优化专项方案高中数学统计变量间的相关关系学案新人教A版必修

2．3变量间相关关系1．问题导航(1)相关关系分为哪两种？(2)什么叫散点图？(3)什么叫回归直线？求回归直线方法及步骤是什么？2．例题导读经过对例题学习，(1)学会怎样作散点图；(2)学会怎样用散点图判定两个变量是否相关；(3)掌握求回归直线方程方法；(4)熟悉回归直线方程实际应用．1．两个变量线性相关(1)散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中得到图形．(2)正相关和负相关①正相关：散点图中点散布在从左下角到右上角区域．②负相关：散点图中点散布在从左上角到右下角区域．2．回归直线方程(1)回归直线：假如散点图中点分布从整体上看大致在一条直线周围，我们就称这两个变量之间含有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程：回归直线对应方程叫回归直线方程，简称回归方程．(3)最小二乘法求回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))时，使得样本数据点到回归直线距离平方和最小方法叫做最小二乘法．eq\o(b,\s\up6(^))=eq\f(eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－))),eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i=1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))eq\s\up4(2))=eq\f(eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-)),eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2)))eq\o(a,\s\up6(^))=eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))其中，eq\o(b,\s\up6(^))是回归方程斜率，eq\o(a,\s\up6(^))是回归方程在y轴上截距．1．判定下列各题．(正确打“√”，错打“×”)(1)线性回归方程必经过点(eq\o(x,\s\up9(-))，eq\o(y,\s\up6(－)))；()(2)对于方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，x增加一个单位时，y平均增加eq\o(b,\s\up6(^))个单位；()(3)样本数据中x＝0时，可能有y＝eq\o(a,\s\up6(^))；()(4)样本数据中x＝0时，一定有y＝eq\o(a,\s\up6(^)).()解析：依据回归直线方程意义知，(1)(2)全部正确，而(3)(4)中，样本数据x＝0时，y值可能为eq\o(a,\s\up6(^))，也可能不是eq\o(a,\s\up6(^))，故(3)正确．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．判定下列图形中含有相关关系两个变量是()解析：选C.A、B为函数关系，D无相关关系．3．下列关系中，有相关关系是________．①正方形边长和面积之间关系；②水稻产量和施肥量之间关系；③人身高和年纪之间关系．解析：①正方形边长和面积之间关系是函数关系．②水稻产量和施肥量之间关系不是严格函数关系，不过含有相关性，所以是相关关系．③人身高和年纪之间关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人年纪达成一定时期身高就不发生显著改变了，所以它们不含有相关关系．答案：②4．一位母亲统计了儿子3～9岁身高，由此建立身高和年纪回归模型为eq\o(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.93，那么这个孩子10岁时身高是否一定是145.83cm?解：不一定，用回归模型eq\o(y,\s\up6(^))＝7.19x＋73.93只能估计，其结果不一定是个确定值．1．两个变量之间关系和其对应散点图特征(1)两个变量间关系是函数关系时，数据点在某曲线上．(2)两个变量间关系是相关关系时，数据点在某曲线周围．(3)两个变量间关系是线性相关时，数据点在某直线周围．2．对回归直线和回归方程了解(1)回归方程被样本数据唯一确定，各样本点大致分布在回归直线周围．对同一个总体，不一样样本数据对应不一样回归直线，所以回归直线也含有随机性．(2)对于任意一组样本数据，利用最小二乘法公式全部能够求得“回归方程”，假如这组数据不含有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得“回归方程”是没有实际意义．所以，对一组样本数据，应先作散点图，在含有线性相关关系前提下再求回归方程．相关关系判定(1)下列关系中，属于相关关系是________．①人身高和视力关系；②做自由落体运动物体质量和落地时间关系；③降雪量和交通事故发生率之间关系．(2)下表是某地年降雨量和年平均气温，判定二者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？年平均气温(℃)12.5112.7412.7413.6913.3312.8413.05年降雨量(mm)748542507813574701432[解析](1)题号判定原因分析①不是相关关系身高和视力无关，不含有函数关系，也不含有相关关系②不是函数关系，也不是相关关系自由落体物体质量和落地时间无关，不含有相关关系③相关关系降雪量越大，交通事故发生率越高，不确定性关系[答案]③(2)解：以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得对应散点图，图所表示：因为图中各点并不在一条直线周围，所以二者不含有相关关系，求回归直线方程也是没有意义．方法归纳(1)两个变量x和y相关关系确实定方法：①散点图法：经过散点图，观察它们分布是否存在一定规律，直观地判定；②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判定；③经验法：借助积累经验进行分析判定．(2)判定两个变量x和y之间是否含有线性相关关系，常见简便方法就是绘制散点图，假如发觉点分布从整体上看大致在一条直线周围，那么这两个变量就是线性相关，注意不要受部分点位置影响．1．(1)对变量x，y有观察数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观察数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图能够判定()A．变量x和y正相关，u和v正相关B．变量x和y正相关，u和v负相关C．变量x和y负相关，u和v正相关D．变量x和y负相关，u和v负相关解析：选C.图(1)中数据y伴随x增大而减小，所以变量x和变量y负相关；图(2)中数据v伴随u增大而增大，所以u和v正相关．(2)下面是随机抽取9名15岁男生身高、体重表：编号123456789身高/cm165157155175168157178160163体重/kg524445555447625053判定所给两个变量是否存在相关关系．解：法一：依据经验可知，人身高和体重之间存在相关关系．法二：观察表格数据可知，人体重伴随身高增加而增加，所以人身高和体重之间存在相关关系．法三：以x轴表示身高，以y轴表示体重，得到对应散点图．图所表示：我们会发觉，伴随身高增高，体重基础上呈增加趋势．所以体重和身高之间存在相关关系，而且是正相关．线性回归方程建立下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中统计产量x(吨)和对应生产能耗y(吨标准煤)几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据散点图；(2)请依据上表提供数据，用最小二乘法求出y相关x线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)已知该厂技改前100吨甲产品生产能耗为90吨标准煤．试依据(2)求出线性回归方程，估计生产100吨甲产品生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)(链接教材P90例题)[解](1)散点图图：(2)eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,xiyi)＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，eq\i\su(i＝1,4,xi2)＝32＋42＋52＋62＝86，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,4,xiyi)-4eq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-)),eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-4eq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2)))＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝3.5－0.7×4.5＝0.35.∴所求线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35.(3)当x＝100时，y＝0.7×100＋0.35＝70.35(吨标准煤)，90－70.35＝19.65(吨标准煤)．由此可估计生产100吨甲产品生产能耗比技改前大约降低了19.65吨标准煤．[互动探究]假如把本题中y值2.5及4.5分别改为2和5，怎样求回归直线方程？解：散点坐标分别为(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)．可验证这四点共线，斜率k＝eq\f(3－2,4－3)＝1，∴直线方程为y－2＝x－3，即回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝x－1.方法归纳求线性回归方程步骤：(1)计算平均数eq\x\to(x)，eq\x\to(y).(2)计算xi和yi积，求eq\i\su(i＝1,n,xiyi).(4)将结果代入公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-)),eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2)))，求eq\o(b,\s\up6(^)).(5)用eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，求eq\o(a,\s\up6(^)).(6)写出回归方程．2．测量某地10对父子身高(单位：英寸)以下：父亲身高(x)60626465666768707274儿子身高(y)63.665.26665.566.967.167.468.370.170假如x和y之间含有线性相关关系，求回归直线方程；假如父亲身高为78英寸，试估量儿子身高．解：先将两个变量数字在表中计算出来，以下表所表示：序号xiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi16063.636004044.96381626265.238444251.044042.43646640964356422446565.542254290.254257.556666.943564475.614415.466767.144894502.414495.776867.446244542.764583.287068.349004664.89478197270.151844914.015047.2107470547649005180∑6686709344842.4由上表可得eq\x\to(x)＝eq\f(668,10)＝66.8，eq\x\to(y)＝eq\f(670.1,10)＝67.01，eq\i\su(i＝1,10,x\o\al(2,i))＝44941.93，eq\i\su(i＝1,10,y\o\al(2,i))＝44794，eq\i\su(i＝1,10,xiyi)＝44842.4.代入公式得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(44842.4－10×66.8×67.01,44794－10×66.82)≈0.4646，eq\o(a,\s\up6(^))＝67.01－0.4646×66.8≈35.975，故所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4646x＋35.975.当x＝78时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4646×78＋35.975＝72.2138，所以当父亲身高为78英寸时，估量儿子身高约为72.2138英寸．线性回归方程应用假设相关某设备使用年限x和所支出维修费用y(万元)有以下统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知：y对x呈线性相关关系，试求：(1)线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))回归系数eq\o(a,\s\up6(^))、eq\o(b,\s\up6(^))；(2)估量使用年限为时，维修费用是多少？[解](1)制表i12345累计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xeq\o\al(2,i)4916253690x＝4，y＝5eq\i\su(i＝1,5,x\o\al(2,i))＝90,eq\i\su(i＝1,5,x\o\al(,i))yi＝112.3于是有eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f(12.3,10)＝1.23；eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08.(2)回归直线方程是：eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08，当x＝10(年)时，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23×10＋0.08＝12.3＋0.08＝12.38(万元)，即估量使用时维修费用是12.38万元．方法归纳(1)求回归直线方程关键是求eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，也是本题易错点，因为计算量较大，计算时一定要认真．(2)知道x和y有线性相关关系，无需进行相关性检验(书本对此不作要求)．只有两个变量之间存在线性相关关系，才能求其线性回归方程，才能用其估量和估计．不然即使求出其线性回归方程，也是毫无意义，而且用其估量和估计量也是不可信．3．(1)提倡节省，反对浪费.元旦前夕，某市统计局统计了该市10户家庭年收入和年饮食支出统计资料以下表：年收入x(万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3①若y和x是线性相关，求回归方程，不然请说明理由；②若某家庭年收入为9万元，估计其年饮食支出．(参考数据：eq\i\su(i＝1,10,xiyi)=117.7,eq\i\su(i＝1,10,xi2)解：散点图图：由散点图可知，年收入越高，年饮食支出越高，图中点趋势表明两个变量间确实存在着线性相关关系．,依题意可计算得：eq\x\to(x)＝6，eq\x\to(y)＝1.83，,eq\x\to(x)2＝36，,eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝10.98，,又∵eq\i\su(i＝1,10,xiyi)＝117.7，eq\i\su(i＝1,10,xi2)＝406，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,10,xiyi)-10eq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-)),eq\i\su(i＝1,10,x\o\al(2,i))-10eq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2)))≈0.17，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝0.81，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋0.81.∴所求回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17x＋0.81.②当x＝9时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．可估量年收入为9万元家庭，每十二个月饮食支出约为2.34万元．(2)有一台机床能够按多种不一样速度运转，其加工零件有部分是二级品，每小时生产二级品零件数量随机床运转速度而改变．下面是试验步骤：机床运转速度(转/秒)每小时生产二级品数量(个)851281491611①作出散点图；②求出机床运转速度x和每小时生产二级品数量y回归直线方程；③若实际生产中所许可二级品不超出10个，那么机床运转速度不得超出多少转/秒？解：①散点图图所表示：②易求得eq\x\to(x)＝12.5，eq\x\to(y)＝8.25，eq\o(b,\s\up6(^))≈0.7286，eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.8575，∴所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7286x－0.8575.③依题意，要使eq\o(y,\s\up6(^))≤10，只要0.7286x－0.8575≤10，解得x≤14.9019，即机床运转速度不能超出14.9019转/秒．规范解答散点图画法及应用(本题满分12分)某化工厂原料中，有A和B两种有效成份，现随机抽取了10份原料样品进行抽样检测，测得A和B含量以下表所表示：i12345678910x67547264392258434634y24152319161120161713其中x表示成份A百分含量x%，y表示成份B百分含量y%.(1)作出两个变量y和x散点图；(2)两个变量y和x是否线性相关？若是线性相关，求出线性回归方程．[解](1)根据y从小到大次序调整表中数据(这么有利于描点，如用画图软件则不需要调整表格数据)，以下表所表示：x22345443394664587267y11131516161719202324散点图图所表示：4分(2)观察散点图可知，y和x是线性相关关系．下面求线性回归方程：i12345678910累计xi22345443394664587267499yi11131516161719202324174xiyi24244281068862478212161160165616089228xeq\o\al(2,i)48411562916184915212116409633645184448927175所以eq\x\to(x)＝49.9，eq\x\to(y)＝17.4，10eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝8682.6，10eq\x\to(x)2＝24900.1设所求线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，8分eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,10,xiyi)-10eq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-)),eq\i\su(i＝1,10,x\o\al(2,i))-10eq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2)))＝eq\f(9228－8682.6,27175－24900.1)＝eq\f(545.4,2274.9)≈0.2397，eq\o(a,\s\up6(^))＝y－eq\o(b,\s\up6(^))x＝17.4－0.2397×49.9≈5.439，10分所求线性回归方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2397x＋5.439.…12分[规范和警示]将题中给出y值按一定次序排列．描点则可按一定次序进行．利用散点图可直观地验证是否含有相关关系．只有判定出两变量含有线性相关关系才能再深入求线性回归方程，不然就没有意义．将公式中全部包含到数据在表格中一一列出，方便计算降低失误．此步运算量较大，是关键点也是失分点．1．我们常说“吸烟有害健康”，吸烟和健康之间关系是()A．正相关 B．负相关 C．无相关 D．不确定解析：选B.烟吸得越多，则健康程度越差．2．线性回归直线是指()A．样本少数点在其上直线B．样本全部点在其上直线C．样本大部分点在其上直线D．样本全部点到其距离平方和最小直线解析：选D.由线性回归直线求法可知线性回归直线是样本全部点到其距离平方和最小直线．3．回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，斜率eq\o(b,\s\up6(^))含义是________．解析：回归方程斜率eq\o(b,\s\up6(^))含义是x每增加一个单位，y平均增加单位数．答案：x每增加一个单位，y平均增加单位数4．已知工厂加工零件个数x和花费时间y(h)之间线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.01x＋0.5，则加工200个零件大约需要________小时．解析：将200代入线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.01x＋0.5，得y＝2.5.答案：2.5[A.基础达标]1．(·张掖高一检测)有几组变量：①汽车重量和汽车每消耗1升汽油所行驶平均旅程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体棱长和体积．其中两个变量成正相关是()A．①③ B．②③C．② D．③解析：选C.①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系．2．对于给定两个变量统计数据，下列说法正确是()A．全部能够分析出两个变量关系B．全部能够用一条直线近似地表示二者关系C．全部能够作出散点图D．全部能够用确定表示式表示二者关系解析：选C.由两个变量数据统计，不能分析出两个变量关系，A错；不含有线性相关两个变量不能用一条直线近似地表示她们关系，更不能用确定表示式表示她们关系，B，D错．3．对有线性相关关系两个变量建立回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，回归系数eq\o(b,\s\up6(^))()A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0解析：选C.当eq\o(b,\s\up6(^))＝0时，r＝0，这时不含有线性相关关系，但eq\o(b,\s\up6(^))能大于0，也能小于0.4．(·高考湖北卷) 四名同学依据各自样本数据研究变量x，y之间相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：()①y和x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y和x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y和x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y和x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.其中一定不正确结论序号是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.由正负相关性定义知①④一定不正确．5．设某大学女生体重y(单位：kg)和身高x(单位：cm)含有线性相关关系，依据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确是()A．y和x含有正线性相关关系B．回归直线过样本点中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解析：选D.当x＝170时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－85.71＝58.79，体重估量值为58.79kg，故D不正确．6．已知一个回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，x∈{1，7，5，13，19}，则eq\x\to(y)＝________．解析：因为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回归直线过样本中心点(x，y)，所以eq\x\to(y)＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.57．对含有线性相关关系变量x和y，测得一组数据以下表，若已求得它们回归直线斜率为6.5，则这条回归直线方程为________.x24568y3040605070解析：设回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(b,\s\up6(^))＝6.5，易知eq\x\to(y)＝50，eq\x\to(x)＝5，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝50－32.5＝17.5，即回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.答案：eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.58．对某台机器购置后运行年限x(x＝1，2，3，…)和当年利润y统计分析知含有线性相关关系，线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝10.47－1.3x，估量该台机器使用________年最合算．解析：只要估计利润不为负数，使用该机器就算合算，即eq\o(y,\s\up6(^))≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：89．某工厂为了对新研发一个产品进行合理定价，将该产品按事先确定价格进行试销，得到以下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；(2)估计在以后销售中，销量和单价仍然服从(1)中关系，且该产品成本是4元/件，为使工厂取得最大利润，该产品单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)因为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(2)设工厂取得利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－eq\f(33,4))2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可取得最大利润．10．(·高考重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，取得第i个家庭月收入xi(单位：千元)和月储蓄yi(单位：千元)数据资料，算得eq\i\su(i＝1,10,yi)=80，eq\i\su(i＝1,10,yi)=20,eq\i\su(i＝1,10,xiyi)=184，eq\i\su(i＝1,10,xi2)=720.（1）求家庭月储蓄y对月收入x线性回归方程y＝bx＋a；（2）判定变量x和y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，估计该家庭月储蓄.附：线性回归方程y＝bx＋a中，b=eq\f(eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up6(-))eq\o(y,\s\up6(-)),eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up6(-))\s\up6(2))a=eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))，其中为eq\o(x,\s\up6(－)),eq\o(y,\s\up6(－))样本平均值，线性回归方程也可写为eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x+eq\o(a,\s\up6(^))解：（1）由题意知n=10,eq\o(x,\s\up6(－))=eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8,eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2，又eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2))=720-10×82=80,eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-))＝184－10×8×2＝24，由此得b＝eq\f(24,80)＝0.3，a＝eq\o(y,\s\up9(-)),－beq\o(x,\s\up9(-)),＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)因为变量y值随x值增加而增加(b＝0.3>0)，故x和y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程能够估计该家庭月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．[B.能力提升]1．回归直线方程系数eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是最小二乘法估量中使函数Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))取得最小函数值时所满足条件，其中Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))表示式是()A.eq\i\su(i＝1,n,(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2）) B.eq\i\su(i＝1,n,|yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi|2）)C.(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2 D.|yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi|解析：选A.用最小二乘法确定两变量之间线性回归方程思想，即求eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))使n个样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）和直线y＝eq\o(a,\s\up6(^))+eq\o(b,\s\up6(^))x“距离”平方和最小，即使得Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))=(y1－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))x1)2+(y2－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))x2)2+…+(yn－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xn)2=eq\i\su(i＝1,n,(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2）)达成最小，故选A.2．对于两个变量散点图：①若全部点全部落在某一函数曲线上，则变量之间含有函数关系；②若全部点全部落在某一曲线周围，则变量之间含有相关关系；③若全部点全部落在某一直线周围，则变量之间含有线性相关关系；④若全部点全部杂乱无章，则变量之间不含有相关关系．其中正确是()A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④解析：选D.①②③④四个说法全部正确．3．(·江西关键中学盟校联考)某车间为了要求工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验．依据搜集到数据(以下表)，由最小二乘法求得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发觉表中有一个数据看不清，请你推断该数据值为________．解析：由已知可计算求出eq\o(x,\s\up9(-))＝30，而回归直线方程必过点(eq\o(x,\s\up9(-))，eq\o(y,\s\up6(－)))，则eq\o(y,\s\up6(－))＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a，则eq\f(a＋62＋75＋81＋89,5)＝75，计算得a＝68.答案：684．多年来，中国高等教育事业有了快速发展，为了解某省从到18岁到24岁青年人每十二个月考入大学人数，我们把农村、县镇和城市分别标识为一组、二组、三组分开统计．为了便于计算，把编号为1，编号为2，…，编号为15，假如把年份从1到15作为自变量进行回归分析，可得三个回归方程：农村：eq\o(y