2020-2021学年贵港市覃塘区九年级（上）期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年贵港市覃塘区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.如果点在第四象限，则6的取值范围是（）

A.m>0B.0<m<1C.m<1D.m>1

2,已知一元二次方程a/+力％+。=Q（a。o）.

①若方程两根为一1和2,则2。+c=0；

@b>a+c,则一元二次方程Q/+力％+。=。有两个不相等的实数根；

③若b=2a+3c,则一元二次方程a/+8%+。=0有两个不相等的实数根；

④若仅是方程Q%2+卜％+c=0的一个根，则一定有力2—4ac=（2am+6产成立.

其中正确的是（）

A.只有①②③B.只有①③④C.只有①②③④D.只有①④

3.已知反比例函数y=-|的图象上有两点8（%2，丫2），若%iV0<%2，则下列判断正确

的是（）

A.yi<y2VoB.0<y2<y1C.<0<y2D.y2<0<7i

4,计算：tan6(r—2Ms30=()

A.-逋B.-立C.0D.3V3

36

5.若方程/—8%+m=0可以通过配方写成。—n)2=6的形式，那么％2+8%+m=5可以配

成()

A.(%—九+5/=1B.(%+n)2=1

C.(x-n+5)2=11D.(x+n)2=11

6.如图，P是Na的边。4上一点，点P的坐标为（12,5）,则tcma等于（

5

A.

13

12

B.

13

12

D.

下列图形中，形状一定相同的两个图形是（）

A.两个直角三角形B.两个正三角形

C.两个矩形D.两个梯形

8.二次函数丫=a/+6%+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断正确的是（）

X-1012

y-5131

A.抛物线开口向上B.抛物线与y轴交于负半轴

C.当x=4时，y>0D.抛物线的对称轴为x=1

9,在A/IBC中，D、E分别为48、北边上中点，且DE=6,则8C的长度是（）

10.

C.2

D.1

11.下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）

12.+6x+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且

OA=OC,贝女）

A.QC+1=b

B.ab+1=c

C.he+1=a

D.以上都不是

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

13.函数y=73-x的定义域是______.

14.如图是抛物线丫=。/+法+(;的一部分，其对称轴为直线％=

根据图象，可知一元二次方程ax?+匕刀+©=0的一个解是％=

另一个解是__•

-1^...—?~>

!\c

c

15.如图，矩形R4BC的顶点P在抛物线y=-(%-I)2-2上运动，点/、3均在％轴上，且PC=2尸4

则矩形P4BC周长的最小值为__.

16.如图，在菱形4BCD中，AC=6,BD=8,贝Usin乙4BC=

17.如图，在矩形48co中，点E在BC上，且AE平分Z_b4C,若BE=4,

AC=15,则△AEC的面积为

18.顶角为30度的等腰三角形的腰长为5,这个等腰三角形的面积是

三、计算题(本大题共1小题，共10.0分)

19.(1)计算4cos45。—V8+(TT+V3)°+(-1)2

%+y=1

2x—y=5"

四、解答题(本大题共7小题，共56.0分)

20.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的顶点都在格点

上，点人的坐标是(2,8).

(1)以。为位似中心，在第三象限内作△AB'C',使△AB'C'与△ABC位似，且相似比为1：2；

(2)写出点B的对应点夕的坐标.

:

置

u—一▲一L一

iiii

r-1-1-r-

21.如图，反比例函数yi=子的图象有一个动点4,过点4。作直线

y2=ax,交

图象的另一支于点B.

□X

(1)若点力的坐标是(一1,2),则有

①点B的坐标是；

②当久满足时,Yi>y2；

(2)若在第一象限内有一点C,满足AC=BC,当点4运动时，点C始终在反比

例函数y=(的图象上运动，且tan/CAB=2,求k的值.

22.某商店按图(I)给出的比例，从甲、乙、丙三个厂家共购回饮水机150台，商店质检员对购进的

这批饮水机进行检测，并绘制了如图所示的统计图(口).请根据图中提供的信息回答下列问题.

(1)求该商店从乙厂购买的饮水机台数；

(2)求所购买的饮水机中，非优等品的台数；

(3)从优等品的角度考虑，哪个工厂的产品质量较好些？为什么？

23.如图，有长为46米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度25米

),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃4BCD为了方便出入，

在BC上用其他材料建了两扇宽为1米的门，问：当4B的长是多

B“沛

少米时，围成长方形花圃4BCD的面积为180机2?

24.在矩形48CD中，力B=8,点H是直线4B边上的一个点，连接交直线CB的干点E,交直线4C

于点F,连接BF.

(1)如图①，点H在4B边上，若四边形A8CD是正方形，求证：AADFWAABF；

(2)在(1)的条件下，若AB”尸为等腰三角形，求“尸的长；

(3)如图②，若tan〃DH=%是否存在点H,使得△为等腰三角形？若存在，求该三角形的腰

长；若不存在，试说明理由.

D

图②

25.如图，0G平分AMON,P为射线OG上一点，以P为圆心，10cm为半径作OP,分别与NMON的

两边相交于4、B和C、D,连接P4此时有P4〃0M.

(1)求证：AP=A0,

(2)若tan/GON=

26.如图，四边形2BCD中，48=AD,/.BAD=120°,乙BCD=60°,Z.EAF=60°.

(1)若CB=CD,AE=AF,证明：EF=DF+BE；

(2)若没有条件CB=CD,AE=AF,还有关系EF=DF+BE吗？为什么？

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：•・,点P(m,1-m)在第四象限,

.(m>0

tl—m<0?

解得?n>1,

故选：D.

根据点尸(犯1-6)在第四象限列出关于m的不等式组，解之可得.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

2.答案：B

解析：

利用根与系数的关系判断①；取特殊值判断②；由判别式可判断③；将％=TH代入方程得。加2=

—(bm+c),再代入(2am+6尸变形可判断④.

本题考查了一元二次方程a/+以+。=o(aw0)的根与系数的关系及根的判别式△=b2-4ac：当

△>0,方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数

根.

解：若方程两根为一1和2,则"一"2=-2,

即c=—2a,2a+c=2a—2a=0,故①正确；

若b>a+设a=-4,b=0,c=—5,则4<0,

一元二次方程a/+bx+c=0没有实数根，故②错误；

若b=2a+3c,则4=b2—4ac=4(a+c)2+5c2>0(因为aW0,所以△二。不成立)，

一元二次方程a/+力％+。=0有两个不相等的实数根，故③正确.

若m是方程a/+力％+。=。的一个根，

所以有am2+bm+c=0,即am?——(bm+c),

而(2azn+b)2=4a2m2+4abm+b2

=4矶—(bm+c)]+4abm+b2

=4abm—4abm—4ac+b2

=b2—4ac.故④正确；

故选：B.

3.答案：D

解析：解：如图,

若久1<0<%2>贝!1%<0<.

故选：D.

首先根据函数关系式画出图象，再根据/<0<久2,可比较出月、%的大小，进而得到答案.

此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，关键是根据函数关系式画出草图，可以直观的

得到乃、力的大小.

4.答案:C

解析：

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.

将特殊角的三角函数值代入求解.

解：原式=百—2x当

=0.

故选C.

5.答案：D

解析：

已知方程——8x+m—0可以配方成(x—n)2=6的形式，把/-8x+m=0配方即可得到一个关

于m的方程，求得ni的值，再利用配方法即可确定/+8x+机=5配方后的形式.

考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的

系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好

使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

解：%2—8%+m=0,

•••x2—8%=—m,

•••%2—8%+16=-m+16,

(%—4)2=—m+16,

依题意有九=4,—m+16=6,

n=4,m=10,

•••/+8%+TH=5是/+8%+5=0,

・•・/+8%+16=-5+16,

••.(%+4)2=11,

即(％+n)2=11.

故选：D.

6.答案：C

解析：解：过P作PEI%轴于E,

•・・P(12,5),

・•.PE=5,OE=12,

FE5

tana=-----=—

OE12

故选：c.

7.答案：B

解析：解：4两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本

选项错误；

B,两个正三角形，对应角都是60。，相等，对应边一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；

C、两个矩形，对应角对应相等，对应边不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；

。、两个梯形，对应角不一定对应相等，对应边也不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误.

故选：B.

根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等，然后对各选项分析判断后利用排除法求解.

本题考查了相似图形的定义，注意从对应角与对应边两方面考虑.

8.答案：D

解析：解:根据表格可知，当x=l时，y有最大值3,••.抛物线开口向下，故A说法错误；

当久=0时，y=l,.•.抛物线与y轴交于正半轴，故B说法错误；

根据抛物线具有对称性，当x=3时，y=—5,.•.当x=4时，y<0,故C说法错误；

当x=l时，y最大，值为3,.•.抛物线的对称轴为久=1,故。说法正确.

故选：D.

根据表格中的数据，利用抛物线的对称性，逐项判断即可.

本题主要考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，解决此类问题时，先找到当

x为何值时，y有最大（最小）值，找到对称轴是解题的关键.

9.答案:D

解析：解：•・•△4BC中，D、E分别是边AB、AC的中点且DE=6,

BC=2DE=2X6=12,

故选：D.

根据三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍，计算即可.

此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

10.答案:B

解析：解：设N的横坐标是a,则纵坐标是-上

CL

则。M=ON=［匠+->鱼,则MN的最小值是2&.

故选：B.

设N的横坐标是a,则纵坐标是一工，利用a即可表示出。N的长度，然后根据不等式的性质即可求解.

a

本题是反比例函数与不等式的性质的综合应用，关键是理解不等式的性质.

11.答案：B

解析：试题分析：本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可.

设单位正方形的边长为1,给出的三角形三边长分别为近，2鱼，VIU.仅8项中三角形三边2,4,2V5

与它的各边成正比例.

故选8.

12.答案：A

解析：解：当x=0时，y-ax2+bx+c=c,则C(0,c)(c〉0),

•••OA=OC,

■•X(—c,0),

a•(—c)2+b-(—c)+c=0,

ac—b+1=0,

即ac+1=b.

故选：A.

根据图象易得C(0,c)且c>0,再利用。4=。。可得4(—c,0),然后把4(—c,0)代入y=a/+bx+c即

可得到a、6、c的关系式.

本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=a/+6%+c(a去0),二次项系数a决定抛

物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b

和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；当a与b异号时

(即防<0),对称轴在y轴右.(简称：左同右异)；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交

于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=炉-4四>0时，抛物线与久轴有2个交点；-

4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=62—4ac<0时，抛物线与无轴没有交点.

13.答案：x<3

解析:本题考查函数的概念,函数的取值应使解析式有意义,函数解析式为二次根式，所以3-xN0,

解得x<3.

14.答案：%=1

解析：解：根据图示知，抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-1,与无轴的一个交点坐

标为力(-3,0),

根据抛物线的对称性知，抛物线y=a%2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=-1对称，即抛

物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与2(3,0)关于直线x=-1对称，

・•・另一个交点的坐标为(1,0),

二方程a/+bx+c=。的另一个解是x=1；

故答案是：x=1.

根据抛物线的对称性知，抛物线与X轴的两个交点关于直线久=-1对称，据此可以求得抛物线与X轴

的另一个交点，即一元二次方程a/+6久+C=0的另一个解.

本题考查了抛物线与X轴的交点.解得该题时，充分利用了抛物线的对称性.

15.答案：12

解析：解：抛物线丫=一0-1)2-2的顶点坐标为(1,—2),

当点P位于抛物线的顶点处时，矩形的周长最小，此时P4=2,

•••PC=2PA,

PC=4,

二周长的最小值为2X(2+4)=12,

故答案为：12.

显然当点P位于抛物线的顶点时，矩形的周长最小，从而确定两边的长，求得周长即可.

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解当点P位于抛物线的顶点处时，矩形的周长最小，难

度不大.

16.答案:||

解析：解：如图，设AC、BD相交于点0,

在菱形ABC。中，AC1BD,OX=|T4C=|X6=3,-L

OB=-BD=ix8=4,

22C

由勾股定理得，AB=y/OA2+OB2=V32+42=5.

过点2作2E1BC,贝！=5x/l£=|x6x8,

解得力E=y,

所以，sinN4BC=^|=|^.

AD25

故答案为：||.

设ac、BD相交于点。，根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACIB。，再求出04、0B,利用勾股

定理列式求出菱形的边长4B,过点4作4E1BC,利用菱形的面积列出方程求出4E,再根据锐角的

正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.

本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟记性质并作辅助线构

造出乙4BC所在的直角三角形是解题的关键.

17.答案：30

・・・四边形/BCD是矩形,

•••乙B=90°,

•・•4E平分NR4C,

BE=EF=4.

.11

.-.AAEC的面积=IAC-EF=^x15x4=30,

,故答案为：30.

利用角平分线的性质定理可得AC边上的高.进而求得所求三角形的面积.

本题考查了矩形的性质，角平分线的性质；难点是作辅助线，即三角形上的高，然后利用三角形的

面积公式求解.

18.答案：6.25

解析：解：如图，•••AC=AB5,44=30。，.

vBDlAC^D,/\

•••AADB=90°,/\

BD=-AB=2.5,/\

2/\D

.•.这个等腰三角形的面积=|x2.5x5=6.25,

故答案为：6.25.

根据等腰三角形和直角三角形的性质即可得到结论.

本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

19.答案：(1)解：原式=4x孝—2-\[2+1+1-1+1

=2

(2)Ify=1®

\2x—y=5

①+②得：3x=6,

x-2,

把％=2代入①得：2+y=1,

•••y=-1

・••方程组的解为：后二:「

解析：(1)利用特殊角的三角函数、零指数幕的意义计算；

(2)根据加减消元法解答即可.

本题考查了解二元一次方程组.也考查了实数的运算，关键是利用特殊角的三角函数、零指数幕的

意义计算.

20.答案：解：(1)如图，即为所求作.

r

I

2,—1).

解析：本题考查作图一位似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

(1)分别作出4B,C的对应点A,B',C'即可.

(2)根据点B'的位置写出坐标即可.

21.答案:解:

(1)①：直线%=以过点4

—ci=2,解得a=-2,

二直线解析式为丫2=-2支,

解得心厂或心=1

联立直线和反比例函数解析式可得

=一2'

5(1,-2),

故答案为：(1,-2)；

②为>%，即反比例函数图象在直线的上方所对应的”的取值范围,

二当-1<X<0或X>1时，有为>、2，

故答案为：一1(无<0或x〉l；

(2)如图，过力作2D1久轴于点D,过C作CE1久轴于点E,连接。C,

••・COLAB.

•••tanZ.CAB=2,

co.

・•・一=2,

AO

又乙AOD+(COE=乙COE+乙OCE=90°,

^AOD=2LOCE,且4/DO=4CE。，

COE~XOAD,

CEOEco「

•••——=—=—=2,

ODADAO

设—])(t<0),贝！J。。——t,AD=—(,

4

・•.CE=2OD=-23OE=2AD=

4

4

k=-2tx(--)=8.

解析：本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角函数的定义、相似

三角形的判定和性质、方程思想及数形结合思想等知识.在(1)中求得8点的坐标是解题的关键，在(2)

中构造相似三角形，用力点的坐标表示出C点坐标是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性较强，

难度适中.

(1)①由4点坐标可求得直线解析式，联立两函数解析式可求得B点坐标；②由2、B坐标，结合函数

图象，可求得满足条件的x的范围；

(2)过4作2D1久轴于点D,过C作CE1久轴于点E,连接。C,可知。C14B且平分4B,由三角函数

的定义可求得整=2,可设出力点坐标，由△ADOs^OEC,可表示出C点坐标，则可求得k的值.

22.答案：解：（1）150x40%=60（台）

设商店从乙厂购买的饮水机台数为60台；

(2)由图(〃)知优等品的台数为50+51+26=127(台)

二非优等品的台数为150-127=23(台)；

(3)由题意知:

甲厂的优等品率为人建；

乙厂的优等品率为$=系

丙厂的优^等品率为1一50-X2-0%=-30；

又劲>卫>卫，

306060

・•・丙厂的产品质量较好.

解析:(1)由图(/)可知乙所占的比例是40%：该商店从乙厂购买的饮水机台数总数乘以乙所占的比例；

(2)由图(〃)知优等品的台数为50+51+26,则非优等品的台数为总台数减去优等的台数；

(3)分别求出各种饮水机的台数，已知每种的优等品德个数，即可分别计算优等率.

23.答案：解：设4B=久，

BC=46—3x+2—48—3x,

由题意可知：48-3%<25,

解得：

.­.x(48—3x)=180,

解得：x=6(舍去)或x=10,

答：当AB的长是10米时，围成长方形花圃48CD的面积为180M2

解析：设4B=久，所以BC=46-3久+2=48-3久，根据题意列出方程即可求出答案.

本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型.

24.答案：(1)证明：如图①中，

••・四边形48CD是正方形,

・・・AB=AD,AFAB=2LFAD=45°,

•・,AF=AF,

・・・△AOF三△AB尸(S4S).

(2)解:如图①中，

・・・乙BHF＞乙HAD,

・•・4是钝角，

是等腰三角形，

・・・BH=FH,

・♦・乙HBF=乙BFH,

ADFzAABF,

・•・Z.ADF=乙ABF,

•・•乙AHD=乙HBF+乙BFH,

・・・乙AHD=2乙ADH,

•・•Z.AHD+AADH=90°,

・•・(ADH=30°,

•••AH=AD-tan30°=—,

3

BH=HF=8-—.

3

(3)解：如图②中，存在.理由如下:

图②

••,四边形4BCD是矩形，

AB=CD=8,ABI/CD,Z.DAH=90°,

tanZ.ADH=—=

AD3

.••可以假设4H=4k,AD=3k,则DH=5k,

•••△BHF是等腰三角形，4BH尸是钝角，

HF=BH,设==

•••AH//CD,

AH_HF

CD-DF

VAH+BH=8,

••・4k+%=8②，

由①②可得，X=:或曰(舍弃)，

・•・存在，该三角形的腰长为*

解析：【试题解析】

本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角

形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题.

(1)根据S4S证明三角形全等即可.

(2)想办法证明乙4D”=30°,求出4”即可解决问题.

⑶如图②中，可以假设AH=4k,AD=3k,DH=5k,因为△BHF是等腰三角形，NBHF是钝角，

推出HF=BH,设=HF=x,构建方程组解决问题即可.

25.答案：(1)证明：・•・OG平分NMON,

乙MOG=乙NOG,\

•­-PA//OM,0---V

乙MOP=AAPO,