上海市宝山区淞谊中学2022-2023学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）(含答案)

上海市宝山区淞谊中学2022-2023学年九年级上学期月考

数学试卷（9月份）（含答案与详细解析）

一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）

1.（4分）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（）

A.2,3,4,6B.2,3,4,5C.2,3,5,7D.3,4,5,6

2.（4分）如图，用放大镜看△ABC,若边BC的长度变为原来的2倍，那么下列说法中,

不正确的是（）

A.边48的长度也变为原来的2倍

B.NBAC的度数也变为原来的2倍

C.△ABC的周长变为原来的2倍

D.ZVIBC的面积变为原来的4倍

3.（4分）如果点。、E分别在△ABC的两边A8、AC上，下列条件中可以推出的

是（）

A.岖=2,盥=2B坦=2DE=2_

,而~3BCy

CAB=2D.也=2AE=4

,AD~2AD3EC~3

4.（4分）如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE//BC,EF〃CD交AB于F,

那么下列比例式中正确的是（）

D幺_

RC

DE

A._B,/一加rDFAFDEFDE

DFBCBDABDBDF'CEF'BC

5.（4分）已知△ABC的三边长分别为6cm,1.5cm,9cm,的一边长为5cm，若这两

个三角形相似，则△OEF的另两边长可能是下列各组中的（）

C.6cm,7cmD.1cm,9cm

6.（4分）如图，在△ABC中，4OJ_BC,点。为垂足，为了证明NBAC=90°,以下添加

的等积式中，正确的有（）

①4£>2=BD・C£）

@AB-CD=AC'AD

@AC2=BC'CD

@AB2^AC'BD

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）

7.（4分）已知线段。=2厘米，c=8厘米，则线段a和c的比例中项。是厘米.

8.（4分）在△ABC中，点。、E分别在BA、C4的延长线上，如果OE〃BC,AB：BD=2：

3,那么AC：CE=.

9.（4分）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P

处，KAP<BP,则报幕员应走米报幕（依生2.236，结果精确到01米）.

——>

I--------1----------------1

APB

10.（4分）在△ABC中，点。、E分别在边AB、AC上，ZADE=ZC,AD=\,AE=2,

AC=3,那么AB—.

11.（4分）如图，已知AO为△ABC的角平分线，DE//AB,如果笆■上，那么坐=.

EC3AB

12.（4分）如图，在△A8C中A8=3,AC=4,△ABC绕着点4旋转后能与△ABC重合,

若BB'=2,那么CC=

A

13.（4分）如图，在梯形488中，AD//BC,AC与BD相交于点。，如果SAACD：SAABC

Sf\ABD=

14.（4分）如图，在5X5的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上,

试在该网格中找点。，联结。E、DF,使得△£）£：/与aACB相似（在图中画出符合题意

的点。）

15.（4分）如图的△ABC中有一正方形。EFG,其中。在AC上，E、F在A8t,直线AG

分别交OE、BC于M、N两点.若NB=90°,AB=4,BC=3,EF=\,则BN的长度

16.（4分）现有不等臂跷跷板AB,当A3的一端点A碰到地面时（如图（1））,另一端点8

到地面距离为3米；当A8的另一端点8碰到地面时（如图（2））,端点A到地面距离为

2米，那么跷晓板48的支撑点。到地面的距离0〃=米.

■B

（1）（2）

17.（4分）在△ABC中，/C=90°,48=5,把△ABC绕点C旋转，使点2落在射线3A

上的点E处（点E不与点A,8重合），此时点A落在点F,联结外，若△AEF是直角

三角形，且A尸=4,则8C=.

18.（4分）如图，△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE//BC,AD=2DB,△ADE

和△4BC重心间的距离为2；当点。，E分别在A3,AC延长线上且DE:〃BC时，△ADE'

和△ABC重心间的距离不大于6,设此时AB：的值为k,那么k的取值范围是.

三.解答题：（本大题共7题，满分78分）

19.（10分）已知点C在线段A8上，且满足AC2=AB・BC.

（1）若48=1,求AC的长；

（2）若AC比BC大2,求4B的长.

20.（10分）如图：AD//EG//BC,EG分别交A3、DB、AC于点E、F、G,已知AO=6,

BC=10,AE=3,AB=5,求EG、PG的长.

21.（10分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.

（1）如图1己知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路

灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度；

(2)如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长C”为1米，再

将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长QF为3米，求灯杆AB

的高度.

22.(10分)如图，在△ABC中，点。是边BC上一点，ZADE=ZC,QE交边AC于点E.

(1)求证：PE=AD.

DCAC

(2)若求证：ZABD—ZADB.

ADBC

23.(12分)如图，已知平行四边形ABC£>,点E为线段AO上一点，联结CE并延长交2A

的延长线于点F,联结BE、DF.

(1)若△AEF面积为2,△AEB面积为3,求△-9C的面积；

24.(12分)在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点逆时针旋转，并把这条线段伸

长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角

为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”；如图，平面直角坐标系xOy中有

一点A(2,6),把线段0A绕点0做“旋似”运动，点A的对应点是点B,若“旋似角”

为90°,

(1)当“旋似比”为3时，点B恰落在一个反比例函数图象上，求该反比例函数的解析

式；

(2)过3作轴，点F为垂足，联结AB,若△AOB与△BOF相似，求此时的“旋

似比“；

(3)当“旋似比”为工时，过点A作AELx轴，垂足为E,点。是)'轴上一点，且满足

2

25.(14分)在平行四边形ABCO中，AB=6,8c=3,点E是射线BA上一点，且满足D4

点尸在线段CE上，联结。F,使

(1)如图，当点E在边84上时,

①求证：DF-CE^AB'AD-.

②若BE=2,求线段CF的长.

(2)若△OCF是以CF为腰的等腰三角形，求此时线段CE的长.

上海市宝山区淞谊中学2022-2023学年九年级上学期月考

数学试卷（9月份）参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）

1.（4分）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（）

A.2,3,4,6B.2,3,4,5C.2,3,5,7D.3,4,5,6

【分析】根据成比例线段的定义对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、；2：3=4：6,二2,3,4,6能成比例线段，故本选项正确；

3、2,3,4,5不能成比例线段，故本选项错误；

C、2,3,5,7不能成比例线段，故本选项错误；

D、3,4,5,6不能成比例线段，故本选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键.

2.（4分）如图，用放大镜看△ABC,若边8c的长度变为原来的2倍，那么下列说法中,

A.边A3的长度也变为原来的2倍

B.N84C的度数也变为原来的2倍

C.AABC的周长变为原来的2倍

D.AABC的面积变为原来的4倍

【分析】根据相似三角形的判定和性质，可得出这两个三角形相似，相似三角形的周长

之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.

【解答】解：•••用放大镜看△ABC,若边8C的长度变为原来的2倍，

.,.边AB的长度也变为原来的2倍，故A正确；

...△A8C的周长变为原来的2倍，故C正确；

...△ABC的面积变为原来的4倍，故O正确；

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比

等于相似比的平方.

3.（4分）如果点。、E分别在△ABC的两边A3、AC上，下列条件中可以推出£）E〃3c的

是（）

AAD2CE2RAD2DE2

BD3AE3AB3BC3

CAB=2EC=1口AE=A

,AD2"AET-AD3"EC

【分析】根据各个选项的条件只要能推出他=地或坐=A£,即可得出△AOEs4

ABACADAE

ABC,推出根据平行线的判定推出即可.

解：A、根据包_=2和%=2不能推出DE//BC,故本选项错误;

BD3AE3

B、根据地=2和理=2不能推出。E〃BC,故本选项错误；

AB3BC3

•.•-A-C_3

AE2

..AB=3

,AD2"

.AB=AC

*'ADAE'

/\ABC^/\ADE,

：.NADE=NB,

J.DE//BC,故本选项正确;

。、根据期和迪=4不能推出。E〃3C,故本选项错误;

AD3EC3

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，关键是推出AABC

s/\ADE.

4.（4分）如图，在△A8C中，。、E分别在AB、AC上，DE//BC,EF〃C。交A8于尸,

那么下列比例式中正确的是（)

D,

BC

AAFDERAFADrDFAFnEFDE

DFBCBDABDBDFCDBC

【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各

选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：A、'：EF//CD,DE//BC,

.AF_AE；AE_DE,

"DF而言

VCE^AC,

迎工班.故本答案错误；

DF尸BC

8、"：DE//BC,EF//CD,

AEADAF

-AE一.

ACABACAD

AFAD

AD-AB

'：AD^DF,

...空大也，故本答案错误;

BD尸研

C、'JEF//CD,DE//BC,

.AF_AE；AE_AD,

"DF"EC'ECW

•AF_AD

,•萨而

•：ADXDF,

/.DF故本答案错误;

DB尸DF

。、*：DE〃BC,EF//CD,

.DEAEEFAE

•♦—=一,—二—，

BCACCDAC

...里M,故本答案正确.

CDBC

故选：D.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其他两边,

所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找找对应线段是关键.

5.（4分）已知△ABC的三边长分别为6c?”,1.5cm,9cm,△QEF的一边长为5tw,若这两

个三角形相似，则△£>£下的另两边长可能是下列各组中的（）

A.2cm,3cmB.4cm,6cmC.6cm,7cmD.1cm,9cm

【分析】根据三边对应成比例的三角形相似，即可求得.注意中为5c小边长的对

应边可能是6a〃或1.5cm或9cm,所以有三种情况.

【解答】解：设△DEF的另两边为xc7w,ycm,

若ADEF中为5cm边长的对应边为6cm,

贝||：互=_5_=工，

67.59

解得：1=空，y=K；

4-2

若ADEF中为5cm边长的对应边为7.5cm,

则：_=三=工，

7.569

解得：x=4,y=6；

若△OEV中为5cm边长的对应边为9cm,

则：A=A=_Z_,

967.5

解得：x=9，y=空；

36

故选:B.

【点评】此题考查了相似三角形的判定：三边对应成比例的三角形相似.解此题的关键

要注意中为5c机边长的对应边不确定，答案不唯一，要仔细分析，小心别漏解.

6.（4分）如图，在aABC中，AOLBC,点。为垂足，为了证明/B4c=90°,以下添加

的等积式中，正确的有（）

①AD2=BD・CD

®AB'CD=AC-AD

@AC2=BC'CD

@AB2=AC'BD

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】①由题意得出期＞0,证明△AOCsaBDA,可得出/D4C=/A8。，则可证

BDAD

出结论；②不能证明△48C与△4OC相似，得出②不符合题意；证出△4C£)sZ^BC4,

由相似三角形的性质得出NAOC=NBAC=90°,可得出③符合题意；根据

不能证明△ABC与△ABO相似，则可得出结论.

【解答】解：①♦.•AOL8C,

AZADC=ZADB=90°,

"：AD1=BD'CD,

.ADCD

♦•丽F

XADCsXBDA,

：.ZDAC^ZABD,

：./ABD+NBAD=ZDAC+ZBAD^90a,

即NBAC=90°,

故①符合题意；

@'：AB'CD=AC'AD,

•ABAD

一而F，

不能证明△ABC与△AOC相似；

故②不符合题意；

③•.•AC2=BC・CD,

.ACCD

••-----=”

BCAC

ZACD=ZBCA,

：./\ACD^^BCA,

.•./ADC=/B4C=90°,

故③符合题意；

④由AB2=AC-BD不能证明与△48。相似,

故④不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相

似三角形的判定与性质是解题的关键.

二.填空题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）

7.（4分）已知线段a=2厘米，c=8厘米，则线段。和c的比例中项」是4厘米.

【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b=b：c,可得廿=ac=16,故人的值可求.

【解答】解：•••线段b是〃、c的比例中项，

.'.b2=ac=\6,

解得b=±4,

又；线段是正数，

.'.b=4.

故答案为4.

【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方.求

两条线段的比例中项的时候，负数应舍去.

8.（4分）在△4BC中，点。、E分别在BA、C4的延长线上，如果。E〃BC,AB-.BD=2：

3,那么AC：CE=2：3.

【分析】根据平行线分线段成比例的性质即可得出答案.

【解答】解：如图所示，

■:DE//BC,AB-.BD=2：3,

：.AC：CE=2：3,

故答案为2：3.

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，比较简单.

9.（4分）如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P

处，且AP<BP,则报幕员应走3.8米报幕（依处2.236，结果精确到0.1米）.

——>

APB

［分析］根据黄金分割的比值为返二1列式计算即可得解.

2

【解答】解：：点P为AB的黄金分割点，AP<BP,

，AP=10-10X在二1

2

=10-10X2-236-1

2

=10-6.18

=3.82

心3.8米.

故答案为：3.8.

【点评】本题考查了黄金分割的应用.关键是明确黄金分割所涉及的线段的比.

10.（4分）在△4BC中，点。、E分别在边AB、AC上，ZADE=ZC,AD=\,AE=2,

AC=3,那么AB=6.

【分析】由NA=/A,ZADE^ZC,根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得4

ADE^/XACB,根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的值.

【解答】解：VZA=ZA,NADE=NC,

：./\ADE^/\ACB,

•■•AD二-AE,

ACAB

\'AD=1,AE=2,AC=3,

•・•1—•=2一一一,

3AB

；.A8=6.

故答案为：6.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质.此题难度不大，解题的关键是注意方程

思想与数形结合思想的应用.

11.（4分）如图，已知A3为△ABC的角平分线，DE//AB,如果岖=2,那么岖=2.

EC3AB—5一

【分析】由。E〃AB可得些皿，进而结合题干中的条件得到AE=OE,即可求解.

ABAC

【解答】解：

•••D--E二CE，,

ABAC

T7••AE2

EC3

•.D•-E-=C'E-_-3,

ABAC5

又YA。为△ABC的角平分线，DE//AB,

：.ZADE^ZBAD=ZDAE,

：.AE^DE,

•AE_DE_CE_3

*'ABAB"AC5"

故答案为：3.

5

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，平行于三角形一边的直线截

其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

12.（4分）如图，在△ABC中AB=3,AC=4,4ABC绕着点A旋转后能与△ABC重合，

若BB'=2,那么CC=3..

-3~

【分析】由旋转的性质可得A2=AB，，AC=4C,ZBAB'^ZCAC,可证△ABQS^ACC,

由相似三角形的性质可求解.

【解答】解：♦•.△ABC绕着点A旋转后能与△AFC重合，

：.AB=AB',AC=AC,ZBAB'=ZCAC,

.AB'AC'

••—=19

ABAC

•BB;AB

"CC7-=AC，

-3__2

"T"cc7

:.cc=^~.

3

【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的

关键.

13.（4分）如图，在梯形A8CD中，AD//BC,AC与80相交于点0,如果&ACD：S&ABC

=1:2,那么Sz\A0。：S/^ABD=1：3.

【分析】根据三角形面积公式得出地=上，证△AOOs^cOB,求出坨=工，求出。0：

BC2B02

BD=1：3,根据三角形面积公式求出即可.

【解答】解：•.,4O〃2C,

△AC。的边AD上的高和△ABC边8c上的高相等，

VSAACD：S&ABC=1：2,

•AD=1

*'BC~2

,JAD//BC,

：.△A0Ds/\C0B,

.DO=AD=1

"OBBC

•.•D0_―1,

BD3

/XAOD的边DOtl的高和△43。边BD上的高相等，

S^AOD：SAAB£>=1：3,

故答案为：1：3.

【点评】本题考查了三角形面积和相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推

理能力和计算能力.

14.（4分）如图，在5X5的正方形网格中，点A、B、C、E、尸都在小正方形的顶点上，

试在该网格中找点£>,联结。E、DF,使得△£）£：/与△ACB相似（在图中画出符合题意

的点。）

【分析】把的各边放大2倍得到△OEE

【解答】解：如图，△£>£/为所作.

【点评】本题考查了作图-相似变换：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据.比

较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形.

15.（4分）如图的△A8C中有一正方形DEFG,其中。在AC上，E、『在A8上，直线4G

分别交。E、BC于M、N两点.若/B=90°,AB=4,8c=3,EF=L则BN的长度为

12

~7

【分析】由。E〃BC可得坐=些，求出AE的长，由G尸〃BN可得蛆地2=丝，将

ABBCABBN

AE的长代入可求得BN.

【解答】解：•••四边形OEFG是正方形,

J.DE//BC,GF//BN,且DE=GF=EF=1,

.♦.△4£>ES”CB,/XAGF^/XANB,

・杷=DE①AE+EF_GF（②

••而—而‘AB-BN'

由①可得，AE=1,解得：AE=1,

433

4年+11

将4E=9代入②，得：3_=A,

34BN

解得：BN=^-,

7

故答案为：12.

7

【点评】本题考查相似三角形的判定与性质及正方形的性质，根据相似三角形的性质得

出4E的长是解题的关键.

16.（4分）现有不等臂跷跷板AB,当AB的一端点4碰到地面时（如图（1））,另一端点B

到地面距离为3米；当AB的另一端点8碰到地面时（如图（2））,端点4到地面距离为

2米，那么跷晓板AB的支撑点。到地面的距离0H=1.2米.

（1）（2）

【分析】直接利用相似三角形的判定与性质分别得出里望，皿期，再进行比例变

BNABAMBA

换即可得出答案.

【解答】解：如图所示：过点B作BNLA”于点N,AML8”于点

(1)(2)

：.HO//BN,

二△AO"S"BM

••--O-H二A一O,

BNAB

即型工2®

3AB

同理可得：

•OHBO

AMBA

即型型②，

2AB

①+②，得型+0H=OA4B=AB

32ABAB

：.OH=\.2（米）,

故答案为：1.2.

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式是解题关键.

17.（4分）在△ABC中，ZC=90°,AB=5,把△ABC绕点C旋转，使点B落在射线BA

上的点E处（点E不与点A,B重合），此时点A落在点广，联结加，若△AE尸是直角

三角形，且A尸=4,则BC=遥或2«.

【分析】分两种情况讨论，由勾股定理可求AE的长，通过证明△AHCsaCHB,可求

CH的长，由勾股定理可求解.

【解答】解：如图，当点E在线段AB上时，过点C作Ca于"，

VZEAF=90°,

AE=^gp2_^p2—425T6=3,

:・BE=2,

♦：BC=CE,CH±AB,

：.EH=BH=lf

：.AH=4,

VZB+ZBAC=90°=/B+/BCH,

：.NBCH=NBAC,

又•：NAHC=NBHC=90°,

J△AHCs/\CHB,

•.--A--H二-C--H，

CHBH

：.CH2=AH-BH=4X\=4,

：.CH=2,

22

BC~VBH+CH=44+1—V5；

当点E在线段BA的延长线上时，过点C作CHLAB于H,

同理可求，BC=2娓,

综上所述：BC=«或2

故答案为：后或2遍.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和

性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

18.（4分）如图，△48C中，点。，E分别在边AB,AC上，DE//BC,AD=2DB,MADE

和△ABC重心间的距离为2；当点。，E分别在AB,4c延长线上且力E〃BC时，MADE

和△ABC重心间的距离不大于6,设此时AB：A。的值为k,那么女的取值范围是

k<l

【分析】过A点交。E于点G,设M点是△AOE的重心，由已知求出AG=6,

AH=9,当△AOE和△ABC重心间的距离等于6时，设△△£>£的重心为Q,则GQ=6,

求出AK=18,则笆_=£旦=9=工，又由△AOE和△ABC重心间的距离不大于6,可

DAAK182

得』WZ<1.

2

【解答】解：过A点交OE于点G,设M点是△ADE的重心,

•.•AM_2―»

AG3

〈AD=2DB,

・幽=2,

**AH5’

・•・△ABC的重心在DE上，

：.AG=2GHf

•/MADE和△ABC重心间的距离为2,

・・・MG=2,

・"M=4,

・・.AG=6,AH=9,

当点、D,E分别在48,AC延长线上时，

当△AOE和△ABC重心间的距离等于6时，

设△4DE的重心为Q,则GQ=6,

♦：GH=3,

：.HQ=3,

：.AQ=\2fQK=6,

・・・AK=18,

•・•AB_AH_9_1,

DAAK182

,?ZVIOE和△ABC重心间的距离不大于6,

2

故答案为：X^k<\.

2

A

【点评】本题考查三角形的重心，熟练掌握三角形重心的性质，平行线的性质是解题的

关键.

三.解答题：(本大题共7题，满分78分)

19.(10分)己知点C在线段A8上，且满足AC2=A8・8C.

(1)若4B=1,求AC的长；

(2)若AC比BC大2,求AB的长.

【分析】(1)根据已知可得点C是线段A8的黄金分割点，从而可得4C=1二14B,然

2

后进行计算即可解答；

(2)根据已知可设AC=x,则BC=x-2,从而可得AB=2x-2,然后根据

可得/=(2x-2)(x-2),从而进行计算即可解答.

【解答】解：(1)•.•点C在线段A3上，且满足AC2=AB”C,

.♦.点C是线段AB的黄金分割点，

:.AC=^~~148=遍-1,

22

.•.AC的长为近二L

2

(2)比8C大2,

...设AC=x,则BC=x-2,

：.AB=AC+BC=2x-2,

'：AC1=AB'BC,

；./=⑵-2）（x-2）,

解得：x\=3+A/5»X2=3-（舍去），

：.AB=2x-2=2-Js+4,

：.AB的长为2代+4.

【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.

20.（10分）如图：AD//EG//BC,EG分别交AB、DB、AC于点E、尸、G,已知A£>=6,

BC=10,AE=3,AB=5,求EG、FG的长.

【分析】在△ABC中，根据平行线分线段成比例求出EG,在△BAO中，根据平行线分

线段成比例求出EF,即可求出FG=EG-EF.

【解答】解：:△ABC中，EG//BC,

••E=G----AE,

BCAB

.皿=10,AE=3,AB=5,

••E=G—,3

105

\EG=6,

.,△BAO中，EF//AD,

.•E二F---B-E-»

ADAB

：AD=6,AE=3,AB=5,

••-.E.F—5-3r

65

.\EF=12

5

：.FG=EG-EF=1^-.

5

【点评】本题考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两

边的延长线），所得的对应线段成比例.

21.（10分）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义.

（1）如图1已知小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路

灯灯杆的底部3米，求灯杆AB的高度；

（2）如图2现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长C4为1米，再

将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长OF为3米，求灯杆A8

的高度.

【分析】（1）根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可；

（2）根据题意得：GC=DE=2米，CD=1.8米，NABC=NGCD=NEDF=90°,然

后证明A字模型相似三角形从而可得再证明A字模型相

AB1+BC

似三角形△AB/SAMF,从而可得_2_=——3——，进而可得3,最后

AB3+1.8+BC1+BC4.8+BC

求出8c的长，从而求出AB的长.

【解答】解：（1）•；PO〃AB,

:.△CPOs^cAB,

•.•P0—CO9

ABCB

•••小明的身高是1.6米，他在路灯AB下的影子长为2米，此时小明距路灯灯杆的底部3

米，

."0=1.6,C0=2,80=3,

•1.62

，'-AB-=2+3

解得AB=4,

...灯杆AB的高度是4〃z.

(2)由题意得：

GC=£>E=2米，C£>=1.8米，ZABC=ZGCD=ZEDF=90°,

ZAHB=ZGHC,

△ABHs/XGCH,

cH

GC>

B

A2BH

1

AB1c

+B

:.△ABFs^EDF,

•.•-E-D=-D-F-»

ABBF

♦2,3

''AB=3+l.8+BC)

.1二3

*'1+BC=4.8+BC)

.•.BC=0.9米，

.21

*'AB=1+1.

.".AB—3.8米，

灯杆A8的高度为3.8米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，数学常识，中心投影，列代

数式，平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及相

似三角形的判定与性质是解题的关键.此题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得

出△AOCsZ\A"进而得出比例式是解题关键.

22.(10分)如图，在△ABC中，点。是边BC上一点，NAOE=/C,DE交边AC于点、E.

(1)求证：理=迫；

DCAC

(2)若迈=煦，求证：NABD=NADB.

ADBC

A

【分析】(1)由NAOE=NC,NEAO=ND4C根据“两角分别相等的两个三角形相似”

证明△E4£>S/\D4C,得迈_=旦^；

DCAC

(2)先推导出16=%，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似"证明△QEC

ACBC

^/XABC,得NCE£>=NA8。，再证明/CEC=N£)AC+NAQE=N£»AC+/C=NAOB,

于是/ABO=NA£>3.

【解答】(1)证明：：/AOE=/C,ZEAD^ZDAC,

：./\EAD^/\DAC,

.DE=AD

，#DCAC'

(2)证明：：迈=包_,

DCAC

.DE=DC

"ADAC,

..DE=CE

,ADBC,

•DC=CE

ACBC，

VZC=ZC,

：./\DEC^/\ABC,

：.ZCED^ZABD,

,：NCED=ZDAC+ZADE^ZDAC+ZC,

：.ZADB=ZDAC+ZC,

：.ZCED=ZADB,

：.ZABD=ZADB.

【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不个邻的两个

内角的和等知识，证明△EAOS4D4c及△OECs/\A8C是解题的关键.

23.(12分)如图，已知平行四边形ABCZ),点E为线段A。上一点，联结CE并延长交84

的延长线于点F,联结BE、DF.

(1)若△AEF面积为2,2XAEB面积为3,求△FQC的面积;

(2)当尸E时，求证：EF1=AF'DC.

【分析】(1)设点E到A尸的距离是6,通过推导也照=更说明“如果两个三角形的

2AAEB研

高相等，那么这个三角形面积的比等于底的比“，由CD//AF,AE〃BC推导出旦a=里=

EDEC

、

”=2,则也处=段=2,JADEF=EF=2(由此分别求出SADEF*。EC的值，

AB3^ADEFED3^ADECEC3

再由5""'=5/^^+^。“求出4尸£＞。的面积即可；

(2)先证明△BFESAFCC,得巫=此，再由AE〃8C得分2=空，变形为更=更,

DCCFBFCFEFCF

则巫="，所以EF2=AF・OC.

DCEF

【解答】(1)解：设点E到AF的距离是/?,

/△AEFJ■虾少_研

SAAEB疑・h杷

•.•四边形ABC。是平行四边形，尸面积为2,△AEB面积为3,

J.CD//AF,AE//BC,S^AEf^S^AEB=2+3=5,

•幽=里="=2

一面ECAB3"

SS

.AAEFEA2ADEF_EF=2

^ADEFED3SADECEC3

S4DEF=^~S&AEF=3x2=3,

22

SAOEC~-^S'ADEF=—^3——>

222

SMDC=S4DEF+S4DEC=3+—=，

22

.•.△尸£>(7的面积是至.

2

(2)证明：ZABE=ZDFE,ZBFE=ZFCD,

:.△BFES^FCD,

•EF=BF,

*'DCCF)

'：AE//BC,

FEF

一

-一--

AFcF

]-FBF

B_=

-一

FF

C

AF

_=A-1

IF一

]E-cEF

:.EEF2=AF-DC.

D-

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成

比例定理等知识，正确地理解和运用“高相等的两个三角形面积的比等于底的比”及相

似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

24.(12分)在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点逆时针旋转，并把这条线段伸

长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角

为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”；如图，平面直角坐标系X。)，中有

一点A(2,6),把线段0A绕点0做“旋似”运动，点A的对应点是点B,若“旋似角”

为90°,

(1)当“旋似比”为3时•，点B恰落在一个反比例函数图象上，求该反比例函数的解析

式；

(2)过B作轴，点厂为垂足，联结AB,若△AOB与△BOF相似，求此时的“旋

似比”；

(3)当“旋似比”为工时，过点A作AELx轴，垂足为E,点。是y轴上一点，且满足

NBDO=/OAE,求点。的坐标.

【分析】(1)设线段0A绕。点逆时针旋转90°后对应点为4,过点A作AELx轴交于

点E,过点A作A£)_Lx轴交于点。，先证明△40E四△OAE(A4S),可求4(-6,2),

再由“旋似比”为3,求出6),即可求y=-期；

X

(2)由(1)知，/OAE=/BOF,当XAOBsXOFB时，NBAO=NBOF,设“旋似

比”为%,则弛=%,求出40=2百5，由tan/OAE=工，求出BO=Wii,再由3BF

0A33

=OF,分别求出BF=2,OF=2,即可求％=工；

33

(3)过点8作BG_Ly轴交于点G,由(1)可得8(3,1),由题意可得tan/BOO=J_=

3

毁，求出。G=9,则。(0,10)或(0,-8).

DG

【解答】解：(1)设线