中考压轴题库

2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析

27.(广西桂林12分)已知二次函数-42的图象如图.

(1)求它的对称轴与了轴交点D的坐标；

(2)将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，'轴的交点分别为A、

B、C三点，若/ACB=90°,求此时抛物线的解析式；

(3)设(2)中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径，D为圆心作OD,试判断直线CM

与。D的位置关系，并说明理由.

y-——x

(2)如图1,设平移后的抛物线的解析式为.4

则C(0,k),oc=%,

--x2+—x+k=0

令)'=0,即42,

\B

\

l卜

得%=3+J4k+9,々=3-J4k+9-八

4Jr

.(3-J4k+9,0)(3+〃l+9,0

••A,B

2

AB=(j4&+9+3-3+J4k+9)2=16JI+36

AC2+BC2=k2+(3-J4B+9),+F+(3+J4k+9/=2k2+8k+36

VAC2+BC2=AB2,l|J：16k+36=8+8k+36,得％1=4,女2=0(舍去),

y=-4

抛物线的解析式为42

y=_-

（3）如图2,由抛物线的解析式42可得,

A(-2,0),B(8,0),C(4,0),D(3,0),M

过C、M作直线，连接CD,过M作MH垂直y轴于H,

则MH=3,

CM2=MH2+CH2=32+f—-4^1=—

I4)16

o

在RtZkCOD中，CD=,3,+4-=5=AD,

...点C在。D上。

e/2.25丫625

••I4J16DM2=CD2+CM2

/.DM2=CM2+CD2»Z\CDM是直角三角形。ACDlCMo

•••直线CM与OD相切。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，平移的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与

方程的关系，解一元二次方程，勾股定理和逆定理。

b

X=----

【分析】（1）根据对称轴公式求出2a,求出即可。

（2）用待定系数法设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理

求出即可。

（3）由抛物线的解析式42可得，A,B,C,M各点的坐标，再利用勾股定理

逆定理求出CD_LCM,即可证明。

2.(广西百色12分)如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为0(0,0),

(2)当M、N重合时，求/的解析式;

(3)当匕4°时，问线段AB上是否存在点N使得S=0?若存在，求匕的值；若不存在，请

说明理由；

(4)求S与b的函数关系式。

【答案】解(1)过点B过BE，x轴，垂足为E,则点E(4,0)

；.BE=4,AE=4。

...△ABE为等腰直角三角形，ZOAB=45°»

(2)TM在折线A0C上，N在折线ABC上，

当点M、N重合时，应重合到点A(8,0)。

代入y=x+J得6=-8。

直线/的解析式为'

(3)•.•四边形0ABC的面积为

1_

2X4X(4+8)=24,直线/：丫="+”与x轴的交角为45°,

...△AMN为等腰直角三角形。

当S=0时，4AMN的面积为四边形OABC的面积的一半，即12。

此时，aAMN的底边AM=8+°,高为5(8+匕)

一•(8+：),(8+»=12

由三角形面积公式，得2''2'

解得6=-8±4G(舍去-8-4百)。

...当b=-8+4百时，线段AB上是存在点N使得S=0o

【考点】直线移动问题，直角梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，点的坐标与方程

的关系，列二次函数关系式。

【分析】(1)由己知，根据等腰直角三角形的判定和性质可求出NOAB的大小。

(2)由点M、N重合时，应重合到点A(8,0)可求/的解析式。

(3)由S=0时，AAMN的面积为四边形0ABC的面积的一半可求。

(4)由已知和(3)知

2

2.1-(8+fe)-1(8+/7)=-1/?-8/J-8

S=S2-S1=24-2S1=24-

由(2)和(3)知,-8</?<-8+473

23.(广西北海12分)如图，抛物线：y=ax2+bx+4

与x轴交于点A(—2,0)和B(4,0)、与旷轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以

AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；

(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位

3

长度的速度沿X轴同时出发相向而行.当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒丁个单位

长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动.过点M的直线

I，轴，交AC或BC于点P.求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求

出S的最大值.

【答案】解：(1)把A(-2,0)、B(4,0)代入扇+4,得

4〃一2〃+4=0।

16a+4b+4=0,解得"一一5'"一［

），=」/+》+4

...抛物线的解析式为：.2

y——x~+x+4——(x—1)-H—

(2)由.222,得抛物线的对称轴为直线x=l,

直线x=l交x轴于点D,设直线》=1上一点T(l,h),

作CEL直线x=l,垂足为E,

由C(0,4)得点E(l,4),

在RtZ\ADT和RtATEC中，

由TA=TC得32+r=/+(4-分，

解得〃=1，.•.点T的坐标为(1,1).

(3)解：(I)当°<r42时，zXAMPsZXAOC,

PMAM*AMCOr4、

——=——，，PM=-------=——=2t,*

•••COAOAO2A，Q=6-r。

11,,

S=-PMAQ=-x2r(6-r)=-r2+6r=-O-3)2+9

22

•.•当f<3时，S随'的增加而增加，

当'=2时，S的最大值为8。

(II)当2Vt43时,作PF_Ly轴于F,

有△C0Bs/\CFP,

又CO=OB,

.•.FP=FC=-2,

33

PM=4-(z-2)=6-r,AQ=4+-(z-2)=-z+l

1]333R25

S=-PMAQ=-x(6-r)(-/+l)=——t2+4t+3=——(r——)2+—

..2224433

z_825

当一§时，S的最大值为3。

25

综上所述，S的最大值为3。

【考点】二次函数综合题，抛物线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，二次函数

的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，将A、B点的坐标代入

y=ax?+云+4,即可求出a,b,从而求出抛物线的解析式。

（2）由点T在抛物线对称轴上和勾股定理可求出点T的坐标。

（3）根据0<f<2和2<fW3两种情况，求出S关于t的函数关系式和最值。

4.（广西贺州10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与工

轴交于A、B两点（A在B的左侧），与了轴交于点C（0,4）,

9

顶点为（1,5）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点P,使4CDP为等腰三角形，请

直接写出满足条件的所有点P的坐标.

（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、

BC,过点E作EF//AC交线段BC于点F,连接CE,记4CEF的面积为S,S是否存在最大值？

若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由.

9

【答案】解：（I）•.•抛物线的顶点为（I,5）

设抛物线的函数关系式为2

iz(O-l)2+-=4a=--

•••抛物线与y轴交于点C(0,4),2，解得2。

lz9

y=——(X-1)+—

*所求抛物线的函数关系式为2'2o

(2)Pl(1,而)，P2(1,一/),P3(1,8),P4(1,

_■-(x-1)-+—=0

(3)令2'2,解得xi=-2,'2=4

19

y=—(zx-1)H—

抛物线22与x轴的交点为A(-2,0)C(4,0)。

过点F作FM1OB于点M,

OC2

MF=——BE=-BE

又・・,0C=4,BA=6,，BA3o

2

设E点坐标为(X,0),则EB=4—x,MF=-(4—x)

AS=SABCE-SABEF=1EB•0C-|EB•MF=|EB(OC-MF)

(4—x)

=一1%2+,x+?=_:(x—1)2+3

oJJJ

：a=一；V0,有最大值。

当x=l时，s最大值=3。

此时点E的坐标为(1,0)。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质,

勾股定理，解一元二次方程，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最

值。

9

【分析】(I)根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线的顶点(I,5),用

待定系数法可求抛物线的函数表达式(顶点式)。

(2)若CD为腰，CD=DP,由点C(0,4),D(1,0),得CD=川？+4?=JF7,

.•.得Pl(1,正)，P2(1,一行)。

若CD为腰，CD=CP,由点C(0,4)得P3(1,8)„

若CD为底，CP=DP,设点P的坐标为(1,k)由点c(0,4),D(1,0)得

k="+(1)2,解得k=*

O

...得P4(1,y)o

综上所述，满足条件的所有点P的坐标为Pl(1,y/17),P2(1,一47),P3(1,8),P4

(1,*

MF=-BE

(3)过点F作FMJ_0B,可由△BFDS/\BC0和△BEFs/xBAC求得3。设E点坐标为

(X,0)后，将有关线段用x表示，求出S关于x的二次函数，从而求出最大值。

5.(广西来宾12分)如图，半径为1的。M经过直角坐标系的

原点0,且分别与x轴正半轴、'轴正半轴交于点A、B,

/OMA=60°,过点B的切线交了轴负半轴于点C,抛物线过点A、

B、C.

(1)求点A、B的坐标：

(2)求抛物线的函数关系式；

(3)若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的

点D,使得aBCD是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明

理由.

【答案】解：(D：OM为半径1,.♦.AB=2。

VZ0MA=60°,.,.Z0AM=60°。.,.OA=1,OB=石。

AA(1,0),B(0,6)。

(2)VBC是。M的切线，ZCBA=90°.

VZ0AM=60°,AAC=4»，0C=3。.,.C(-3,0)。

设抛物线的解析式为y=+W+把A(1,0),B(0,6),C(—3,0)代入得

事

a=--------

3

,20

a-\-b+c=Oh=----------

3

c=V3c=

9a—3b-\~c=Q

,解得

_V322也n

工抛物线的解析式为33。

(3)存在。

_百22百fTVJZ\24A/3

y=——X—--x+V3=—(x+1)H---

...抛物线的对称轴为x=-1。

设对称轴与X轴交于点G。

分三种情况讨论：

情况1：BC为底边，

作BC的垂直平分线交抛物线于E,交对称轴于点D3,

易求AB的解析式为卜=一6'+6。

VD3E是BC的垂直平分线，...D3E〃AB。

设D3E的解析式为卜=-氐+b,

VD3E交x轴于(-1,0),代入解析式得力=-6

AD3E的解析式为y=-Gx-6。

把％=—1代入，得丫=0。，D3(-1,0)o

情况2：BC为腰，BC=BD,

+（可=2也

过B做BH〃x轴，则BH=1,D1B=CB=

J(2可一『=而

在□△D1HB中，由勾股定理得D1H=

又：GH=G,AD1（-1,而+6）。

根据对称性（关于DH对称），可得D4（-1,而一百）。

情况3：BC为腰,BC=DC,

在RtZ\D2CG中，GC=2,D2C=BC=2^,

由勾股定理得D2G=M^'_2后。；,D2（—1,2及）。

根据对称性（关于CG对称），可得D5（-l,-2立）。

综上所述，使得ABCD是等腰三角形的点的坐标为：

D1（-1,E+岛，D2（-1,20）,D3（-1,0）,D5（-1,-20）。

【考点】二次函数综合题，圆切线的性质，含300角的直角三角形的性质，待定系数法，曲

线上点的坐标与方程的关系，解多元方程组，抛物线的对称轴，等腰三角形的判定，线段垂

直平分线的性质，勾股定理。

【分析】（1）由题意可直接得出点A、B的坐标为A（1,0）,B（0,岛。

（2）根据BC是切线，可求出AC的长，即得出点C的坐标，由待定系数法求出抛物线的解

析式。

（3）先假设存在，分三种情况讨论即可。

6.（广西崇左14分）已知抛物线y=x2+4x+m（m为常数）经过点（0,4）.

求m的值；

将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线.已知平移后的抛物线满足卜述两

个条件：它的对称轴（设为直线12）与平移前的抛物线的对称轴（设为直线11）关于y轴

对称；它所对应的函数的最小值为-8.

试求平移后的抛物线的解析式：

试问在平移后的抛物线上是否存在点P,使得以3为半径的圆P既与x轴相切，

又与直线12相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线12被圆P所截得的弦AB的长

度；若不存在，请说明理由.

【答案】解：（1）将（0。4）代入）'=/+4x+m得皿=4。

⑵①..•N=『+4X+4=（X+2）,平移前对称轴］］为》=一2。

又•••平移前、后的抛物线的对称轴关于丁轴对称，

•••平移后对称轴12为％=2o

又•.•平移后最小值为一8,

...平移后的抛物线的解析式为y=（“-2）2-8。

②•.•圆P与x轴相切，.•.设P的坐标为（80,土3）,

则）'=-3,x（）=2土石或）'=3,犬0=2±

又•••圆P与直线12相交，.•.点P到％=2的距离小于3,故了0=2±而舍去。

存在这样的点P,使得以3为半径的圆P既与*轴相切，又与直线12相交

且点P的坐标为（2土石，-3,）。

直线12被圆P所截得的弦AB的长度为（2+石）-（2—石）=4。

【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平移的性质，直线与

圆的位置关系。

【分析】⑴将（0,4）代入抛物线，得：02+4X0+m=4,解得m=4。

（2）①根据（1）求出的抛物线，可知其对称轴，平移后的抛物线的对称轴与平移前的对称

轴关于）'轴对称，即可求出新抛物线对称轴，再根据第二个条件，最小值为一8,即可求出

平移后的抛物线的关系式。

②分情况讨论，假设p点存在，且p在x轴上方，根据题意可知，p的纵坐标是3,代入关

系式求解，求出P点坐标，在验证该点是否在直线上；若p在*轴下方，则p的纵坐标是一

3,代入关系式，求出坐标，再进行检验。最后求出弦AB的长度。

7.（广西贵港12分）如图，已知直线y=-5+2与抛物

线y=a（x+2）2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点.

（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；

（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM,设线段PM的长为1,点P

的横坐标为x,请求出12与x之间的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；

(3)在(2)的条件下，线段AB上是否存在点P,使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三

角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)A的坐标是(0,2)；抛物线的解析式是y=g(x+l)2。

(2)如图，P为线段AB上任意一点，连接PM,过点P作PDLx轴于点D。

设P的坐标是(x,一$+2),则在RSPDM中，

PM2=DM2+PD2,

即12=(—2—x)2+Tx+2)2=|x2+2x+8。\/

自变量x的取值范围是：-5<x<0。/

(3)存在满足条件的点Po

连接AM,由题意得，亍啊一

AM=d()M2+0A2=「22+22=2^2。

51

①当PM=PAEI寸，彳x2+2x+8=x2+(-]x+2—2)2,

解得：x=—4,此时y=一；义(一4)+2=4。・,•点Pl(—4,4)。

5

②当PM=AM时.，彳x2+2x+8=(2[2)2,

8181.4

解得：xl=一—x2=0(舍去)，此时y=--X(--)+2=—o

5255

.•.点P2(一|,y)»

③当PA=AM时，x2+(一；x+2—2)2=(2*)2,

解得：xl=-呼,x2=^(舍去)，

□□

此时y=-3(.嘤)+2=^土竺。

，点P3(-嘤，吗土当。

00

综上所述，满足条件的点为Pl(—4,4)、P2(—3,当、P3(一芈，2皿+%

5555

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。

【分析】(1).••点A是直线y=-*+2与y的交点，.•.令x=0,得y=2,即点A的坐标

是（0,2）o

又•.•点A在抛物线y=a(x+2)2上，.•.把点A的坐标代入，得a=g。

，抛物线的解析式为y=，(x+l)2。

(2)根据勾股定理即可列出等式，求得12与x之间的函数关系。

联立y=—5+2与丫="6+1)2可求点B的横坐标x=-5,从而得到自变量x的取值范

围一5Vx<0。

(3)根据等腰三角形的判定，分PM=PA,PM=AM,PA=AM三种情况讨论即可。

8.(广西河池12分)已知直线/经过A(6,0)和B(0,⑵两点,且与直线\=苫交于点二

(1)求直线/的解析式;

(2)若点P(x,0)在线段0A上运动，过点P作直线/的平行线交

直线>=》于点D,求4PCD的面积S与％的函数关系式.S有最大值吗？若有，求出当S最

大时％的值;

1OO1

=--^2+-^+^=--(x—l)2+3

OOOO

•.•。=一!<0,.・.s有最大值。

当x=l时，S最大值=3。

此时点E的坐标为(1,0)。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，点的坐标与方程的关系，等腰三角形的

判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，平行的判定和性质，相似三角形的判

定和性质，二次函数的最值。

9

【分析】(1)根据点在抛物线匕点的坐标满足方程的关系，由抛物线的顶点(1,-),用

待定系数法可求抛物线的函数表达式(顶点式)。

(2)若CD为腰,CD=DP,由点C(0,4),D(l,0),得CD=JF+42=旧，

...得Pl(1,5)，P2(1,一近)。

若CD为腰，CD=CP,由点C(0,4)得P3(1,8)。

若CD为底，CP=DP,设点P的坐标为(1,k)

由点C(0,4),D(1,0)得

k=/l2+(4-k)-,解得k=*

o

.•.得P4(1,y)o

综上所述，满足条件的所有点P的坐标为Pl(1,汨),P2(1,-^17),P3(1,8),

P4(1,-y)o

MF=-BE

(3)过点F作FML0B,可由△BFDsaBCO和△BEFs^BAC求得3。设E点坐标为

(X,0)后，将有关线段用》表示，求出S关于x的二次函数，从而求出最大值。

12.(广西梧州12分)如图,在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AD=6cm,AB=8cm,

BC=14cm.动点P、Q都从点C出发，点P沿C-B方向做匀速运动，点Q沿C-D-A方向做

匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另■点也随之停止运动.

(1)求CD的长；

(2)若点P以lcm/s速度运动，点Q以2/cm/s的速度运动，连接BQ、PQ,设△BQP面积

为S(cm2),点P、Q运动的时间为t(s),求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

(3)若点P的速度仍是lcm/s,点Q的速度为"cm/s,要使在运动过程中出现PQ〃DC,请

你直接写出。的取值范围.

【答案】解：(1)过D点作DHLBC,垂足为点H,

则有DH=AB=8cm,BH=AD=6cm。

・・・CH=BC-BH=14-6=8cm。

在RtADCH中，CD=A/DH2+CH2=8^2cm.

(2)当点P、Q运动的时间为t(s),则PC=t。

①当Q在CD上时，过Q点作QGJ_BC,垂足为点G,

则由点Q的速度为入pcm/s,得QC=2^t。

XVDH=HC,DH±BC,.\ZC=45°。

.,.在RtZ\QCG中，QG=QC•sinNC=2^t•sin450=2t。

又：BP=BC-PC=14-t,ASABPQ^BP-QG=1(14-t)-2t=14t-t2o

当Q运动到D点时所需要的时间1=第=笔=4。

...S=14t-t2(0<tW4).

②当Q在DA上时，过Q点作QGJ_BC,垂足为点G,

则QG=AB=8cm,BP=BC-PC=14-to

.\SABPQ=|BP•QG=g(14-t)•8=56—4t。

当Q运动到A点时所需要的时间1=空券=空毕=4+芈。

2V22y[22

3隹、

/.S=56—4t(4VtW4+-

14t-t2(0<t<4)

56-4t(4<t<4+—)

综合上述，所求的函数关系式是：S=12。

(3)要使运动过程中出现PQ〃DC,。的取值范围是。21+独。

【考点】动点问题，直角梯形和矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行四边形的判定,

解不等式组。

【分析】(1)根据直角梯形的性质，可作辅助线：过D点作DHLBC,得直角三角形，应用

勾股定理即可求得CD的长。

(2)分Q在CD和Q在DA上两种情况讨论即可。

(3)要使运动过程中出现PQ〃DC,根据对边平行且相等的四边形是平行四边形判

定，只要QD=PC即可。由已知QD="t-8m，PC=t,即at-8[^=t,解得t="L

8&,6+8近

又由当Q在DA上时，«“。所以

8夜872

----<----

①a对于得a-l>。不成立；对于。>1,得恒成立。

8及<6+8及

②a-1a，对于。>1,解得。21+第。

，a的取值范围是“21+加。

o

13.（广西玉林、防城港12分）已知抛物线

y=ax2-2ax-3a（。＜°）与x轴交于A、B两点（点A在点

B的左侧），与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.

（1）求A、B的坐标；

（2）过点D作DH_L＞轴于点H,若DH=HC,求a的值和直线

CD的解析式：

（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与8轴交于点E,过线段0B的中点N作NF，x轴,

并交直线CD于点F,则直线NF上是否存在点M,使得点M到直线CD的距离等于点M到原点

0的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：（1）由＞=0得，ax1-lax-3a=°,

。。#0,x—2x—3=0,解得＞i=-i,*2=3,

；・点A的坐标(一1,0),点B的坐标(3,0)o

(2)由y=ax2_2ax_3a,令x=o,得'=—34,；.c(0,-3«)0

又...y="2_2奴-3a=a(x-l)2-4a,得口

Q,_4«)O

；.DH=1,CH=-4«-(~3a)=-a,

：.-a=1,：.a=-l.：.C(0,3),D(1,4)。

设直线CD的解析式为〉=履+匕，把C、D两点的坐标代入得，

b=3肚=1

k+b=4,解得1"=3。...直线CD的解析式为》=》+3。

3

(3)存在。由(2)得，E(-3,0),N(-2,0)。

399

；.F(2,2),EN=2。

3

作MQLCD于Q,设存在满足条件的点M（2,m）,

MQFM

由题意得，RtAFQM^RtAFNE,AENEF,

2.9V2

即］2,

324

整理得4m2+36m—63=0,解得ml=2,m2=-2,

3332A

，点M的坐标为Ml(5,5),M2(5,—2)。

【考点】二次函数综合题,点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，待

定系数法，点到直线距离的定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）令丁=（）求得x的值，从而得出点A、B的坐标。

（2）令》=0,则'=-3。，求得点C、D的坐标，设直线CD的解析式为丫=履+匕，

把C、D两点的坐标代入，求出直线CD的解析式。

MQFM

(3)设存在，作MQ_LCD于Q,由RtaFQMsRt^FNE,得ENEF,即可

得出关于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点M的坐标。

_k

14.（山东日照io分）如图，抛物线云（”>°）与双曲线'-x相交

于点A,B.已知点B的坐标为（-2,—2）,点A在第一象限内，且tan/AOX

=4.过点A作直线AC〃x轴，交抛物线于另一点C.

(1)求双曲线和抛物线的解析式；

(2)计算AABC的面积:

(3)在抛物线上是否存在点D,使4ABD的面积等于AABC的面积.若存在，请你写出点D

的坐标；若不存在，请你说明理由.

y=--2

【答案】解：(1)把点B(-2,-2)的坐标代入x得，

4

y=—

・•・双曲线的解析式为：工。

设A点的坐标为(m,n).TA点在双曲线上，.・.mn=4。

m

又：tanNA0X=4,n=4,即m=4n。

n2=1,An=±lo

•；A点在第一象限，，n=l,m=4。.'A点的坐标为(1,4)。

^a+b=4

把A、B点的坐标代入丫=以2+以得，1加一助=-2,解得，。=1,6=3。

:.抛物线的解析式为：)'=/+3》。

(2)：AC〃x轴，.•.点C的纵坐标y=4,

2

代入〉得方程，X+3X-4=0,解得口=-4,*2=1(舍去)。

；.C点的坐标为(-4,4),且AC=5.

2

XVAABC的高为6,.1△ABC的面积=X5X6=15O

(3)存在D点使4ABD的面积等于4ABC的面积。理由如下：

过点C作CD〃AB交抛物线于另一点D,此时4ABD的面积等于4ABC的面

积(同底：AB,等高：CD和AB的距离)。

•.•直线AB相应的一次函数是：y=2x+2,且CD〃AB,

...可设直线CD解析式为卜=2x+p,

把C点的坐标(-4,4)代入可得,p=12

，直线CD相应的一次函数是：V=2X+12。

y=+3x卜=3

解方程组1y=2x+12,解得，jy=18。

.•.点D的坐标为（3,18）。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元方程组和一元一次方程，

待定系数法，锐角三角函数，平行的性质，同底等高三角形的性质。

【分析】（1）根据已知条件可以推出A点的坐标，把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和

双曲线解析式，即可得出。、匕、女的值，即可确定双曲线和抛物线的解析式。

（2）根据A、B抛物线解析式，可以确定C点的坐标，即可求AC和AC边上的高的长度，即

可计算出4ABC的面积。

（3）根据题意，要使AABD的面积等于AABC面积，只要它们同底等高。山于它们都有同•

底AB,故根据平行的性质，只要作CD〃AB,CD与抛物线的交点D即为所求。根据A、B两

点坐标求出直线AB相应的•次函数结合C点的坐标，得出直线CD相应的一次函数，然后结

合D点也在抛物线上，解方程组，求得D点坐标即可。

15.（山东滨州12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛

物线的顶点0落在水平面上，对称轴是水平线0C.点A、B在抛物线造型

上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，0C=8

米.

（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

（2）为了安全美观，现需在水平线0C上找一点P,用质地、规格已确定的圆形丫

c

钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支

柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P?

（无需证明）-0

（3）为了施工方便，现需计算出点0、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点0、P之

间的距离是多少？（请写出求解过程）

【答案】解：（1）以点0为原点、射线0C为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函

2

数解析式为以。

由题意知点A的坐标为（4,8）,•.•点A在抛物线上,

7CL=一

解得2

y=­x

.•.所求抛物线的函数解析式为：2o

（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,则点A、D关于0C对称。

连接BD交0C于点P,则点P即为所求。

（3）由题意知点B的横坐标为2,：•点B在抛物线上，.•.点B的坐标为（2,2）。

又•.•点A的坐标为（4,8）,...点D的坐标为（-4,8）.

2k+b-5

设直线BD的函数解析式为尸丘+”,则有［-^+8=8,解得也=4。

直线BD的函数解析式为＞=-X+4。

把x=0代入y=-x+4,得点p的坐标为（0,4）。

两根支柱用料最省时，点0、P之间的距离是4米。

【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系，三角形两边之和大于第三边，待定系数

法。

【分析】（1）以点0为原点、射线0C为y轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数

解析式为、="小,又由点A在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式。

（2）延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D,连接BD交0C于点P,则点P即为所求。

因为对于0C上其它任何一点，它与点D,B所连线段之和都大于BDo所以BD=DF+FB最短,

由于DF=AF,从而得到AF+BF最短。

（3）首先根据题意求得点B与D的坐标，设直线BD的函数解析式为y=kx+b,利用待定系

数法即可求得直线BD的函数解析式，把x=0代入丫=一*+4,即可求得点P的坐标。

26

y----

16.（山东德州12分）在直角坐标系X。）'中，已知点P是反比例函数x（》＞0）图象

上一个动点，以P为圆心的圆始终与了轴相切，设切点为A.

(1)如图1,OP运动到与X轴相切，设切点为K,试判断四边形0KPA的形状，并说明理

由.

(2)如图2,0P运动到与*轴相交，设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时:

①求出点A,B,C的坐标.

②在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使AMBP的面积是菱形ABCP面积的2.若存

在，试求所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由.

【答案】解：(1)四边形0KPA是正方形。理山如下:

•.'0P分别与两坐标轴相切，；.PAJ_0A,PKlOKo

.,.ZPA0=Z0KP=90oo

XVZA0K=90°,AZPA0=Z0KP=ZA0K=90o»

四边形OKPA是矩形。

又,/OA=OK,四边形OKPA是正方形。

273

(2)①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为x。

过点P作PG±BC于G»

:四边形ABCP为菱形，,BC=PA=PB=PC。

•,.△PBC为等边三角形。

2G

在RtZXPBG中，ZPBG=60°,PB=PA=x,PG=x。

2百

PGVs_nr

sinZPBG=PB，即2x解之得：x=±2（负值舍去）。

，PG=e,PA=BC=2»

易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2,BG=CG=1,

OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3。

AA(0,百)，B(1,0)C(3,0).

a-vb+c—0

9。+力+c=0

设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c据题意得:c=>/3

a旦b=一迪，。=百

解之得：33

旦2一也X+

y=

・・・二次函数关系式为：33

k+b=Q

,据题意得：以+匕=百

②设直线BP的解析式为：y="+b

解之得：k=®b=-拒

,直线BP的解析式为：丫=显一6

过点A作直线AM〃PB,则可得直线AM的解析式为：丫=0+6

y=y/3x+百

。巫X+演=0x2=l

y=y=百y2=86

解方程组:33得

过点C作直线CM〃PB,则可得直线CM的解析式为：丫=8-36

y=\[3x-3G

与一速X+玉=3X2=4

y=71=°%二百

解方程组:33得

综上可知，满足条件的M的坐标有四个：（0,6),(7,8月)，(3,0),(4,鸟。

【考点】二次函数综合题，正方形的判定，菱形的性质，锐角三角函数，选待定系数法，点

的坐标与方程的关系，平行的性质。

【分析】（1）四边形OKPA是正方形.当（DP分别与两坐标轴相切时，PALy轴，PKLx轴,

x轴_Ly轴,且PA=PK,可判断结论。

2G

（2）①连接PB,设点P（3x）,过点P作PGLBC于G,则半径PB=PC,由菱形的性

2A/3

质得PC=BC,可知APBC为等边三角形，在RtZXPBG中，NPBG=60°,PB=PA=x,PG=x,

PG

利用sinZPBG=PB,列方程求x即可。

②求直线PB的解析式，利