大学物理课后习题答案4

习题四

4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：

(1)拍皮球时球的运动；

(2)如题4T图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很

短).

^77777〃7777k

题4-1图

解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如

质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置

附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用.或者说，若一个系

统的运动微分方程能用

萼+诡=0

描述时，其所作的运动就是谐振动.

(1)拍皮球时球的运动不是谐振动.第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位

置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都

不是线性回复力.

(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动.显然，小球在运动过

程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点,

即系统势能最小值位置点而小球在运动中的回复力为-机gsin。，如题4-1图(b)所

示.题中所述，kS«R,故。=与-0,所以回复力为一mg6.式中负号，表示回复

力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在。点附近的往复运动中所受回复力为线性

的.若以小球为对象，则小球在以。'为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，

在凹槽切线方向上有

(j2g

mR--=-m2O

dr2

令#则有

R

d202八

--+CO=0

d”

4-2劲度系数为匕和七的两根弹簧，与质量为加的小球按题4-2图所示的两种方式连

接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期.

解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有F=F]=F2,设串联弹簧的等效

倔强系数为K用等效位移为x,则有

F=-k.fx

K=一匕龙1

F2=—k2x2

又有x=x1+x2

x=E著+区

%hk2

所以串联弹簧的等效倔强系数为

kk

人串l2

&+七

即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k=k}kj{k}+k2)的弹簧振子系统，故

小球作谐振动.其振动周期为

(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有F=K=B，即》=斗=々，设并联弹

簧的倔强系数为七并，则有

k井.x=k]x]+k2x2

故k井=攵1+七

同上理，其振动周期为

T'=2乃Im

、即+k.

4-3如题4-3图所示，物体的质量为机，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为6,弹

簧的倔强系数为左，滑轮的转动惯量为/,半径为/?•先把物体托住，使弹簧维持原长，然

后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期.

(b)

题4-3图

解：分别以物体机和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位

置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有

mgsin。-7]=机竽①

T,R-T2R=l/3②

票=即

③

T2=k(x0+x)

式中x0=〃?gsine/k,为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有

/H-Y

(mR+—)=-kxR

2

9kR

令co~

mR-+1

则有

d2x2C

―+%=0

dr2

故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

7=女=2万

(=2万

a)

4-4质量为10xl0-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.lcos(8%+葛)

(SI)的规律

作谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?

(3)t2=5s与A=Is两个时刻的位相差;

解：(1)设谐振动的标准方程为了=a05(0+00)，则知：

A=O.lm,0=8;r,.・.T=%=s,0o=2万/3

co4

-1-1

又|vm|=a>4=0.8^m-s=2.51m-s

22

|am|—coA—63.2m-s-

⑵同=a〃,=0.63N

E=-mv1=3.16X10-2J

2

__1

Ep=Ek=—E=1.58x10-2j

2

当々=E,时，有E=2E”,

即_1履2,=1_•(1—AA,?)

222

•_V2_,V2

・•x=±+-A4=±—m

(3)=co(t2—4)=8%(5—1)=327

4-5一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A,周期为T,其振动方程用余弦函数

表示.如果，=0时质点的状态分别是：

(1)%=-A；

⑵过平衡位置向正向运动;

A

⑶过X=一处向负向运动;

2

4

(4)过x=-处向正向运动.

试求出相应的初位相，并写出振动方程.

x=Acos%

解：因为0

v0=-artsin°。

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件F的初位相.故有

x=Acos亨/+4)

外=兀

243、

32x-—Tt+-7T)

2

〃

-AcoslzT

3-£\T

-23

--Acosz5、

4f2T£t+-K)

4

4-6•质量为lOxlO^kg的物体作谐振动，振幅为24cm,周期为4.0s,当f=0时位移

为+24cm.求：

(1)t=0.5s时;物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；

(2)由起始位置运动到x=12cm处所需的最短时间；

⑶在x=12cm处物体的总能量.

解：由题已知A=24xl(f2m,T=4.0s

a)--=0.5"rad-s-1

T

又，/=0时，x。=+A,「,=0

故振动方程为

x=24x10-2cos(0.5m)m

(1)将，=0.5s代入得

x05=24x10-2cos(0.5m)m=0.17m

F=-ma=-marx

=-10xl0-3x(y)2x0.17=-4.2xl0-3N

方向指向坐标原点，即沿x轴负向.

(2)由题知，f=0时，。0=°，

Ajr

f=f时x0=+耳,且口＜0,故4--

...Z=A£=£/£=2S

。323

(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

E=-kA2=-m(t)2A2

22

=-X10X10-3(-)2X(0.24)2

22

=7.1X10-4J

4-7有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm.用这个弹簧和一个质量

为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后,给予向上的初速度

1

v0=5.0cm.s-,求振动周期和振动表达式.

解：由题知人=」^=-----------=0.2Nm1

x,4.9x10-2

_2_2

而f=0时，x0=-l.OxlOm,vo=5.OxlOms''(设向上为正)

又co1.26s

A

=V2xlO-2m

5.0x10-2=1，即0o=彳

tan0。=----2

-2

x[,(01.0X10X5

x=V2xlO-2cos(5r+

4

即a)=—=7rrads-1

T

3

故xa=0.1cos(m+,〃)m

A,4

由题4-8图(b)•.,/=()时，xo=y,v0>0,.・.。0=—

JI

tx=0时，％]=0,匕<0,「・=2TT+—

,55

又@=a)xl+-7c=一兀

132

5

CO--K

6

八i55兀、

故%—0.1COS(z—7Ct~\----)机

63

4-9-轻弹簧的倔强系数为k,其下端悬有一质量为M的盘子.现有一质量为m的物体

从离盘底/?高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动.

(1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同？

(2)此时的振动振幅多大？

(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并

写出物体与盘子的振动方程.

M

解：(1)空盘的振动周期为2%)下，落下重物后振动周期为2乃,即增大.

(2)按(3)所设坐标原点及计时起点，f=0时，则/=-超.碰撞时，以m,M为一系统

k

动量守恒，即

2gh=(〃?+M)v0

mJ2gh

则有v=-------

°(m)+M

于是

A=.+(犷整2十(加22gh

mg.22

k(m+M)

mg'2kh

1+---------

k(m+M)g

(3)

2kh

(M+m)g

4-10有一单摆，摆长/=L0m,摆球质量m=10xl(T3kg,当摆球处在平衡位置时，若

给小球一水平向右的冲量尸4=1.0*1()71^.1112-1,取打击时刻为计时起点(f=O),求

振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程.

解：由动量定理，有

F•Z=mv-0

FArl.OxlQ-4

v=-------=0.01ms1

m1.0x10-3

1

按题设计时起点，并设向右为x轴正向，贝妆y=0时，x0=O,vo=0.01ms->0

。0=3乃/2

又3=—=3.13rad.s

1.0

...日片+噜)2吟=黑=3—

故其角振幅

A

。=—=3.2义10-3rad

I

小球的振动方程为

_a3

0=3.2x103cos(3.13r+—^)rad

4-11有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m,位相与第一振动

TT

的位相差为二，已知第•振动的振幅为0.173m,求第二个振动的振幅以及第一、第二两振

6

动的位相差.

题4-11图

解：由题意可做出旋转矢量图如下.

由图知

A；=A；+A2-2A|ACOS30。

=(0.173)2+(0.2)2-2x0.173x0.2x73/2

=0.01

A2=0.1m

设角440为e,则

A2=+用-2A]A2cos6

2

八A^+A；-A(0.173)2+(0.1)2-(0.02)2

„„cosff=-----=-----=-----------------------

即2A/22x0.173x0.1

=0

即这说明，4与4间夹角为三即二振动的位相差为多

4-12试用最简单的方法求出卜列两组谐振动合成后所得合振动的振幅:

7T

x,=5cos(3,H——)cmx]=5cos(3r4——)cm

3

⑴7

⑵44%

x2=5cos(3/+——)cmx2=5cos(3z+—)cm

解：⑴：△0=02—01

，合振幅A-At+A2=10cm

..4兀兀

⑵：△0==肛

...合振幅A=0

4-13一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

xx-0.4cos(2r+^)m

5

x=0.3cos(2r——4)m

,〜26

试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。

兀5

解：*.•=---（——元）=兀

66

A合=\A]—A2|=0.1m

八”.乃八c•5〃

人.4...0.4xsin-0.3sin国

=Asin」+&sm%=66=

-3

一&cos4+A2COS^2o.4c°s万+0.3cos生-

66

/.</>=—

6

其振动方程为

x=0.1cos（2f+am

（作图法略）

*4-14如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为椭圆，已知X方向的振

动方程为x=6cos2mcm,求y方向的振动方程.

题4-14图

解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为n生或37把r；又，轨道是按顺时针方向旋

22

转，故知两分振动位相差为5.所以y方向的振动方程为

冗

y=12cos（2%H——）cm

习题五

5-1振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什

么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同？

解：(1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做

的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y=/Q)；波动

是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因

此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x,又是时间f的函数，即y=/(x,f).

(2)在谐振动方程y=/⑺中只有一个独立的变量时间f,它描述的是介质中一个质元偏离

平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程y=中有两个独立变量，即坐标

位置x和时间f,它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规

律.

当谐波方程y=Acos0(f-±)中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持

u

续不断地振动又是产生波动的必要条件之•••

(3)振动曲线y=/(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y,横

轴为f；波动曲线y=/(x,f)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，

其纵轴为y,横轴为x.每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，

即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图.

XX

5-2波动方程y=Acos［69(f——)+%］中的一表示什么？如果改写为ycos

UU

("—丝+外)，竺又是什么意思?如果f和X均增加，但相应的［0(f—t)+8o］的值

UUU

不变，由此能从波动方程说明什么？

解：波动方程中的x/w表示了介质中坐标位置为X的质元的振动落后于原点的时间；丝则

U

表示X处质元比原点落后的振动位相；设f时刻的波动方程为

%=Acos(④----+00)

U

则，+加时刻的波动方程为

.,..o(x+Ax),［

%+0=Acosr［＜y(r+Ar)----------+内］

u

其表示在时刻f,位置九处的振动状态，经过&后传播到X+,也处.所以在(女一丝)中，

U

当f,x均增加时，(a-丝)的值不会变化，而这正好说明了经过时间ZV,波形即向前传

U

播了=的距离，说明y=Acos(④一丝+%)描述的是一列行进中的波，故谓之行

u

波方程.

5-3波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和

势能却没有这样的特点？

解：我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元IV内所有质元的能

量.波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形

变势能.形变势能由介质的相对形变量（即应变量）决定.如果取波动方程为y=/（xj）,

则相对形变量（即应变量）为6/小.波动势能则是与力/a的平方成正比.山波动曲线图

（题5-3图）可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小（此处振动速度为零），而在该处的应变

也为极小（该处办/Hx=O）,所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动

能为极大（该处振动速度的极大），而在该处的应变也是最大（该处是曲线的拐点），当然波动

势能也为最大.这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值.

题5-3图

对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势

能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化.

5-4波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处？f=0时刻是否一定是波源开始振动的

Y

忖刻？波动方程写成y=4cos。（/-一）时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动

u

方程才能写成这种形式？

解：由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原

点不一定要选在波源处，同样，f=0的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程

写成y=Acoso（f-3）时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的.因为在此处对于波源

u

的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只

要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程.

5-5在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理

量相同？

解：取驻波方程为y=2Acos-yxcosam，f,则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，

A

描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律

可表示为2Acos；x.而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻

两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点

振动位相则相反.

5-6波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情

况有何区别？

解：波源向着观察者运动时.，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题5-6

图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目("/4')会增多，所以接收频率增高;

而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即/="+匕，因

而单位时间内通过观察者完整波的数目—也会增多，即接收频率也将增高.简单地说，前

者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高,后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波

面数增加而升高频率.

(I)波前I是波源在Si时发出的波前2是波源在S(口)一秒钟后的情形

时发出的,在拍照的瞬间,波源在S2处

(a)波源运动而观察者不动

(口)一秒钟后的情形

(b)观察者运动而波源不动

题5-6图多普勒效应

5-7―平面简谐波沿x轴负向传播，波长4=1.0m,原点处质点的振动频率为N=2.0Hz,

振幅A=0.1m,且在片0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动，求此平面波的波动方程.

解：由题知f=0时原点处质点的振动状态为"=0，％<0,故知原点的振动初相为;，取

tY

波动方程为y=Acos[2^-(—+—)+]则有

TA.

y=0.1cos[2〃(2f+：)+(]

=0.1cos(4m+2TDC+y)m

5-8已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(W-Cx),其中A,B,

C为正值恒量.求：

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；

(2)写出传播方向上距离波源为/处•点的振动方程；

(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差.

解：(1)已知平面简谐波的波动方程

y=Acos(Bt-Cx)(x>0)

将上式与波动方程的标准形式

X

y-Acos(2m-2TT—)

1A

比较，可知：

波振幅为A，频率v=--，

2万

波长4=至，波速

CC

12%

波动周期丁=2='.

vB

(2)将x=/代入波动方程即可得到该点的振动方程

y-Acos(Br-CZ)

(3)因任一时刻，同一波线上两点之间的位相差为

△。=冬A。2-F)

将》2—X1=d,及4=%27r代入上式，即得

=Cd.

5-9沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10%-4亦)，式中x,y以米计，

，以秒计••求：

(1)波的波速、频率和波长；

(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；

(3)求x=0.2m处质点在f=ls时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运

动状态在f=1.25s时刻到达哪一点？

解：(1)将题给方程与标准式

2〃

y-Acos(2万勿----x)

A,

相比，得振幅A=0.05m,频率。=5$T,波长4=0.5m,波速“=%”=2.5m-sT.

(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

-1

Umax=^=10^x0.05=0.5^ms

-2

"max="A=(104)2X0.05=5万2m-s

(3)x=0.2m处的振动比原点落后的时间为

X_0.2

=0.08s

u一2.5

故x=0.2m,f=ls时的位相就是原点(x=0),在玲=1-0.08=0.92s时的位相,

即0=9.2n.

设这•位相所代表的运动状态在f=1.25S时刻到达x点，则

x=X]+〃«—')=0.2+2.5(1.25—1.0)=0.825m

5-10如题5T0图是沿x轴传播的平面余弦波在f时刻的波形曲线.(1)若波沿x轴正向传

播，该时刻。，A,B,C各点的振动位相是多少？(2)若波沿x轴负向传播，上述各点的

振动位相又是多少？

解：(D波沿x轴正向传播，则在》时刻，有

JT

对于O点：：y0=0,vo<0,%=万

对于A点：•.•%=+4#4=0,.•.0A=0

对于8点：;yB=0,%>0，；.二一'

3兀

对于C点：,；>\?=°，丫0<0，

(取负值：表示A、B、C点位相，应落后于。点的位相)

(2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有

jr

对于。点：•・・/,=0,%>0,・•・%二一］

对于A点：•.•y；=+A，W=O,・•.“=()

对于8点：<0,・•.“='

37r

对于C点：=yZ=0,%>0,

(此处取正值表示A、3、C点位相超前于。点的位相)

5-11-列平面余弦波沿X轴正向传播，波速为5m•si波长为2m,原点处质点的振动曲线

如题5Tl图所示.

(1)写出波动方程；

(2)作出L0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线.

34

解：⑴山题5Tl(a)图知I,4=0.1m,且，=011寸，y0=0,v0>0,/.,

又〃=y=』=2.5Hz,则o=2TTV=5兀

A2

题5-H图(a)

x

取y=Acos[0(/——)+0(J，

u

则波动方程为

=0.1cos15%(f-2+t)]m

y

题5-11图(b)题5-11图(c)

将x=0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为

5〃x0.53兀、

y=0.1cos(5万---——+—)=0.1cos(5m+〃)m

如题5-11(c)图所示.

5-12如题5T2图所示，已知f=0时和f=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b),波沿

x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：

(1)波动方程；

(2)P点的振动方程.

=

解：⑴山题5-12图可知，A=0.1m,4=4m,又，/=0时，y0=0,v0<0,(f)(}~»

而〃=包=^—=2m•s7,v=—=—=0.5Hz,：・3=2TTV=兀

△t0.544

故波动方程为

YTT

y=0.1cos[^(r--)+-]m

(2)将“=1m代入上式，即得尸点振动方程为

y=0.1cos[(m-5+~)1=0.1cosmm

-o.1

题5-12图

5-13一列机械波沿x轴正向传播，f=0时的波形如题5T3图所示，已知波速为10m,s

波长为2m,求:

(1)波动方程；

(2)尸点的振动方程及振动曲线；

(3)P点的坐标；

(4)P点回到平衡位置所需的最短时间.

Ajr

解：由题5-13图可知A=0.1m,，=0时，y0=—,v0<0,.*.^()=—9由题知4=2m,

w=10m-s-1,则D=2==5Hz

A2

/.0)-27TV=10万

(1)波动方程为

y=01.cos[10.r(r-+m

A—47r

(2)由图知，r=0时，力=一5#尸<0，J内二三一(P点的位相应落后于0点，故

取负值)

4

・・.P点振动方程为匕，=0.1cos(10加一]乃)

X7T4

(3)*.*]0%(才----)4----L-o=-----兀

103'R3

解得x=2=1.67m

3

(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a),则由P点回到平衡位置应经历的位

、人冗兀5

A0=—十—=—7T

326

...所属最短时间为

,5兀/61

Ar==-------=-s

co10"12

5-14如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为%=A

cos(ax+(p0).

(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程;

(2)写出距P点距离为6的。点的振动方程.

解：(1)如题5T4图(a),则波动方程为

Ix

y-Acos[。。+----)+%]

u

如图(b),则波动方程为

y

U

题5-14图

x

y=Acosf<y(r+—)+/]

u

(2)如题5T4图(a),则。点的振动方程为

A-Acos[<y(/——)+。()]

ou

如题5-14图(b),则。点的振动方程为

h

A-Acos[<y(r+—)+]

ou

5-15已知平面简谐波的波动方程为y=Acos〃(4f+2x)(SI).

(1)写出f=4.2s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何

时通过原点？

(2)画出f=4.2s时的波形曲线.

解：(1)波峰位置坐标应满足

4(4/+2x)=2k兀

解得X=(%-8.4)m(Z=0,±l,±2,…)

所以离原点最近的波峰位置为-0.4m.

4加+2加=cot----故知w=2m-s-1,

u

-04

・・・Af=—^=0.2s,这就是说该波峰在0.2s前通过原点，那么从计时时刻算起，则应

2

是4.2—0.2=4s,即该波峰是在4s时通过原点的.

题5-15图

(2)V0)-4-7r,u=2m-s-1,A-uT-u=1m,又x=0处，f=4.2s时,

co

玖=4.2x4万=16.8〃

y0=Acos4〃x4.2=-0.8A

又，当y=-A时，%=17兀,则应有

16.8乃+2G=17〃

解得x=0.1m,故f=4.2s时的波形图如题5-15图所示

5-16题5-16图中(a)表示f=0时刻的波形图，(b)表示原点(x=0)处质元的振动曲线，试求此

波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲线.

解：由题576(b)图所示振动曲线可知7=2s,A=0.2m,且f=0时，％=0,%>0,

jr

故知00=-]，再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿X轴负向传播，

y—0.2cos[2^(—+-)--]

5-17一平面余弦波,沿直径为14cm的圆柱形管传播,波的强度为18.0X10'j-m-2.sT,频

率为300Hz,波速为300m•s',求：

(1)波的平均能量密度和最大能量密度？

(2)两个相邻同相面之间有多少波的能量？

解：⑴/=而〃

I[()-3

W=_=18.OX——=6x10"j.m-

u300

卬max=2而=1.2x1(T4Jm-

(2)W=coV=w-7nl2A=w-7id2-

44v

2-7

=6x10-5X-^x(0.14)x—=9.24xlOJ

4300

J

5-18如题5T8图所示，S|和$2为两相干波源，振幅均为4,相距I，S1较§2位相超前

求：

2

(1)S1外侧各点的合振幅和强度；

(2)52外侧各点的合振幅和强度

解：(1)在M外侧，距离S1为q的点，用$2传到该P点引起的位相差为

人“"2%「/2、

=O,/=A2=O

(2)在S2外侧.距离§2为4的点,S,S2传到该点引起的位相差.

.,兀2兀,彳、c

△\T+L)=°

2

A=A]+4=2At,I=A-4A1~

5-19如题5-19图所示，设8点发出的平面横波沿8P方向传播，它在8点的振动方程为

M=2X10-3COS2R；C点发出的平面横波沿C尸方向传播，它在C点的振动方程为

为=2x10"cos(2m+〃)，本题中y以m计，f以s计.设3P=0.4m,CP—0.5m,波速

w=0.2m,sH,求：

(1)两波传到P点时的位相差；

(2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅；

*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅.

2方——

解：⑴-{CP-BP)

A

3——

=兀—_(CP-BP)

u

=〃-至(0.5-0.4)=0

0.2

B

P

题5-19图

(2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以

A?=A+A2=4X10“m

(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为