2021年个人高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲

1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本规定：掌握高中数学竞赛大纲所拟定所有内容。补充规定：面积和面积办法。几种重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。几种重要极值：到三角形三顶点距离之和最小点--费马点。到三角形三顶点距离平方和最小点--重心。三角形内到三边距离之积最大点--重心。几何不等式。简朴等周问题。理解下述定理：在周长一定n边形集合中，正n边形面积最大。在周长一定简朴闭曲线集合中，圆面积最大。在面积一定n边形集合中，正n边形周长最小。在面积一定简朴闭曲线集合中，圆周长最小。几何中运动：反射、平移、旋转。复数办法、向量办法。平面凸集、凸包及应用。2、代数在一试大纲基本上此外规定内容：周期函数与周期，带绝对值函数图像。三倍角公式，三角形某些简朴恒等式，三角不等式。第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特性方程法。函数迭代，求n次迭代，简朴函数方程。n个变元平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。复数指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根应用。圆排列，有重复排列与组合，简朴组合恒等式。一元n次方程（多项式）根个数，根与系数关系，实系数方程虚根成对定理。简朴初等数论问题，除初中大纲中所涉及内容外，还应涉及无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。3、立体几何多面角，多面角性质。三面角、直三面角基本性质。正多面体，欧拉定理。体积证法。截面，会作截面、表面展开图。4、平面解析几何直线法线式，直线极坐标方程，直线束及其应用。二元一次不等式表达区域。三角形面积公式。圆锥曲线切线和法线。圆幂和根轴。5、其他抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合划分。覆盖。梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线存在性及性质(西姆松定理)。赛瓦定理及其逆定理。一、 平面几何1.梅涅劳斯定理梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯一方面证明。它指出：如果一条直线与△ABC三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABCBC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1。证明：当直线交△ABCAB、BC、CA反向延长线于点D、E、F时，(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA)=1逆定理证明：证明：X、Y、Z分别在△ABCBC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1证明一过点A作AG∥BC交DF延长线于G，则AF/FB=AG/BD，BD/DC=BD/DC，CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF因此有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1证明四过三顶点作直线DEF垂线，AA‘，BB'，CC'有AD：DB=AA’：BB'此外两个类似，三式相乘得1得证。如百科名片中图。推论

在△ABC三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点充要条件是λμν=-1。（注意与塞瓦定理相区别，那里是λμν=1）第一角元形式梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1即上图中蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积该形式梅涅劳斯定理也很实用证明：可用面积法推出：第一角元形式梅氏定理与顶分顶形式梅氏定理等价。第二角元形式梅涅劳斯定理在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重叠)梅涅劳斯球面三角形定理在球面三角形ABC中，三边弧AB，弧BC，弧CA(都是大圆弧)被另一大圆弧截于P,Q,R三点，那么(sin弧AP/sin弧PB)×(sin弧BQ/sin弧QC)×(sin弧CR/sin弧RA)=1[※意义使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例计算，其逆定理还是可以用来解决三点共线、三线共点等问题鉴定办法，是平面几何学以及射影几何学中一项基本定理，具备重要作用。梅涅劳斯定理对偶定理是塞瓦定理。2.赛瓦定理在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1推论运用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC垂足分别为D、E、F，依照塞瓦定理逆定理，由于(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cotA）/[(CD*cotB）]*[(AE*cotB)/(AE*cotC)]*[(BF*cotC)/[(BF*cotA)]=1，因此三条高CD、AE、BF交于一点。可用塞瓦定理证明其她定理;三角形三条中线交于一点（重心）:如图5D，E分别为BC，AC中点因此BD=DCAE=EC因此BD/DC=1CE/EA=1且由于AF=BF因此AF/FB必等于1，因此三角形三条中线交于一点，即为重心用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：在△ABC三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区别，那里是λμν=-1）1.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一点充分必要条件是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1由正弦定理及三角形面积公式易证2.如图，对于圆周上顺次6点A，B，C，D，E，F，直线AD，BE，CF交于一点充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1\o"查看图片"由塞瓦定理角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。3托勒密定理定理内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积和等于两条对角线乘积。原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形面积等于一组对边所包矩形面积与另一组对边所包矩形面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦和差公式及一系列三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性基本性质．定理内容：指圆内接凸四边形两对对边乘积和等于两条对角线乘积一、（如下是推论证明，托勒密定理可视作特殊状况。）在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD因此BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)\o"查看图片"

由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,因此△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又由于BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）复数证明用a、b、c、d分别表达四边形顶点A、B、C、D复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。一方面注意到复数恒等式：(a−b)(c−d)+(a−d)(b−c)=(a−c)(b−d)，两边取模，运用三角不等式得。等号成立条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式反演形式。二、设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，∠ADB=∠ACB。在AC上取一点K，使得∠ABK=∠CBD；由于∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD，因此∠CBK=∠ABD。因而△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD~△KBC。因而AK/AB=CD/BD，且CK/BC=DA/BD；因而AK·BD=AB·CD，且CK·BD=BC·DA；两式相加，得(AK+CK)·BD=AB·CD+BC·DA；但AK+CK=AC，因而AC·BD=AB·CD+BC·DA。证毕。推论1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。2.托勒密定理逆定理同样成立：一种凸四边形两对对边乘积和等于两条对角线乘积，则这个凸四边形内接于一圆、4、西姆松西姆松定理是一种几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点任意一点作三边垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上射影共线，则该点在此三角形外接圆上。西姆松定理阐明有关成果有：（1）称三角形垂心为H。西姆松线和PH交点为线段PH中点，且这点在九点圆上。（2）两点西姆松线交角等于该两点圆周角。（3）若两个三角形外接圆相似，这外接圆上一点P相应两者西姆松线交角，跟P位置无关。（4）从一点向三角形三边所引垂线垂足共线充要条件是该点落在三角形外接圆上。（5）过三角形垂心任意直线都是三角形西姆松线证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP.易证P、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP=180度，∠ABP=∠ECP于是∠DFP=∠ACP①，在PFCE圆内∠PFE=∠PCE②而∠ACP+∠PCE=180°③∴∠DFP+∠PFE=180°④即D、F、E共线.反之，当D、F、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和P、M、C、L分别四点共圆，有∠NBP=∠NLP=∠MLP=∠MCP.故A、B、P、C四点共圆。若A、P、B、C四点共圆，则∠NBP=∠MCP。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆，有∠NBP=∠NLP=∠MCP=∠MLP.5.费马点在一种三角形中，到3个顶点距离之和最小点叫做这个三角形费马点。费马点定义(1)若三角形ABC3个内角均不大于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在周角。因此三角形费马点也称为三角形等角中心。(2)若三角形有一内角不不大于120度，则此钝角顶点就是距离和最小点。费马点鉴定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。\o"查看图片"

费马点计算（2）如果三角形有一种内角不不大于或等于120°，这个内角顶点就是费马点；