2W0},当a为何

值时，

(1)。是g的充分不必要条件；

(2)。是g的必要不充分条件；

(3)p是q的充要条件.

解析:由p：1={x[(X—1)(X—a)W0},由q：8=[1,2].

(D：P是q的充分不必要条件，

.,”16且4#昆故4=[1,a]=lWa<2.

(2)：p是g的必要不充分条件，

，任/且/#8,故4=[1,a]且a>2=a>2.

(3)：。是g的充要条件，.•"=Qa=2.

5.己知全集〃=R,非空集合/=次17<0r,B=\x\―-1<。}.记夕：x^A,Q：

[x-6a_1J[x-aJ

xRB,若。是夕的必要条件，求实数a的取值范围.

解析：8={x|水木3+2}.

①当3a+l>2,即a*时，A=U|2<K3a+l}.

是〃的必要条件，8,

产2,得上人汨后

13a+1Wa-+2

②当3a+l=2,即@=：时，4=0,不符合题意.

③当3a+l<2,即ag时，/={x|3a+l〈-2},

aW3a+1

由AQB,得，，得一

才+222

综上所述，实数a的取值范围是一)

乙oJ

1.3全称量词与存在量词

[A组基础巩固]

1.下列命题是特称命题的是()

A.偶函数的图像关于y轴对称

B.正四棱柱都是平行六面体

C.不相交的两条直线是平行直线

D.存在实数大于等于3

解析：“存在”是存在量词.

答案：D

2.（2015•高考湖北卷）命题x°G（O,+8）,5刖=%一1”的否定是（）

A.VxG（0,+8）,inx^x—l

B.V加（0,+°°）,Inx—x—1

C.3Ai）G（0,+°°）,InxoW*-1

D.3*4（0,+°°）,InXO=XD—1

解析：特称命题的否定是全称命题.

改变原命题中的三个地方即可得其否定，3改为W,施改为x,否定结论，即InBx

-1,故选A.

答案：A

3.下列命题中假命题是（）

A.有些不相似的三角形面积相等

B.存在一个实数x,使f+x+IWO

C.存在实数a,使函数尸ax+6的值随x的增大而增大

D.有一个实数的倒数是它本身

解析：以上4个均为特称命题，A,C,D均可找到符合条件的特例；对B,任意xWR,

都有/+叶1=。+?+30.故B为假命题.

答案：B

4.下列特称命题中，真命题的个数是（）

①存在一个实数a,使、P为正整数；

②存在一个实数x，使1%为正整数；

③存在一个实数y,使1盯=1为整数.

A.0B.1

C.2D.3

解析：对于①，当a=4时，小=2为正整数；对于②，当x=l时，为正整数；

对于③，当尸1时，।%=1为整数，故选D.

答案：D

5.命题“任意xG[1,3],V-aWO”是真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a29B.aW9

C.aNIOD.a<10

解析：当该命题是真命题时，只需a2(V)喇，xG[l,3].又二寸在[1,3]上的最大值

是9,所以a29.因为a29=/a210,a210=a29,故选C.

答案：C

6.命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是

解析:本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：

所有偶函数的图像关于y轴对称.将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结

论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关

于y轴不对称”.

答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称

7.给出下列命题：①矩形的对角线不相等；②有的向量方向不确定；③对任意角。，

都有sin?a+cos?。=1；④存在实数大于等于3；⑤至少有一个整数，它既能被2整除，

又能被5整除.其中是全称命题的是,是特称命题的是.(填序号)

解析：①可改写为，“所有矩形的对角线都不相等”，含有全称量词“所有”，故是全

称命题；②中含有存在量词“有的”，故是特称命题；③中含有全称量词“任意”，故是全

称命题；④中含有存在量词“存在”，故是特称命题；⑤中含有存在量词“至少有一个”，

故是特称命题.

答案：①③②④⑤

8.给出下列四个命题：

①梯形的对角线相等；②对任意实数x,均有x+2>x；③不存在实数%使V+x+kO；

④有些三角形不是等腰三角形.

其中所有正确命题的序号为.

解析:①中直角梯形的对角线不相等，不成立;②显然成立;③/+叶1=(叶»+*0,

成立；④显然成立.

答案：②③④

9.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假：

(1)每一个指数函数都是增函数；

(2)至少有一个自然数小于1；

(3)存在一个实数x,使得f+2x+2=0；

(4)圆内接四边形，其对角互补.

解析：(1)是全称命题.对于指数函数y=g)',它是减函数，故该全称命题是假命题.

(2)是特称命题.显然，自然数0小于1,故该特称命题是真命题.

(3)是特称命题.对方程V+2X+2=0,4=2'-4X2=—4<0,即方程x+2%+2=0

没有实数根，因此该特称命题是假命题.

(4)是全称命题.省略了全称量词“所有的”，是真命题.

10.若“存在实数x,不等式f+alxl+lCO成立”是假命题，求实数a的取值范围.

解析：”存在实数x,不等式f+a|x|+l<0成立”的否定是“对一切实数x,不等式

1+a|x|+120恒成立”.

原命题是假命题，故它的否定是真命题.

①当x=0时，120恒成立，此时aGR.

②当x#0时，a》一白」'=-G才+

又|川+一122,当且仅当|x|=l时等号成立，

所以一2,当且仅当3=1时等号成立，

所以aN—2.

综上，实数a的取值范围为［—2,+8).

［B组能力提升］

1.下列命题中，真命题是()

A.存在wWR,使函数/1(x)=步+用匠(了61?)是偶函数

B.存在必CR,使函数f(x)=X2+〃X(XGR)是奇函数

C.任意的加6R,函数/"(x)=x2+〃x(xeR)都是偶函数

D.任意的加WR,函数/Xx)=/+勿x(xGR)都是奇函数

解析：对于选项A,当m=0时，即mRCR,f(x)=f+勿x=Y''是偶函数.故A正确.

答案：A

2.下列命题的否定是真命题的是()

A.在△49C中，存在/>6,使sin冷sinB

B.空间中任意两条没有公共点的直线都平行

C.任意两个全等三角形的对应角都相等

D.存在xo,为GR,京+/一4选+6%=0

解析：A是真命题，其否定是假命题；B是假命题，其否定是真命题；C是真命题，其

否定是假命题；D是真命题，其否定是假命题，故选B.

答案：B

3.下列命题中全称命题是；特称命题是.

①正方形的四条边相等；

②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形：

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数.

解析：①③是全称命题，②④是特称命题.

答案：①③②④

4.四个命题：①任意x—3x+2>0恒成立；②存在x=2；③存在x£R,

7+1=0；④任意x£R,4f>2x—l+3/其中真命题的个数为.

解析：x—3x+2>0,4=(—3)2—4X2>0,

・•・当x>2或水1时，产-3才+2>0才成立，・・・①为假命题.

当且仅当x=±镜时，1=2,・,•不存在使得V=2,

；・②为假命题，对任意x£R,f+IWO,工③为假命题，

4x—(2x—l+3f)=/—2x+l=(x—1尸》0,

即当x=l时，"=2*-1+3/成立，，④为假命题.

.•.①②③④均为假命题.

答案：0

5.写出下列命题的否定，并判断其真假.

(1)不论卬取何实数，方程步+了一勿=0必有实数根.

(2)存在一个实数x,使得V+x+2W0.

(3)等圆的面积相等，周长相等.

(4)对任意角a,都有sin，a+cos2a=\.

解析：(D这一命题可以表述为：“对所有的实数〃，方程/+%一m=0有实数根”，其

否定形式是：“存在实数如使得没有实数根”，注意到当/=1+4叫<0,即

/»<一］时，一元二次方程没有实数根，所以其否定形式是真命题；

(2)这一命题的否定形式是：对所有实数x,都有f+x+2>0,利用配方法可以证得原

命题的否定是一个真命题；

(3)这一命题的否定形式是：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面

几何知识知原命题的否定是一个假命题；

(4)这一命题的否定形式是：存在aeR,有sin?。+cos，。W1,由于原命题是真命题，

所以原命题的否定是假命题.

6.已知/'(x)=2nix—2(4-/77)x+1,g(x)=mx.若同时满足：

①命题“对任意xGR,f(x)>0和g(x)>0中至少有一个成立”为真命题；

②命题“对任意xd(-8,-4),都有f(x)g(x)20"的否定为真命题.

求实数卬的取值范围.

解析：“对任意xGR,/1(MX)和g(x)>0至少有一个成立”为真命题.

当辰0时，显然不合题意;

4—in4—

当於。时,因为/(0)=1>0,«)的图像的对称轴为直线x=F，若其川，即。〈辰4,

结论显然成立;

若“之〃%。,即加>4,只要方程2加2(4—%)>+1=0的判别式4=4(4—勿)一8成0即

可.

又勿>4,可得4〈派8.

所以如右(0,8).

“对任意x£(—8,—4),都有/*(x)g(x)20”的否定为真命题,

即“存在刘£(-8,-4),使得丹照)双加)<0"为真命题.

又当加£(0,8),天£(—8,—4)时,g(x)<0恒成立，由条件①可知，必存在灰£(—8,

—4)，使得f(xo)>0成立.

综上，可得实数卬的取值范围为(0,8).

1.4逻辑联结词“且”“或”“非”

［A组基础巩固］

1.已知°：2+2=5；Q：3>2,贝!］下列判断错误的是()

A.“P或g”为真,'微q为假

B.“。且为假,“篇P”为真

C."P且g”为假,嘴P”为假

D."P或为真,“篇P"为真

解析：因为p假，g真，所以“P且/为假，“㈱0”为真，"。或为真，"㈱/

为假.

答案：C

2.已知命题p：点/在直线尸12x—3上，命题g：点尸在直线—3x+2上，则使命

题“。且/为真命题的点尸(x,y)的坐标为()

A.(0,-3)B.(1,2)

C.(1,-1)D.(-1,1)

y=2x—3x=l

解析：由，,得，所以点P的坐标为(1,-1),故选C.

y=—3x+2,7=-1

答案：c

3.若p是真命题，。是假命题，则()

A.p且q是真命题B.〃或q是假命题

C.㈱p是真命题D.㈱g是真命题

解析：根据“且"“或"‘'非"命题的真假判定法则知D正确.

答案：D

4.已知命题小若(x—1)(x—2)W0,则xWl且正2；命题(7：存在实数力使2yo.

下列选项中为真命题的是()

A.㈱pB.㈱。或q

C.㈱0且pD.q

解析：很明显命题。为真命题，所以㈱p为假命题；由于函数y=2',xGR的值域是(0,

+8),所以q是假命题，所以㈱g是真命题.所以㈱〃或g为假命题，且p为真命题，

故选C.

答案：C

5.命题0：函数尸cos(2x+[/)的最小正周期为2n；命题3函数y=tanx的图像

关于直线入=等对称，贝IJ()

A.。为真B.㈱。为假

C.p且q为真D.。或g为假

2Jt

解析：函数y=cos(2x+司TI\的最小正周期7=~y~=n,所以。为假命题；函数尸tan

x的图像不是轴对称图形，不存在对称轴，所以g为假命题，所以㈱q为真，。且q为假，p

或q为假，故选D.

答案：D

6.分别用“p或g”“p且“非0”填空:

(1)命题“非空集4C8中的元素既是/中的元素，也是8中的元素”是的形式；

(2)命题“非空集4U8中的元素是力中的元素或8中的元素”是________的形式：

(3)命题“非空集(”的元素是〃中的元素但不是｛中的元素”是的形式.

解析：(1)命题可以写为“非空集4c8中的元素是力中的元素，且是8中的元素”，故

填。且3⑵“是｛中的元素或6中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填。或g；(3)“不

是｛中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非P.

答案：P且。P或q非0

7.“。且＜7为真命题”是“。或q为真命题”的条件.

解析：。且q为真真，。也真="。或g”为真，反过来不能推出.

答案：充分不必要

8.设命题0：2*+了=3,0：『-了=6,若"p且为真命题，则x=,y=.

(2x+y=3\x—3

解析：由“p且g”为真命题得八，二..

[x—y^(513^-3

答案：3-3

9.指出下列命题的构成形式并判断其真假.

(1)命题：“不等式|x+2|W0没有实数解”；

(2)命题："一1是偶数或奇数”；

(3)命题：“/属于集合Q,也属于集合R”；

(4)命题：“建(AU协”.

解析：(1)此命题为的形式，其中0：不等式|x+2W0有实数解.因为犬=一2

是该不等式的一个解，所以。是真命题，即^。为假命题，故原命题为假命题.

(2)此命题为“p或d的形式，其中"“一1是偶数”，q：“一1是奇数”.因为〃

为假命题，g为真命题，所以"P或/'为真命题，故原命题为真命题.

(3)此命题为“。且的形式，其中小作属于Q,q：啦属于R.因为「为假命题，q

为真命题，所以。且q为假命题，故原命题为假命题.

(4)此命题为“㈱0”的形式，其中0：4=G4U而，因为。为真命题，所以为

假命题，故原命题为假命题.

10.已知命题0：f(x)=2/+(4加+8)x+5在(-8,1)上是减函数；q：不等式/一4加x

+3一成0无解，若,且Q为假，p或q为真,求实数力的取值范围.

4/Z7—8

解析：若p为真，则了=一寸7=2—即辰1；

ZAZ

若q为真,则方程4/x+3—勿=0的判别式/=16%2—4(3—卬)W0,即4病+w—3W0,

解得一1<〃日・

因为夕且g为假，,或4为真，所以夕，4一真一假.

若。真。假，则</…3，即去辰1或成一1；

欣一1或%1

(m>l

若。真,假，则彳，无解.

—加

4

综上，实数加的数值范围是(-8,-1)唱1

[B组能力提升]

1.已知命题（0且非g）且（非。或非g）为真命题，则（）

A.p,q都为真B.p真,g假

C.。假，g真D.p,g都为假

解析：因为（P且非力且（非p或非。为真命题，所以（P且非。为真命题，（非〃或非

0）也为真命题.因为①且非为真命题，所以。和非°都是真命题，所以。真，。假，此

时（非。或非（7）也为真命题，符合题意.

答案：B

2.下列有关命题的叙述错误的是（）

A.对于命题0：存在xWR,x+x+1<0,则女弟p：任意xGR,f+x+l》O

B.命题“若3x+2=0,则x=l”的逆否命题为“若xWl,则f-3x+2W0”

C.若p且q为假命题，则p,q均为假命题

D.“x>2"是"/一3X+2>0”的充分不必要条件

解析：选项A,要注意否命题和命题的否定的区别，否命题是对原命题的条件和结论都

进行否定，命题的否定是只否定原命题的结论.故A正确；互为逆否关系的命题的条件、结

论相反且条件、结论都否定，可用此结论判定选项B正确；“且”命题的真假性满足“一假

俱假”，故C选项中的命题p和命题q至少有一个是假命题，所以选项C错误；不等式Y

—3x+2>0的解集是x>2或水1,故x>2一定能够得到不等式成立，但是，反之不一定成立，

符合充分不必要条件的定义，故D正确.

答案：C

3.若命题“存在xGR,使得f+（a—l）x+lWO成立"为假命题，则实数a的取值范

围是•

解析：该命题。的否定是“任意xCR,f+（a—l）x+l>0"，即关于x的一元二

次不等式3+（@—1）*+1〉0的解集为R,由于命题。是假命题，所以是真命题，所以

4=（a—I）,—4〈0,解得一1〈水3,所以实数a的取值范围是（-1,3）.

答案：（一1,3）

4.已知0