2024年广东韶关市高三二模高考数学试卷试题（答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页韶关市2024届高三综合测试（二）数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前、考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、学校和班级填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内和应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，则（

）A．或 B．或C．或 D．或2．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则3．已知一组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45，若去掉12和45，将剩下的数据与原数据相比，则（

）A．极差不变 B．平均数不变 C．方差不变 D．上四分位数不变4．过点作斜率为的直线，若光线沿该直线传播经轴反射后与圆相切，则（

）A． B． C．2 D．5．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．108186．在中，．若的最长边的长为．则最短边的长为（

）A． B． C．2 D．7．已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．8．定义，对于任意实数，则的值是（

）A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若是非零复数，且，则 D．若是非零复数，则10．设函数，则（

）A．是偶函数 B．在上有6个零点C．的是小值为 D．在上单调递减11．已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（

）A．关于直线对称 B．C．的周期为4 D．三、填空题：本题共3小题、每小题5分、共15分．12．二项式的展开式中，项的系数是常数项的倍，则．13．已知平面向量均为单位向量，且，则向量与的夹角为，的最小值为．14．在三棱锥中，侧面所在平面与平面的夹角均为，若，且是直角三角形，则三棱锥的体积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数在点处的切线平行于轴．(1)求实数；(2)求的单调区间和极值．16．小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．17．如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱的轴截面是边长为6的正方形，，点在线段上运动．(1)证明：；(2)当时，求与平面所成角的正弦值．18．记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足.(1)求；(2)证明数列是等比数列并求；(3)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围.19．已知椭圆的离心率为，长轴长为4，是其左、右顶点，是其右焦点．(1)求椭圆的标准方程；(2)设是椭圆上一点，的角平分线与直线交于点．①求点的轨迹方程；②若面积为，求．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】先利用题给条件求得集合和集合B，进而求得.【详解】，则或，又，则或或.故选：B2．C【分析】利用空间中点线面之间的位置关系即可对每个选项做出判断，从而选出正确选项.【详解】对于选项A：若，，则与平行或相交，故选项A不正确；对于选项B：若，，则与可平行、异面、或相交；故选项B不正确；对于选项C：若，，则,由垂直于同一条直线的两个平面平行，知故选项C正确；对于选项D：若，，则与平行或相交，故选项D不正确；故选：C【点睛】本题主要考查了线线平行、面面平行的判断，属于中档题.3．D【分析】根据原数据和现数据的相关数字特征计算即可对选项一一判断.【详解】在这组数据：12，16，22，24，25，31，33，35，45中去掉12和45后，得到16，22，24，25，31，33，35，显然极差由变成了，故A项错误；原平均数为，现平均数为，故B项错误；原方差为，现方差为，显然方差不同，故C项错误；对于D项，由，知原数据的上四分位数是第三个数据22，又由，知现数据的上四分位数是第二个数据22，即D项正确.故选：D.4．D【分析】如图，根据直线的点斜式方程求出直线PA，进而求出点A，利用反射光线的性质求出直线BA，结合点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】如图，设经过点的直线交x轴于点，反射直线与圆相切于点，直线，即，令，解得，即，又，所以，所以直线，即，则点到直线直线的距离为，即.故选：D5．C【分析】设矩形场地的长为米，则，结合基本不等式计算即可求解.【详解】设矩形场地的长为米，则宽为米，，当且仅当，即时，等号成立.所以平整这块场地所需的最少费用为元.故选：C6．A【分析】求出，为钝角，故，确定，求出，由正弦定理求出答案.【详解】因为，又，故为锐角，为钝角，故，因为在上单调递增，，故，所以，又，，解得，同理可得，由正弦定理得，即，解得.故选：A7．C【分析】利用题给条件得到的关系，进而得到双曲线的渐近线方程.【详解】设双曲线右焦点为，连接.又中，，则,由直线可得，则，又由双曲线可得，则，则有，即又，则有，整理得，解之得则双曲线的渐近线方程为.

故选：C8．A【分析】设，则，构造函数，利用导数求出函数的最小值进而得，化简即可求解.【详解】设，则，得，设，则，令，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，即，得，所以，得，即.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用，本题解题的关键是由构造函数，利用导数求得即为题意所求.9．BC【分析】对于A项，可以举反例说明；对于B项，可以设，则，代入等式两边验证即可判定；对于C项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D项，可通过举反例对结论进行否定.【详解】对于A项，若，，显然满足，但，故A项错误；对于B项，设，则，，故而，故B项正确；对于C项，由可得：，因是非零复数，故，即，故C项正确；对于D项，当时，是非零复数，但，故D项错误.故选：BC.10．ABC【分析】求得的奇偶性判断选项A；求得在上的零点个数判断选项B；求得的最小值判断选项C；举特例否定选项D.【详解】选项A：函数定义域为R，由，可得是偶函数.判断正确；选项B：当时，，由，可得，或，则当时，或或，又是偶函数，则当时，或或，则在上有6个零点.判断正确；选项C：当时，，则当时取得最小值，又是偶函数，则的最小值为.判断正确；选项D：，则，则在上不单调递减.判断错误.故选：ABC11．ACD【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD.【详解】由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确；由，得，令，得；由，得，令，得，∴④，又⑤，令，得，故B错误；④⑤两式相加，得，得，所以，即函数的周期为4，故C正确；由，令，得，所以，所以，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式、和是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路.12．5【分析】利用题给条件列出关于n的方程，解之即可求得n的值.【详解】二项式的展开式通项为，则项的系数是，常数项是，由题意得，即，整理得，解之得或（舍）故答案为：513．####【分析】由可得，根据平面向量数量积的定义即可求出与的夹角；根据数量积的运算律可得，结合的取值范围即可求解.【详解】由题意知，，由，得，所以，又，所以，即与的夹角为；，又，所以，当且仅当与同向时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：；14．或或或【分析】过作面于，过作，根据题设可得，，分为三角形的内心或旁心讨论，设，利用几何关系得到，再根据条件得到在以为焦点的椭圆上，再利用是直角三角形，即可求出结果.【详解】如图，过作面于，过作，因为面，面，所以，又，面，所以面，又面，所以，故为二面角的平面角，由题知，，同理可得，当在三角形内部时，由，即为三角形的内心，设，则，得到，所以，三棱锥的体积为；

又因为，所以点在以为焦点的椭圆上，如图，以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，由题知，椭圆中的，所以椭圆的标准方程为，设，因为是直角三角形，当时，易知，此时，所以，得到，当时，易知，此时，所以，得到，又因为，故以为圆心，为半径的圆与椭圆没有交点，即，综上所述，；同理，当在三角形外部时，由，即为三角形的旁心，设，则，得到，所以，三棱锥的体积为；或，得到，所以，三棱锥的体积为；或，得到，所以，三棱锥的体积为.

故答案为：或或或.【点睛】关键点点晴：本题的关键点在于，设出后，得出，再将问题转化到以为焦点的椭圆上来求的面积，即可解决问题.15．(1)1(2)答案见解析【分析】（1）对函数求导，依题意只需使即可求得实数；（2）利用（1）写出函数解析式，求导并分解因式，在定义域内分类讨论导函数的符号，即得单调区间和函数的极值.【详解】（1）由可得：，由题意，，解得；（2）由（1）得，，则，当时，，则在上是减函数；当时，，在上是增函数.故时，函数有极小值为，无极大值.故函数的单调递增区间为，递减区间为，函数有极小值为，无极大值.16．(1)(2)分布列见解析；【分析】（1）根据概率已知条件记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件；射击一次获得一等奖为事件；射击一次获得一等奖为事件，分析可知，利用互斥事件的概率加法计算公式所以求即可.（2）根据题意判断，根据二项分布求概率、期望公式计算即可.【详解】（1）记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件；射击一次获得一等奖为事件；射击一次获得一等奖为事件，所以有，所以，，所以.（2）获得三等奖的次数为，的可能取值为，，，，；记“获得三等奖”为事件，所以，所以，，，，，所以显然，.17．(1)证明见解析.(2).【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，由得到；（2）先由，得到点是线段的中点，求出的一个方向向量和平面的一个法向量的坐标夹角余弦的绝对值，即为与平面所成角的正弦值.【详解】（1）连接并延长，交于，交圆柱侧面于，，为圆柱的高，两两垂直，以为原点，过点做平行线为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，，，在中，由射影定理得，，从而，，设，，，.（2）由（1）可得，，，得，即点是线段的中点，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，设的一个方向向量为，于是得：，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.18．(1)(2)证明见解析，(3)【分析】（1）求出导函数，化简数列递推式，根据对数运算及递推式求解即可；（2）对递推式变形结合对数运算求得，利用等比数列定义即可证明，代入等比数列通项公式求解通项公式；（3）先利用等比数列求和公式求和，再把恒成立问题转化为对任意的恒成立，令，，利用导数研究函数的单调性，然后根据单调性求解函数最值，根据n的奇偶性分别求解范围即可.【详解】（1）因为，则，从而有，由，则，则，解得则有，所以；（2）由，则，所以，故（非零常数），且，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（3）由等比数列的前n项和公式得：，因为不等式对任意的恒成立，又且单调递增，所以对任意的恒成立，令，，则，当时，，是减函数，当时，，是增函数，又，且，，，则，当n为偶数时，原式化简为，所以当时，；当n为奇数时，原式化简为，所以当时，，所以；综上可知，.19．(1)(2)【分析】（1）根据椭圆离心率和长轴的概念建立方程组，解之即可求解；（2）①易知当时；当时，利用两点表示斜率公式和点斜式方程表示出直线、方程，联立方程组，化简计算求出点T的坐