抛物线的简单几何性质教学设计-高二上学期数学人教A版选择性

教学设计课题抛物线的简单几何性质课型新授课一、内容及其解析1.内容抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质的探究，抛物线几何性质的应用.2.内容解析《抛物线的简单几何性质》内容选自人教版A版选择性必修第一册第三章第三节第2小节，本节课是第2课时.本节课是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比椭圆与双曲线简单几何性质，发现和提出“抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质”的问题，通过数形结合思想认知抛物线的简单几何性质．抛物线的简单几何性质的研究，我们从代数角度与几何的角度进行分析，有助于提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算素养．抛物线简单几何性质的应用，培养学生有意识先用几何眼光观察，再用代数运算解决，体现了用坐标法解决问题的基本思想方法．二、目标及其解析1.目标（1）通过类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程和方法，学会用抛物线的标准方程讨论抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，掌握抛物线的简单几何性质。（2）通过例题的讲解，引导学生根据抛物线的几何性质,学会利用数形结合思想，求解抛物线的标准方程等问题；（3）通过引导学生问题探究，调动学生内驱力，启迪思维，树立信心，体会类比归纳、数形结合和转化的数学思想方法。2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）会通过类比椭圆、双曲线的简单几何性质，发现和提出需要研究的问题；能从图形与代数关系的角度，分析抛物线的简单几何性质，体会数形结合的方法．（2）对于给定条件确定抛物线的标准方程，能够先根据抛物线的对称轴合理选择抛物线的标准方程，再根据抛物线上点的坐标，由抛物线的标准方程确定的值，进而得到抛物线的标准方程．（3）在具体问题情景中，能够把抛物线的标准方程和其几何特征紧密地结合起来，用坐标法解决几何特征，并能有意识先用几何眼光观察，再用代数运算解决，提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养．三、教学问题诊断分析（1）学生在选择性必修第一册第三章圆锥曲线方程的数学学习中，已经掌握了椭圆与双曲线的简单几何性质，对于范围、对称性、顶点、离心率等几何性质有所认知．但对抛物线的简单几何性质的进行研究时，仍会存在一些难度．（2）学生在第一节课已经掌握了抛物线方程的四种形式及其各自特点，能够根据给定的条件，选择抛物线标准方程的形式，确定抛物线的标准方程．难点在于抛物线的简单几何性质的应用，特别是用坐标法解决几何问题：先用几何眼光观察，再用代数运算解决，例如，教学设计中例2的第二种方法．四、教学重点与难点教学重点：抛物线的简单几何性质的探究及其应用.教学难点：抛物线的简单几何性质的应用.五、教学支持条件分析教学时可以充分利用软件画图、制作动画，让学生更加直观的理解抛物线相关的几何性质，提升直观想象和数学抽象素养.六、学习评价设计高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握，更关注数学学科核心素养的形成和发展，制定科学合理的学业质量要求，促进学生在不同学习阶段数学学科核心素养水平的达成.评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程.评价方式：本节课对学生学习效果及教师自身教学效果的评价，围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅的原则进行.（一）过程性评价在课堂教学过程中，从学生的参与程度、概括能力、推理能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习进行评价。通过观察，对学生的学习过程进行评价，包括学习态度、参与小组合作学习的积极程度（是否能积极进行思考、表达自己的想法、倾听别人的想法并提出意见和建议）、能否理解并有条理地表达数学内容.评价量规:评价标准评价内容非常好比较好一般不太好不学习态度注意力非常集中，非常主动、积极地参与到教学活动中注意力比较集中，很主动、积极地参与到教学活动中注意力基本能集中，能主动、积极地参与到教学活动中注意力不太集中，被动地参与任何教学活动注意力不集中，不参与任何教学活动独立思考对于老师提出的问题积极进行思考，并表达自己的想法，还能提出问题对于老师提出的问题积极进行思考，并愿意表达自己的想法对于老师提出的问题进行思考，但不愿表达自己的想法对于老师提出的问题进行思考，没有想法对于老师提出的问题不进行思考参与小组合作非常积极地

织并主动参与小组合作主动参与小组合作能参与小组合作在小组合作中只听别人说，别人操作，自己不思考，不动手不参与小组合作表达数学内容理解并有条理地表达数学内容理解并并能用自己的语言表达数学内容明白数学内容但表达的不清晰对数学内容不十分清楚，表达不出不愿表达数学内容自我反思习惯对自己的学习中的情况进行反思经常对自己的学习中的情况进行反思对自己的学习中的情况能进行反思很少对自己的学习中的情况进行反思不对自己的学习中的情况进行反思（二）阶段性评价通过针对性练习的完成情况对学生的阶段性学习成果进行评价。七、学习活动设计本课时教学流程图：课前5分钟堂测：请同学们回顾上节课内容，完成问题2表格中的前三行。知识回顾，引入主题【引言】通过刚才的课前测，相信已经帮助同学们回忆起了我们上节课讲的内容，即抛物线的定义及标准方程，结合上节课的内容我们继续探讨抛物线的简单几何性质。请同学们回忆一下椭圆和双曲线的有关内容，我们研究了椭圆和双曲线的哪些几何性质？又是如何探究的？预设：研究了椭圆、双曲线的性质，内容有范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；具体的方法是通过直观感知图形的性质，再用方程进行论证，将方程具体结合到几何进行论证。设计意图：在老师的引导下，引导学生回顾椭圆与双曲线的研究内容，通过类比会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法，通过类比研究椭圆与双曲线的设计意图：在老师的引导下，引导学生回顾椭圆与双曲线的研究内容，通过类比会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法，通过类比研究椭圆与双曲线的学习方法，提出要研究的问题．（二）抛物线的简单几何性质的探究【任务1】请各位同学以小组探究的方式，类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程和方法，你认为应该研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？抛物线定义：平面内与一个_____________和____________的距离_____________的点的轨迹叫做抛物线。【提问】：抛物线定义的特点是什么？预设：抛物线上任意一点到焦点与准线的距离相等。标准方程：范围：（提示：可采用方程进行论证）的范围：________________y的范围：________________证明过程：图象：图象特点：当x>0时，增大，________________对称性：抛物线是否是轴对称图形？是否是中心对称图形？哪些直线可以成为抛物线的对称轴，哪些点可以成为对称中心？顶点：定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点坐标：________________离心率：定义：抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d之比MFd，叫做抛物线的离心率,用表示。离心率为________________师生活动：学生以小组的方式进行探究，在探究的过程中教师走到学生中间，解答学生的问题，最后以小组展示的方式，分小组进行几何性质的展示并说明理由，教师最后进行总结。设计意图：通过给予学生知识清单，以小组探究的方式，让学生自己发现问题，解决问题，完成知识梳理，并了解掌握抛物线的简单几何性质。设计意图：通过给予学生知识清单，以小组探究的方式，让学生自己发现问题，解决问题，完成知识梳理，并了解掌握抛物线的简单几何性质。【任务2】通过上节课的学习，还记得抛物线四种形式的标准方程及其性质，请同学们补全下面的表格。抛物线的简单几何性质图形标准方程焦点坐标范围对称性顶点离心率预设：抛物线的简单几何性质图形焦点位置轴的正半轴上轴的负半轴上轴的正半轴上轴的负半轴上标准方程范围对称性关于轴对称关于轴对称关于轴对称关于轴对称顶点离心率设计意图：学生自主探究，回顾之前的探究方式，独立完成任务清单，通过对知识的回顾探究，完成知识梳理，并了解掌握抛物线的简单几何性质。设计意图：学生自主探究，回顾之前的探究方式，独立完成任务清单，通过对知识的回顾探究，完成知识梳理，并了解掌握抛物线的简单几何性质。【追问1】：对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点是什么？预设：(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的14(4)焦点到准线的距离均为p.【追问2】：其不同点又是什么？预设：(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.教师小结：(1)标准方程形式下，抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线;(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;(4)抛物线的离心率是确定的,为1.设计意图：设计意图：通过学生独立整理抛物线的四种标准方程的几何性质，深入了解抛物线的简单几何性质，发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。【问题思考】(1)怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?预设:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.(2)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?预设:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.(3)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?预设:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.练习：：在同一坐标系中画出下列抛物线观察它们的开口大小，并说明抛物线开口大小与方程中的系数的关系：(1)(2)(3)(4)结论:抛物线标准方程中的越大,开口越开阔.由图像对比（三）抛物线的简单几何性质的应用【任务3】学习本节课的知识点后，具体又是如何应用的呢？请同学们看应用一，求抛物线的标准方程。应用一：求抛物线的标准方程：例1已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M2,-22,追问1：请同学们先尝试根据题设画出符合题意的抛物线。追问2：根据题意如何设抛物线的标准方程？因为抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，设方程为y2=2追问3：如何根据已设标准方程形式求出具体的标准方程？因为抛物线方程经过点M2,-22解:因为抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M2,-22所以设方程为,y2=2px，.因此所求抛物线标准方程为：思考：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出它们的标准方程。师生活动：先尝试让学生做图，画出符合题意的抛物线。答案：2条或应用二：求抛物线的焦点弦长例2斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.分析：法一、直线和抛物线联立为方程组，求出两个交点然后用两点间的距离公式求法二、直线和抛物线联立为方程组，设而不求，利用弦长公式来求法三、直线和抛物线联立为方程组，设而不求，数形结合，利用定义来求解：法一：追问1:如何求用向量的方法求线段AB的长度？两点间距离公式追问2:如何求A、B两点间坐标？联立方程组距离公式：因为直线斜率为过焦点所以直线的方程为联立化简得解得带入方程解得所以法二：因为直线斜率为过焦点所以直线的方程为设交点联立化简得韦达定理得法三：追问1：若用焦点将线段AB分成两部分，这两部分是什么？预设：AF,BF追问2：根据抛物线定义AF,BF等于什么？预设：，它们到准线的距离分别是追问3：如何求出A、B两点到准线的距离以及AB的长度？由题意知，焦点的坐标为,准线方程为如图：设，它们到准线的距离分别是，由抛物线的定义可知所以由题意得过焦点，且斜率为的直线的方程为（1）联立化简得根据韦达定理，得：所以:【追问1】根据例2，你能否表示出与方程为y2=2pxp>0的抛物线交与A预设：AB【追问2】同样以y2=2pxp>0为例，你能否画出最短的焦点弦长，并求出其预设：学生能在图上画出最短焦点弦长，并求出其长度。抛物线的通径：过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段，长度为2p【追问3】同样以y2=2pxp>0为例，抛物线上任一点Mx0,y0与焦点F的连线段，请各位同学在图中画出预设：学生能在图上画出MF，但是对于所求没有思路，教师可以提示学生可以利用例2的方法，参考抛物线定义求出。抛物线焦半径：抛物线上任一点Mx0,y0应用三：拱桥模型设点Ba,-h关于轴的对称点为，则方程对应的轨迹是常见的抛物拱

(图3.37).抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱(图3.38)、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分.例3．如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为？解析：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果.解答：以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上，所以，，可得，所以，抛物线的方程为，当水面上升后，即当时，，可得，因此，当水面上升后，桥洞内水面宽为.应用四：抛物线应用—探照灯例4．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则，光线从点到经过的总路程为．【追问】：如何求两个反射点的坐标？预设：联立方程组【追问2】：如何利用抛物线性质求出总路程？预设：利用抛物线定义【解析】如图，设第一次射到抛物线上的点记为，第二次射到抛物线上的点记为，易得，因为，所以直线的方程为．联立消去整理得，可设，显然和是该方程的两个根，则，所以．（方法一）光线从点到经过的总路程为．（方法二）设抛物线的准线为，则其方程为，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，则，，所以，故光线从点到经过的总路程为．故答案为：；20.设计意图：通过典型设计意图：通过典型例题，熟练掌握直线与抛物线的位置关系的方法，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。（四）目标检测1．求适合下列条件的抛物线的标准方程：（1）关于x轴对称，并且经过点；（2）关于y轴对称，准线经过点；（3）准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4；（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线．1．(1).(2).(3).(4).【分析】(1)设出抛物线方程代入点的坐标即可求得抛物线方程.(2)先求得准线方程，利用准线方程求得的值，求得抛物线方程.(3)利用抛物线的几何性质求得，求得抛物线方程.(4)利用焦半径公式及抛物线的几何性质求解即可.【详解】(1)由题可设抛物线的标准方程为,.∵抛物线过点M(5,4),∴，则抛物线的标准方程为.(2)∵抛物线关于y轴对称,且准线过点E(5,5),∴抛物线的焦点在y轴正半轴上,设抛物线的标准方程为，由题知，抛物线的准线方程为,所以，得，抛物线的标准方程为.(3)抛物线的准线在y轴右侧，∴可设抛物线的方程为,∵抛物线顶点到准线的距离是4,所以，得，∴抛物线的标准方程为.(4)抛物线的焦点F在y轴负半轴，∴可设抛物线的方程为,∵抛物线经过横坐标为16的点,∴又FP平行于准线，∴∴∴抛物线的标准方程为.2．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点.(1)求抛物线的标准方程；(2)若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长.【分析】（1）根据抛物线所过点求得抛物线的标准方程.（2）写出直线的方程，并与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得.【详解】（1）抛物线经过点，设抛物线的方程为，则，所以抛物线方程为.（2）抛物线的焦点为，直线的方程为，由，消去并化简得，，所以.设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。。（五）归纳小结，回顾重点设计意图：设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。五、课后作业：1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq\r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,8)A[线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).]2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A．(4eq\r(2)，±2)B．(±4eq\r(2)，2)C．(±2,4eq\r(2))D．(2，±4eq\r(2))D[抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x2＋y2＝x－42＋y2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±4\r(2).))所以符合题意的点为(2，±4eq\r(2))．]3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．eq\f(15,8)[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得p＝eq\f(1,4).∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－eq\f(1,4)＝eq\f(15,4)，故AB的中点的纵坐标是eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(15,8).]4.已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB