辽宁省凌源市联合校高三数学上学期期中试题文（含解析）

辽宁省凌源市联合校2020届高三数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则A∩B=（）A. B. C. D.已知i为虚数单位，复数z满足：z（1+i）=2i，则在复平面上复数z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限命题p：∀x∈R，ax22ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件函数f（x）=x2sinx的图象大致为（）A. B.

C. D.已知m，n是两条不同的自线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m,n没有公共点,则 B.若,,,则

C.若,,则 D.若,,则已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|2|=1，则||=（）A. B.1 C. D.已知正项等比数列{an}满足a1a2=8，a3a4=2，若a1a2a3…an=1，则nA.5 B.6 C.9 D.将函数y=sin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.，则cos2θ的值为（）A. B. C. D.已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足cos2Acos2B+cos2C=1+sinAsinC，且sinA+sinC=1，则△ABC的形状为（）A.等边三角形 B.等腰直角三角形

C.顶角为的等腰三角形 D.顶角为的等腰三角形设函数f（x）=xlnx的图象与直线y=2x+m相切，则实数m的值为（）A.e B. C. D.2e已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=x2+f'（2）lnx，则f'（2）的值为（）A.6 B.7 C.8 D.二、填空题（本大题共4小题）命题：“∀x∈R，ex≤x”的否定是______（写出否定命题）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）一个周期的图象（如图），则这个函数的解析式为______．

已知点A（2，0），B（0，1），若点P（x，y）在线段AB上，则xy的最大值为______．已知侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题）已知函数．

（1）求函数y=f（x）的值域和单调减区间；

（2）已知A，B，C为△ABC的三个内角，且，，求sinA的值．

在中，角所对的边分别为，且满足.⑴求角的大小；⑵

若，求周长的最大值。

已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a5=5，且a2，a4，a7成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求：数列{bn}的前n项和Tn．

已知数列{an}为递增的等比数列，a1•a4=8，a2+a3=6．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）记bn=an+log2an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．

（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；

（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；

（3）求三棱锥CBC1D的体积．

已知在x=1与处都取得极值．

（1）求a，b的值；

（2）若对时，f（x）＜c恒成立，求实数c的取值范围．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，

∴A∩B={x|x＜0}．

故选：A．

分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．

本题考查交集的求法，考查交集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.【答案】D

【解析】解：由z（1+i）=2i，得z=，

∴在复平面上复数z对应的点的坐标为（，），位于第四象限．

故选：D．

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3.【答案】B

【解析】解：命题p：∀x∈R，ax22ax+1＞0，解命题p：①当a≠0时，△=4a2-4a=4a（a1）＜0，且0＜a，

∴解得：0＜a＜1，

②当a=0时，不等式ax22ax+1＞0在R上恒成立，

∴不等式ax22ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；

命题q：指数函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）为减函数，则：0＜a＜1；

所以：当0≤a＜1；则推不出0＜a＜1；当0＜a＜1；则能推出0≤a＜1；

则P是q的必要不充分条件．

故选：B．

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．

【解析】解：由于函数f（x）=x2sinx是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B和D；

又函数过点（π，0），可以排除A，所以只有C符合．

故选：C．

根据函数f（x）=x2sinx是奇函数，且函数过点[π，0]，从而得出结论．

本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x轴的交点，属于基础题．

5.【答案】D

【解析】解：m，n没有公共点，则m，n平行或异面，故A错误；

m⊂α，n⊂β，α∥β，则m，n平行或异面，故B错误；

m⊂α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；

n∥α，由线面平行的性质定理可得n平行于过n的平面与α的交线l，m⊥α，

可得m⊥l，即有m⊥n，故D正确．

故选：D．

由两直线的位置关系可判断A；由面面平行的定义可判断B；由线面的位置关系可判断C；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断D．

本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，注意平行和垂直的判定和性质的运用，考查推理能力，属于基础题．

6.【答案】A

【解析】解：∵非零向量，的夹角为60°，且||=1，∴=||•1•=，

∵|2|=1，∴=44+=42||+1=1，∴42||=0，∴||=，

故选：A．

由题意可得=||•1•=，再根据，=1，求得||的值．

本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的计算，属于基础题．

7.【答案】C

【解析】解：正项等比数列{an}满足a1a2=8，a3a4=2，可得=，∴q2=，q＞0，解得q=，代入a1a2=8，可得a1=16，a1a2a3…an=1，可得（a1an）n=1，所以a1an=1，a12qn1=1，

∴=1，解得n=9．

故选：C．

利用已知条件求出对比以及数列的首项，通过a1a2a3…an=1【解析】解：将函数y=sin2x的图象上各点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数y=sin（2x）图象，

令2x=kπ，可得x=+，k∈Z，故所得函数图象的对称中心为（+，0）．

令k=1，可得所得图象的一个对称中心为（，0），

故选：A．

由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．

本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．

9.【答案】A

【解析】解：∵=sinθ，

∴sinθ=，

∴cos2θ=12sin2θ=12×（）2=．

故选：A．

由已知利用诱导公式可求sinθ的值，根据二倍角的余弦函数公式即可求解．

本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

10.【答案】D

【解析】解：∵cos2Acos2B+cos2C=1+sinAsinC，

∴（1sin2A）（1sin2B）+（1sin2C）=1+sinAsinC，

∴可得sin2A+sin2Csin2B=sinAsinC，

∴根据正弦定理得a2+c2b2=ac，

∴由余弦定理得cosB===，

∵B∈（0°，180°），

∴B=120°，

∵sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC．

∴变形得=（sinA+sinC）2sinAsinC，

又∵sinA+sinC=1，得sinAsinC=，

∴上述两式联立得sinA=sinC=，

∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，

∴A=C=30°，

∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．

故选：D．

利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A，由sin2B=sin2A+sin2C+sinAsinC，与sinA+sinC=1联立求得sinA和sinC的值，进而根据A【解析】解：设切点为（s，t），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，

可得切线的斜率为1+lns=2，解得s=e，

则t=elne=e=2e+m，即m=e．

故选：B．

设切点为（s，t），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s，t，进而求得m．

本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．

12.【答案】C

【解析】解：，

∴，解得f′（2）=8．

故选：C．

可以求出导函数，从而可得出，解出f′（2）即可．

本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．

13.【答案】

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“∀x∈R，ex≤x”的否定是：．

故答案为：．

利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

14.【答案】f（x）=

【解析】解：由函数的图象可得A=1，T=，解得：T==π，

解得ω=2．

图象经过（，1），可得：1=sin（2×+φ），

解得：φ=2kπ+，k∈Z，

由于：|φ|＜，

可得：φ=，

故f（x）的解析式为：f（x）=．

故答案为：f（x）=．

由图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，通过图象经过（，1），求出φ，从而得到f（x）的解析式．

本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：A（2，0），B（0，1），

可得AB的方程为+y=1，（0≤x≤2），

由+y≥2，

可得xy≤2•（+y）2=，

当且仅当x=，y=时，取得最大值，

故答案为：．

求得线段AB的方程，由基本不等式，计算可得所求最大值．

本题考查直线方程的求法和基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．

16.【答案】3πa2

【解析】解：因为侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，

三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，

球的直径就是正方体的对角线，正方体的对角线长为：a；

所以球的表面积为：4π（）2=3πa2

故答案为：3πa2．

侧棱长为a的正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，说明三棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出球的表面积．

本题是基础题，考查三棱锥的外接球的表面积的求法，三棱锥扩展为正方体是本题的关键，正方体的对角线是外接球的直径也不容忽视，考查计算能力．

17.【答案】解：（1）∵

==，且，

∴所求值域为；

由，

得：，k∈Z．

故所求减区间为：；

（2）∵A，B，C是△ABC的三个内角，，∴，

又，即，

且，∴．

故．

【解析】（1）展开两角和的正弦，再由倍角公式降幂，利用辅助角公式化积，则函数的值域可求，再由复合函数的单调性求函数的单调减区间；

（2）由已知求得sinB，再由求解C，然后利用诱导公式及两角和的正弦求解sinA的值．

本题考查两角和与差的三角函数，考查三角形的解法，是中档题．

18.【答案】解：（Ⅰ）依正弦定理可将化为：

因为在中，sinB＞0，

所以，即，

∵0＜A＜π，∴．

（Ⅱ）因为三角形的周长=a+b+c=4+b+c，

所以当b+c最大时，△ABC的周长最大，

因为a2=c2+b22bccosA=（b+c）23bc，

因为a=4，且，则

∴16，即b+c≤8（当且仅当b=c=4时等号成立）

所以△ABC周长的最大值为12．

【解析】本题考查正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数，以及基本不等式求最值问题，属于中档题．

（Ⅰ）利用正弦定理、商的关系化简式子，求出tanA的值，由A的范围求出角A的大小；

（Ⅱ）由条件和余弦定理列出方程，利用基本不等式求出b+c的范围，再求出△ABC的周长最大值.

19.【答案】解：（1）设数列{an}的公差为d（d≠0），

据题得，解得，d=．

∴数列{an}的通项公式为；

（2）由，得．

令，

则，

∴=，

∴，

∴Tn=．

【解析】（1）设数列{an}的公差为d（d≠0），由题意列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，代入等差数列的通项公式即可；

（2）求得数列{bn}的通项公式，再由错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn．

本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，是中档题．

20.【答案】解：（Ⅰ）由a1•a4=a2•a3=8及a2+a3=6…（2分）

得或（舍）

…（4分）

所以，a1=1

所以…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得…（7分）

所以Tn=b1+b2+…+bn=（20+21+…+2n1）+（1+2+…+n）==…（13分）

【解析】（Ⅰ）由a1•a4=a2•a3=8及a2+a3=6，a2＜a3，解出，再利用通项公式即可得出．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，再利用求和公式即可得出．

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

21.【答案】（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．

∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，

∴A1B∥OD．

∵OD⊂平面BC1D，A1B⊄平面BC1D，

∴直线AB1∥平面BC1D；

（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，

∴AA1⊥BD，

∵底面ABC正三角形，D是AC的中点

∴BD⊥AC

∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，

∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；