第1章 时域离散信号

第1章时域离散信号和时域离散系统

1.1引言1.2时域离散信号1.3时域离散系统1.4时域离散系统的输入输出描述法——

线性常系数差分方程1.5模拟信号数字处理方法本章学习目标掌握序列的概念及其几种典型序列的定义，掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性；掌握线性/时不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断，掌握线性时不变系统及其因果/稳定性判断的充要条件；理解常系数线性差分方程以及迭代法求解单位抽样响应；了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。§1.1引言信号：信息的物理表现形式/传递信息的函数一维时间信号信号的分类:-周期信号/非周期信号

-确定信号/随机信号

-能量信号/功率信号

-连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：

时间幅度连续时间连续连续信号离散时间离散连续信号数字离散量化信号

1.2时域离散信号——序列1.2.1.定义及表示方法

1.定义：对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到

这里n取整数，非整数时无定义； 在数值上它等于信号的采样值，即：

x(n)=xa(nT)，-∞＜n＜∞

2.表示：

-集合表示——x(n)={1,2,3,2,1} -图形表示

-公式表示1.2.2常用的典型序列

1.单位采样序列δ(n)

2.

单位阶跃序列u(n)δ(n)和u(n)间的关系为：这就是u(n)的后向差分。

令n-m=k，代入此式可得

这里就用到了累加的概念。

3.矩形序列RN(n)RN(n)和δ(n)、u(n)的关系为:

4.实指数序列式中，a为实数；当|a|<1时，序列是收敛的;而当|a|>1时，序列是发散的；a为负数时，序列是摆动的。5.复指数序列或式中，ω0是复正弦的数字域频率。

对第二种表示，序列的实部、虚部分别为：

如果用极坐标表示，则

因此有：

6.

正弦序列

式中:A为幅度;

为起始相位;ω0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。如果序列是由模拟信号采样得到，则有：数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为：

表示：凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与序列的数字域频率ω成线性关系；数字域频率ω等于模拟角频率Ω相对于采样频率fs的归一化频率。Cos(ωn)的波形

7.周期序列

如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。

现在讨论上述正弦序列的周期性：

由于

而

若Nω0=2πk,当k为正整数时，则

这时的正弦序列就是周期性序列，其周期满足N=2πk/ω0（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如下。（1）当2π/ω0为正整数时，周期为2π/ω0；（2）当2π/ω0不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则

式中，k,N为互素的整数，则为最小正整数，序列的周期为N。

（3）当2π/ω0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。这时，正弦序列不是周期性的。这和连续信号是不一样的。同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。

例：sin(π/8)n，ω0=π/8，2π/ω0=16,该正弦序列周期为16；sin(4/5)πn，ω0=(4/5)π，2π/ω0=5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周期序列；ω0=1/4,sin(ω0n)不是周期序列。如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，采样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢？

设连续正弦信号xa(t)为

这一信号的频率为f0，角频率Ω0=2πf0，信号的周期为T0=1/f0=2π/Ω0。如果对连续周期信号xa(t)进行采样，其采样时间间隔为T，采样后信号以x(n)表示，则有

如果令ω0为数字域频率，满足

用ω0代替Ω0T，可得：这表明，若要2π/ω0为整数，就表示连续正弦信号的周期T0应为采样时间间隔T的整数倍；若要2π/ω0为有理数，就表示T0与T是互为互素的整数，且有

式中，k和N皆为正整数，从而有

即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。

1.2.3用单位采样序列来表示任意序列

用单位采样序列来表示任意序列对分析线性时不变系统是很有用的。设{x(m)}是一个序列值的集合，其中的任意一个值x(n)可以表示成单位采样序列的移位加权和，即

其中

用单位采样序列移位加权和表示序列

1.2.4序列的运算 在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。1.乘法和加法 序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值项对应相乘和相加。

序列的加法和乘法

多幅去噪处理之后处理之前据理论分析，对M幅含噪声图像进行叠加平均，其噪声水平可以降到原来的。去除指纹图像的不规则背景干扰2.移位、翻转及尺度变换

(1)设序列x(n)用图

(a)表示，其移位序列x(n-n0)(当n0

=2时)用图

(b)表示；

当n0>0时称为x(n)的延时序列；

当n0<0时称为x(n)的超前序列；

(2)x(-n)则是x(n)的翻转序列，用图

(c)表示；

(3)x(mn)是x(n)序列每隔m点取一点形成的，相当于时间轴n压缩（m>1）或拉伸（m<1）了m倍。当m=2时，其波形如图

(d)所示。

序列的移位、翻转和尺度变换

§1.3时域离散系统

系统系统是由若干相互依赖、相互作用的事物组合而成的具有特定功能的整体。

系统是将信号进行处理（或变换）以达到人们要求的各种设备。(传输、处理、存储和再现

)系统可以是硬件的，也可以是软件编程实现系统分类：-连续时间信号系统/离散时间信号系统/数字信号系统-线性系统/非线性系统-时不变系统/时变系统-因果系统/非因果系统-稳定系统/非稳定系统 为了通过系统对信号进行有效的传输和处理，就必须对信号自身的特性以及系统的特性有深入的了解，并且要求系统的特性与信号的特性相匹配。这就产生了信号与系统分析的问题。

时域离散系统

设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。 设运算关系用T［·］表示，输出与输入之间关系用下式表示：

1.3.1线性系统

设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即:y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］那么线性系统一定满足下面两个公式：T［x1(n)+x2(n)］=y1(n)+y2(n)——可加性

T［ax1(n)］=ay1(n)——奇次性将以上两个公式结合起来，可表示成：

y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n)a和b均是常数。可推广到多个输入的叠加，即：例：

以下系统是否为线性系统：

y(n)=2x(n)+3很容易证明这个系统不是线性的，因为此系统不满足叠加原理。

证：

很明显，在一般情况下

所以此系统不满足叠加性，故不是线性系统。

同样可以证明，

1.3.2时不变系统

系统的运算关系T［·］在整个运算过程中不随时间（也即不随序列的延迟）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。 这个性质可用以下关系表达：若输入x(n)的输出为y(n)，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着移位外，数值应该保持不变，即若

T［x(n)］=y(n)则T［x(n-m)］=y(n-m)（m为任意整数）满足以上关系的系统就称为时不变系统。

例：y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统，式中a和b是常数。解：

y(n)=T[x(n)]=ax(n)+b

T[x(n-n0)]=ax(n-n0)+b y(n-n0)=ax(n-n0)+b

y(n-n0)=T［x(n-n0)］因此该系统是时不变系统。

例：y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。解：

y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n-n0)x(n-n0) T［x(n-n0)］=nx(n-n0)

y(n-n0)≠T［x(n-n0)］因此该系统是时变系统。例：证明

不是时不变系统。

证： 由于二者不相等，故不是时不变系统。 同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变（LTI）离散时间系统，简称LTI系统。除非特殊说明，本书都是研究LTI系统。

1.3.3线性时不变系统输入与输出之间的关系

一.设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出为系统的单位取样响应h(n)。 即单位取样响应即是系统对于δ(n)的零状态响应。公式表示为：

h(n)=T［δ(n)］

h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。 设系统的输入x(n)可表示成单位采样序列移位加权和为：

则系统的输出为

由于系统是线性的，可利用叠加原理，则

又由于系统的时不变性，对移位的单位脉冲的响应就是单位脉冲响应的移位。

因此

二.卷积定义法求解过程：

（1）翻褶：先在哑变量坐标m上作出x(m)和h(m)，将h(m)以m=0的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)；

（2）移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)。当n为正整数时，右移n位，当n为负整数时，左移n位；（3）相乘：再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘；（4）相加：把以上所有对应点的乘积累加起来，得y(n)值。依上法，取n=…,-2,-1,0,1,2,…各值，即可得全部y(n)值。设两序列长度分是N和M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。

例：设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：

上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0≤m≤3，R4(n-m)的非零值区间为：n-3≤m≤n，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：可推出乘积值的非零区间0≤n，n-3≤3，综合为区间0≤n≤60≤m≤nn-3≤m≤3

n+10≤n≤3

y(n)=7-n4≤n≤60其它

中左边第一个值对应的序号为序列和不进位乘法求卷积和的初始序号之和，本例中初始序号均为零，因此左边第一个值对应的序号为零。

：矩阵表示法求卷积和卷积结果应有8个项三.线性时不变系统的性质

1．交换律由于卷积与两卷积序列的次序无关，即卷积服从交换律，故这就是说，如果把单位脉冲响应h(n)改作为输入，而把输入x(n)改作为系统单位脉冲响应，则输出y(n)不变。

2．结合律可以证明卷积运算服从结合律，即

这就是说，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且线性时不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关。

具有相同单位脉冲响应的三个线性时不变系统

3．分配律卷积也服从加法分配律：

也就是说，两个线性时不变系统的并联等效系统的单位脉冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和。

线性时不变系统的并联组合及其等效系统

序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身：序列与一个移位的单位取样序列δ(n-n0)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n0(n0是整常数)：

上式中只有当m=n-n0时，才可能有非零值，因此得到：例：h1(n)系统与h2(n)系统级联，设

x(n)=u(n)h1(n)=δ(n)-δ(n-4)h2(n)=anu(n)，|a|<1求系统的输出y(n)。解：先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。

m(n)=x(n)*h1(n)=u(n)*［δ(n)-δ(n-4)］

=u(n)*δ(n)-u(n)*δ(n-4)=u(n)-u(n-4)=R4(n)

y(n)=m(n)*h2(n)=R4(n)*anu(n) =anu(n)*［δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)］

=anu(n)+a

n-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)1.3.4系统的因果性和稳定性

一.系统的因果性

1.如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。

2.如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。

3.因此系统的因果性是指系统的可实现性。4.线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：

h(n)=0，n<0因果系统的单位取样响应必然是因果序列。单位取样响应是输入为δ(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n<0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此得到因果性条件。频率特性为理想矩形的理想低通滤波器以及理想微分器等都是非因果的不可实现的系统。

数字信号处理往往是非实时的，即使是实时处理，也允许有很大延时。这是对于某一个输出y(n)来说，已有大量的“未来”输入x(n+1),x(n+2),…，记录在存储器中可以被调用，因而可以很接近于实现这些非因果系统。也就是说，可以用具有很大延时的因果系统去逼近非因果系统。这个概念在以后讲有限长单位脉冲响应滤波器设计时要常用到，这也是数字系统优于模拟系统的特点之一。因而数字系统可以比模拟系统更能获得接近理想的特性。非因果系统的延时实现

二.稳定系统稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。如果对于输入序列x(n)，存在一个不变的正有限值Bx，对于所有n值满足：

|x(n)|≤Bx<∞

则称该输入序列是有界的。稳定性要求对于每个有界输入存在一个不变的正有限值By，对于所有n值，输出序列y(n)满足

|y(n)|≤By<∞

一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉冲响应绝对可和，即：

证：充分条件

若

如果输入信号x(n)有界，即对于所有n皆有|x(n)|≤Bx，则

即输出信号y(n)有界，故原条件是充分条件。

必要条件：利用反证法。已知系统稳定，假设

我们可以找到一个有界的输入

输出y(n)在n=0这一点上的值为

也即y(0)是无界的，这不符合稳定的条件，因而假设不成立。所以是稳定的必要条件。

要证明一个系统不稳定，只需找一个特别的有界输入，如果此时能得到一个无界的输出，那么就一定能判定一个系统是不稳定的。但是要证明一个系统是稳定的，就不能只用某一个特定的输入作用来证明，而要利用在所有有界输入下都产生有界输出的办法来证明系统的稳定性。

例：设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解：由于n<0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。

只有当|a|<1时

系统稳定的条件是|a|<1。例：设系统的单位取样响应h(n)=u(n)，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。 解：

因为当n-k<0时，u(n-k)=0；n-k≥0时，u(n-k)=1，因此，求和限为k≤n，所以

该系统是一个累加器，它将输入序列从加上之时开始，逐项累加，一直加到n时刻为止。该系统是非稳定系统。例：系统y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n+1)，检验系统的因果稳定性。 解：非因果稳定例：判断是否具备线性、时不变因果稳定性。 解：线性时不变非因果、稳定1.4时域离散系统的输入输出描述法——线性常系数差分方程

描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输出描述法。模拟系统微分方程时域离散系统差分方程线性时不变系统线性常系数差分方程1.4.1线性常系数差分方程

一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：

或者

1.4.2线性常系数差分方程的求解

已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。 求解差分方程的基本方法有以下三种：

(1)经典解法。求齐次解和特解，边界条件求待定系数

(2)递推解法。

(3)变换域方法。Z域求解

例：设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=δ(n)，求输出序列y(n)。解：该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。(1)设初始条件y(-1)=0

y(n)=ay(n-1)+x(n) n=0时，y(0)=ay(-1)+δ(0)=1 n=1时，y(1)=ay(0)+δ(1)=a n=2时，y(2)=ay(1)+δ(2)=a2 … n=n时，y(n)=an

y(n)=anu(n)

(2)设初始条件y(-1)=1 n=0时，y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+a n=1时，y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a n=2时，y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2 … n=n时，y(n)=(1+a)an

y(n)=(1+a)anu(n)对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的；差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制；一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性时不变系统，这和系统的初始状态有关。例：设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=1，试分析该系统是否是线性非时变系统。 解：设输入信号为

x1(n)=δ(n)；x2(n)=δ(n-1)；x3(n)=δ(n)+δ(n-1)(1)x1(n)=δ(n)，y1(-1)=1 y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)

输出如下式：

y1(n)=(1+a)anu(n)(2)x2(n)=δ(n-1)，y2(-1)=1y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1)n=0时，y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=an=1时，y2(1)=ay2(0)+δ(0)=1+a2n=2时，y2(2)=ay2(1)+δ(1)=(1+a2)an=n时，y2(n)=(1+a2)an-1y2(n)=(1+a2)an-1u(n-1)+aδ(n)(3)x3(n)=δ(n)+δ(n-1);y3(-1)=1y3(n)=ay3(n-1)+δ(n)+δ(n-1)n=0时，y3(0)=ay3(-1)+δ(0)+δ(-1)=1+an=1时，y3(1)=ay3(0)+δ(1)+δ(0)=1+a+a2n=2时，y3(2)=ay3(1)+δ(2)+δ(1)=(1+a+a2)an=n时，y3(n)=(1+a+a2)an-1y3(n)=(1+a+a2)an-1u(n-1)+(1+a)δ(n)

由情况(1)和情况(2)，得到：y1(n)=T［δ(n)］y2(n)=T［δ(n-1)］y2(n)≠y1(n-1)因此该系统不是时不变系统。再由情况(3)得到：y3(n)=T［δ(n)+δ(n-1)］≠T［δ(n)］+T［δ(n-1)］y3(n)≠y1(n)+y2(n)因此该系统不是线性系统。若初始条件改为y(n)=0，(n≤-1)，则形成线性时不变系统。§1.5模拟信号数字处理方法

在一些合理条件限制下，一个连续时间信号能由它在离散时刻点上所取得的样本完全准确的给予表示；连续时