四川省泸州市泸县四中2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题

泸县四中高2023级高一下学期开学考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小感，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，，再求两个集合的交集即可.【详解】因为，，所以.故选：D2.下列四组函数中与是同一函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】借助同一函数的定义逐一判断即可.【详解】对于选项A:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数,故选项A错误；对于选项B:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数,故选项B错误；对于选项C:函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故选项C错误；对于选项D:函数的定义域为的定义域为，定义域相同，且，解析式相同，故是同一函数，故选项D正确；故选：D.3.函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理依次判断各选项中区域端点处的符号即可.【详解】对于A，当时，，，，在内无零点，A错误；对于B，当从正方向无限趋近于时，，则；又，在内无零点，B错误；对于C，，，且在上连续，在内有零点，C正确；对于D，，，在内无零点，D错误.故选：C.4.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，根据二次函数以及对数函数的单调性求出复合函数的递增区间即可.【详解】由，解得：，故函数的定义域是，函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在定义域内是单调递减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知，函数的单调递增区间是.故选：D5.“”是“一元二次不等式的解集为”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合一元二次不等式在上恒成立的等价条件判断即可.【详解】充分性：若，，一元二次不等式的解集为，即充分性不成立；必要性：若一元二次不等式的解集为，则，即必要性成立.因此，“”是“一元二次不等式的解集为”的必要非充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了一元二次不等式在上恒成立的等价条件的应用，考查推理能力，属于基础题.6.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数单调性及中间值比较出大小.【详解】函数在R上单调递增，故，在R上单调递减，，在上单调递减，，故.故选：C.7.已知幂函数的图像过点，则下列结论正确的是（）A.的定义域为 B.在其定义域内为减函数C.是偶函数 D.是奇函数【答案】B【解析】【分析】先代点求出幂函数解析式，然后判断幂函数的性质即可.【详解】设，代入点可得，所以，所以，对于A：函数的定义域为，所以A错误；对于B：因为，所以在内单调递减，B正确；对于C：因为的定义域为，所以不是偶函数，C错误；对于D：因为的定义域为，所以不是奇函数，D错误，故选：B8.设函数若存在且，使得，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，需将看成整体角，由范围求得范围，结合函数的图象，求得使的两个解，由题只需使即可，计算即得.【详解】不妨取，由可得：，由可得，由图可取要使存在且，使得，需使，，解得.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.解决的关键在于将看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中.有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数具有奇偶性的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用奇偶性定义来逐项分析即可.【详解】选项A，函数的定义域为关于原点对称，又，所以，所以为偶函数；选项B，函数的定义域为关于原点对称，又，所以，所以为偶函数；选项C，函数的定义域为关于原点对称，又，所以，所以为奇函数；选项D，函数的定义域为关于原点对称，又，所以，所以为非奇非偶函数；故选：ABC.10.已知函数，则下列叙述中，正确的是（）．A.函数的图象关于点对称 B.函数在上单调递增C.函数的最小正周期为 D.函数是偶函数【答案】AB【解析】【分析】由正切函数性质判断AB，利用特殊值及周期性、奇偶性的定义判断CD．【详解】，A正确；时，，因此此时递增，B正确；，但不存在，C，D均不正确，故选：AB．11.由知实数a，b满足，则（）A.ab的最大值为B.的最大值为C.D.当时，的最大值为【答案】AC【解析】【分析】由不等式，可判定A正确；设，联立方程组，结合，可判定B不正确；设，联立方程组，可判定C正确；，转化为，结合三角函数的性质，可判定D不正确.【详解】对于A中，由不等式，可得，解得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；对于B中，设，联立方程组，整理得，由，解得，可得，所以的最大值为，所以B不正确；对于C中，设，联立方程组，整理得，由，解得，可得，所以的最大值为，所以C正确；对于D中，由，即，设，则，设，可得，可得，因为，可得，即，不妨设，可得则，所以又因为为单调递增函数，所以无最大值，所以D不正确.故选：AC12.已知函数，函数，则下列结论正确的是（）A.若关于的方程有2个不同实根，则的取值范围是B.若关于的方程有3个不同实根，则的取值范围是C.若有5个零点，则的取值范围是D.最多有6个零点【答案】BC【解析】【分析】由题意根据对数函数，指数函数的性质作出的函数图象，对于AB，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解，对于CD，首先若，则有或，进一步列出不等式组即可判断.【详解】如图：作出的大致图象，由图可知若关于的方程有2个不同实根，则的取值范围是，故A错误；由图可知若关于的方程有3个不同实根，则的取值范围是，故B正确；令，得，解得或，若有5个零点，则或，解得，故C正确；若有6个零点，则，该不等式组的解集为空集，所以最多有5个零点.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题CD选项的关键是由，得到或，进一步通过数形结合即可顺利得解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效．（2）本部分共10个小题，共90分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.______．【答案】##【解析】【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可．【详解】原式故答案为：．14.已知圆心角为2的扇形，其弧长为5，则扇形的面积为___________．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合扇形的弧长和面积公式，准确运算，即可求解.【详解】设扇形所在圆的半径为，因为扇形的圆心角为且弧长为，可得，解得，所以扇形的面积为.故答案为：.15.已知是第二象限角，其终边上一点，且，则x的值为______.【答案】【解析】【分析】直接根据三角函数定义得到，根据是第二象限角得到答案.【详解】由终边上一点，得，解得，是第二象限角，所以x的值为.故答案：.【点睛】本题考查根据三角函数定义求参数，意在考查学生计算能力.16.已知，且，则的最小值为______.【答案】17【解析】【分析】由题得，再利用基本不等式求函数的最小值.【详解】，当且仅当，即，亦即时，等号成立.所以函数的最小值为17.故答案为17【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知是第二象限角，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解即可；（2）根据诱导公式和同角三角函数的基本关系求解即可.【小问1详解】因为，所以，因为，所以，因为是第二象限角，所以，则.【小问2详解】.18.已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．（1）当时，求与；（2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1），．（2）【解析】【分析】（1）用集合的新定义求解即可；（2）由“”是“”的必要条件得到，再利用范围求出即可.【小问1详解】，当时，，所以，．【小问2详解】因为“”是“”的必要条件，所以，故，解得，即实数a的取值范围是．19.已知是定义在上的奇函数，且时有．（1）写出函数的单调区间（不要证明）；（2）解不等式；（3）求函数在,上的最大值和最小值．【答案】（1）单调递增区间为,,,，递减区间为,（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由函数的解析式结合函数的奇偶性可得的单调区间；（2）根据题意，由函数的奇偶性可得函数的解析式，则有或，解可得不等式的解集，即可得答案；（3）由函数的解析式可得在区间上为增函数，在上为减函数，在为增函数；对的值进行分情况讨论，求出函数的最值，即可得答案【小问1详解】根据题意，是定义在上的奇函数，且时有；则的单调递增区间为,,,，递减区间为,；【小问2详解】是定义在上的奇函数，且时有，设，则，则，则，综合可得：，若或，解可得：或，则不等式的解集为【小问3详解】由（2）的结论，，在区间上为增函数，在上为减函数，在为增函数；对于区间，，必有，解可得；故当时，，，当，时，，（2），当时，，，20.交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次.游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆.据统计，某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍.为进一步提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日均人数可增加m万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）．（1）当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？（2）当m在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价格？【答案】（1）元，元，元.（2）元，元.【解析】【分析】根据题意列出景区营业额和景区门票的关系，再通过解不等式得出答案.【小问1详解】设景区降价后的门票日均营业额为万元，景区门票价格下降了元，因为优惠后的最终门票价格不低于80元，所以，即，由题意得，当时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则，即，即，解得，又因为，所以，，所以景区门票价格可以为元，元，元.【小问2详解】由（1）知，，因为，所以当m在区间上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，只要时门票日均营业额不低于520万元即可，即，即，即，解得，又因为，所以，，所以景区门票价格可以为元，元.21.已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减．（1）求证：；（2）求值；（3）当时，求不等式的解集．【答案】21.证明见解析22.23.【解析】【分析】（1）借助赋值法令即可得；（2）借助赋值法可得为周期为的周期函数、并可计算出、、、，结合周期性即可得.（3）借助赋值法令，可将原不等式转化为，解出可得的范围，结合函数性质即可得.【小问1详解】令，则有，由，故；【小问2详解】令，则有，则，即，故，即，则，即，故，即有，故函数为周期为的周期函数，令、，则有，即，令、，则有，即，由，故，，，，故.【小问3详解】令，则有，即，则，即可化为，即解，即，即，由、，且在区间上单调递减，故是该不等式的解，又，即，故在区间上单调递增，又、，故是该不等式的解，又函数为周期为的周期函数，故该不等式的解集为.【点睛】关键点睛：本题最后一问关键在于正确使用赋值法，将转化为，从而将原不等式转化为.22.己知函数．（1）判断的奇偶性；（2）己知