黑龙江省哈尔滨第三高级中学高三上学期第四次验收考试理科数学试题

哈三中20202021学年度上学期高三年级第四次验收考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。，集合，则（）A. B. C. D.2.已知直线与直线垂直，则实数（）A.10 B. D.3.已知，是两个平面，，，是三条直线，下列四个命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，，，则C.若，，，则D.若，，，则4.若实数，满足约束条件，则的最大值是（）5.若圆：与圆：有三条公切线，则的值为（）A.2 B. 66.若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为，则其表面积为（）A. B. C. D.7.已知直线：（）与圆：（）相交于，两点，若，则的值为（）A. B. 8.哈三中群力校区食堂二楼的好七牛肉面是学生喜欢的快餐之一，现将体积为的面团经过第一次拉伸成长为的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，则经过五次对折拉伸之后面条的截面直径是（）（单位：.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）A. B. C. D.9.已知函数（，）的图象与轴的两个交点的最短距离为.若将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于中心对称，则（）A. B. C. D.10.已知定义在上的函数满足条件，且函数时，，则方程在上的实根之和为（） C. D.11.球的球面上有四点，，，，其中，，，四点共面，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.12.对于实数，定义表示不超过的最大整数，已知正项数列满足：，，其中为数列前项和，则（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数______.经过两点，，圆心在轴上，则圆的标准方程为______.的边长为2，点，分别为边，的中点，将此正方形沿，折起，使点，重合于点，则点到平面的距离为______.16.将6个半径都为1的钢球完全装入形状为圆柱的容器里，分两层放入，每层3个，下层的3个小球两两相切且均与圆柱内壁相切，则该圆柱体的高的最小值为______.三、解答题：共70分。第17~21题为必考题，每题12分。第22、23题为选考题，共10分，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17.（12分）在中，内角，，的对边分别是，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.18.（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，点是的中点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.19.（12分）已知正项数列的前项和为，且满足，.（1）求证：数列为等差数列；（2）若，求数列的前项和.20.（12分）四棱柱中，底面为平行四边形，平面平面，，为中点，，.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的余弦值.21.（12分）已知函数（）.（1）若，求函数在处的切线；（2）若有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题记分。22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系内，直线过点，且倾斜角.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设直线与圆交于，两点，求的值.23.[选修45：不等式选讲]（10分）设函数.（1）求的解集；（2）若存在，使得成立的的最大值为，且实数，满足，证明：.哈三中20202021学年度上学期高三年级第四次验收考试数学试卷（理）答案一、选择题ABCBC AADDD BC二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.解：（1）∵，∴∴（2），，.18.（1）连接交于，在中，，为中点，所以因为平面，平面所以平面向量方法略（2）方法一几何法略方法二向量法以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，设，则，，且，设平面的法向量为满足取，则因为平面，所以可以取平面的一个法向量为所以二面角的余弦值为.19.（1），，作差得（），整理得，所以（）时，，∴或2∵，∴.∴是以2为首项，2为等公差的等差数列.（2），∴，，，20.（1）（1）由已知为中点，所以，所以平面，平面，所以又因为，，所以，所以平面（2）方法一以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量，其他右手坐标系建系方式酌情给分方法二几何法取中点，连接，连接交于，为与平面所成的角（需证明），由余弦定理得，.21.（1）；（2）首先：设函数，与函数具有相同的零点，知函数在上递减，上递增，当，；可证：当时，，即即此时：当时，有两个零点，只需，即；其次：方法一：设函数，（）则，且对恒成立即当时，单调递减，此时，即当时，由已知，则，则有由于函数在上