2024年初三下册数学专项用相似三角形解决问题-巩固练习(基础)

2024年初三下册数学专项用相似三角形解决问题—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题

1.如图所示，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是()A．6.4米B．7.0米C．8.0米D．9.0米2．（2015•武威校级模拟）如图，晚上小亮在路灯下经过，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（）A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．逐渐变长 D．先变长后变短3．如图，身高为1.6米的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是()A．6.4米B．7.0米C．8.0米D．9.0米4．如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到圆桌后在地面上形成圆形的示意图.已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m.若灯泡离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A.m2B.m2C.m2D.m25．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于()A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米6．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS=60m，ST=120m，QR=80m，则河的宽度PQ为（） A．40m B． 60m C． 120m D． 180m二、填空题7．如图所示上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲、乙同学相距1米，甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲的影长是________米．第7题第8题第9题8．如图所示，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m．9．为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底米的点处，然后沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得米，观察者目高米，则树的高度约为米（精确到米）．10．（2014秋•莱州市期末）如图是四个直立在地面上的艺术字母的投影（阴影部分）效果，在艺术字母“L，K，C”的投影中，与艺术字母“N”属于同一种投影的有．11.如图，为估算某河的宽度，在河边岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB=m．12．设点O为投影中心，长度为1的线段AB平行于它在面H内的投影A′B′，投影A′B′的长度为3，且O到直线AB的距离为1.5，那么直线AB与直线A′B′的距离为．三、解答题13．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？14.（2014秋•红安县期末）《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．15．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图所示，在同一时间，身高为1.6m的小明(AB)的影子BC长是3m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB＝6m．(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；(2)求路灯灯泡的垂直高度GH；(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下的路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处时，……按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为________m(直接用含n的代数式表示)．【答案与解析】一、选择题

1.【答案】C；【解析】由题意得，，即，∴旗杆的高度为8.0米．2.【答案】B；【解析】在小亮由A处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短，当他从路灯下走到B处时，他在地上的影子逐渐变长．故选B．3.【答案】C；4.【答案】B；【解析】要求地面阴影部分的面积需求出它的半径，那么如图所示，△OCB∽△ODA,根据对应高的比等于对应边的比等于相似比，求出AD的长，面积即可求.5.【答案】B；【解析】如图所示，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB．∴△GCD∽△ABD，∴．设BC＝x，则．同理，得．∴x＝3．∴．∴AB＝6．6.【答案】C；【解析】解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PSR，∴=，即=，∴PQ=120（m）．二、填空题7．【答案】6；【解析】△AED∽△ABC，∴，即．∴AD＝5．∴AC＝CD+AD＝6.8．【答案】4；【解析】首先将实际问题转化为几何模型，如图所示，已知∠EDF＝90°，DG⊥EF于G，EG＝2，GF＝8，求DG．易证△DEG∽△FDG，∴．即DG2＝2×8＝16∴DG＝4(m)．9．【答案】5.6【解析】△CDE∽△ABE,根据即可求解.10．【答案】L、K；【解析】根据平行投影和中心投影的特点和规律．“L”、“K”与“N”属中心投影．故答案为L、K．11．【答案】40；【解析】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴=，∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，∴=解得：AB=40.12．【答案】3【解析】设O到直线A′B′的距离为x，则直线AB与直线A′B′的距离为x﹣1.5，根据题意=，x=4.5，则x﹣1.5=4.5﹣1.5=3．三、解答题13.【解析】解：作CE∥DA交AB于E，设树高是xm，∵长为1m的竹竿影长0.9m∴即x＝4.2m14．【解析】解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，由题意可得：AN=2m，CN=2﹣1.65=0.35（m），MN=40m，∵CN∥EM，∴△ACN∽△AEM，∴=，∴=，解得：EM=7.35，∵AB=MF=1.65m，故城楼的高度为：7.35+1.65﹣1.7=7.3（米），答：城楼的高度为7.3m．15.【解析】(1)如图所示：(2)由题意得△ABC∽△GHC，∴，∴，∴GH＝4.8m．即路灯灯泡的垂直高度为4.8m．(3)∵△A1B1C1∽△GHC1，∴．设B1C1长为xm，则，解得，即m．同理，解得B2C2＝1m；…；由此可得当小明走剩下路程的到处时，其影子的长为m．用相似三角形解决问题—知识讲解（基础）【学习目标】1.以分析实际例子为背景，认识平行投影和中心投影的基本概念与性质；

2.通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、平行投影

1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

2.物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.

（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

要点诠释：

1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.

2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二、中心投影

若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

要点诠释：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系

1.联系：

（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.

（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.

2.区别：

（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.

（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.

要点诠释：

在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点四、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【高清课程名称：相似三角形的性质及应用高清ID号：394500关联的位置名称（播放点名称）：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=；

2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比；

3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、投影的应用1．（2015秋•无锡校级月考）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？【思路点拨】（1）如图1，先证明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=AB，再证明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ=AB，则AB+12+AB=AB，解得AB=18（m）；（2）如图1，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出BN即可．【答案与解析】解：（1）如图1，∵NM∥BD，∴△APM∽△ABD，=，即=，∴AP=AB，∵FQ∥AC，∴△BNF∽△BAC，∴=，即=，∴BQ=AB，而AP+PQ+BQ=AB，∴AB+12+AB=AB，∴AB=18．答：两路灯的距离为18m；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴=，即=，解得BN=3.6．答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．【总结升华】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．举一反三

【变式】（2014秋•昆明校级期末）已知：如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻，AB在阳光下的投影BC=4m．（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；（2）在测量AB的投影长时，同时测出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．【答案】解：（1）作法：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，则EF就是DE的投影．（画图（1分），作法1分）．（2）∵太阳光线是平行的，∴AC∥DF．∴∠ACB=∠DFE．又∵∠ABC=∠DEF=90°，∴△ABC∽△DEF．∴=，∵AB=5m，BC=4m，EF=6m，∴，∴DE=7.5（m）．2．如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）（1）标出王琳站在P处在路灯B下的影子；（2）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长；（3）计算路灯A的高度．【答案与解析】解：（1）线段CP为王琳在路灯B下的影长；（2）由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD，∴，∴，解得：QD=1.5米；（3）∵Rt△DFQ∽Rt△DAC，∴，∴，解得：AC=12米．答：路灯A的高度为12米．【总结升华】此题考查的是中心投影；相似三角形的应用．类型二、相似三角形的应用3.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，你有什么方法？

【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又∵∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC.

∴

∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

即河宽为85m．【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.4.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m．

(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?

(2)求古塔的高度．

【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°

∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE

(2)由(1)得△ABC∽△ADE

∴

∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，

∴

∴DE=16m

即古塔的高度为16m。【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.举一反三

【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】解：如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,∵∠BPQ=∠QPD,∴∠APB=∠CPD，∵∠BAP=∠DCP=90°，∴△ABP∽△CDP,∴,即,∴DC=6.3米.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.用相似三角形解决问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题

1.同一时刻，小明在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，小明的身高为1.6米，则旗杆的高为（）A．3.2米B．4.8米C．5.2米D．5.6米2．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A．5：2B．2：5C．4：25D．25：43．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度，测量时，使直角边DF保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DE所在的直线经过点A．测得边DF离地面的高度为1m，点D到AB的距离等于7.5m．已知DF=1.5m，EF=0.6m，那么树AB的高度等于（）A．4mB．4.5mC．4.6mD．4.8m4．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2m）乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（）A．5.5mB．6.2mC．11mD．2.2m5．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（） A．3.25m B． 4.25m C． 4.45m D． 4.75m6.（2015•武汉模拟）如图所示，数学小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得小桥拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，则小桥所在圆的半径为（） A． B． 5 C． 3 D． 6二、填空题7．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=1.5m，CD=4.5m，点P到CD的距离为2.7m，则AB与CD间的距离是m．8．直角坐标平面内，一点光源位于A（0，5）处，线段CD⊥x轴，D为垂足，C（4，1），则CD在x轴上的影长为，点C的影子的坐标为．9．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________10．如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．

11.如图，小明为了测量一座楼MN的高，在离点N为20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到点C，正好从镜中看到楼顶M，若AC＝1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度是__________.（精确到0.1m）

12．（2015•黄冈模拟）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为．三、解答题13．为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：

图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．

图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？

14.如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小华在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG=4m．如果小华的身高为1.5m，求路灯杆AB的高度．15．（2015•江西校级模拟）如图1是一个某物体的支架实物图，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支杆PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P沿BA滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，PC与BC重合于竖杆BA，经测量PC=BC=50cm，CD=60cm，设AP=xcm，竖杆BA的最下端B到地面的距离BO=ycm．（1）求AB的长；（2）当∠PCB=90°时，求y的值；（参考数据：1.414，结果精确到0.1cm）（3）当点P运动时，试求出y与x的函数关系式．【答案与解析】一、选择题

1.【答案】B；2.【答案】B；【解析】解：如图，∵OA=20cm，OA′=50cm，∴，∵三角尺与影子是相似三角形，∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==2：5．故选：B．3.【答案】A；【解析】解：如图，BG=DC=1m，DG=7.5m，∵EF∥AG，∴△DEF∽△DAB，∴=，即=，∴AG=3，∴AB=BG+AG=1+3=4（m）．4.【答案】A；【解析】解：作DE∥BC交FC于点E，∴△ABC∽△CED，∴设AB=x米，由题意得：DE=10﹣4=6米，EC=x﹣2.2米，∴解得：x=5.5，故选A．5.【答案】C；【解析】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2，∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，∴x=4.45，∴树高是4.45m．故选C．6.【答案】B；解：如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r米．∵=，∴=，解得EF=12，∴GH=12﹣3﹣1=8（米）．∵MN为弧GH的中点到弦GH的距离，∴点O在直线MN上，GM=HM=GH=4米．在Rt△OGM中，由勾股定理得：OG2=OM2+GM2，即r2=（r﹣2）2+16，解得：r=5．答：小桥所在圆的半径为5米．故选B．二、填空题7．【答案】1.8；【解析】解：∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，假设CD到AB距离为x，则=，=，x=1.8，8．【答案】1，（5，0）；【解析】解：如图，设点C在x轴上的影子为C′，∵CD∥OA，∴△C′AO∽△C′CD，∴=，即=，解得DC′=1，OC′=OD+DC′=4+1=5，∴点C的影子的坐标为（5，0）9．【答案】30m.10．【答案】3.11．【答案】21.3m．12．【答案】11.8米【解析】根据题意可构造相似三角形模型如图，其中AB为树高，EF为树影在第一级台阶上的影长，BD为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知BC即为树影在地上的全长；延长FE交AB于G，则Rt△ABC∽Rt△AGF，∴AG：GF=AB：BC=物高：影长=1：0.4∴GF=0.4AG又∵GF=GE+EF，BD=GE，GE=4.4m，EF=0.2m，∴GF=4.6∴AG=11.5∴AB=AG+GB=11.8，即树高为11.8米．三、解答题13.【解析】（1）∵△CDE∽△ABE，∴，

又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米，

∴AB=1.92米．即图1的树高为1.92米．（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h，∵竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，

∴解得x=1.5（m），

∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），

∴解得h=3.44（m）．14．【解析】解：∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴=，=，又∵CD=EF，∴=，∵DF=3m，FG=4m，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7，∴=，∴BD=9，BF=9+3=12，∴=，解得AB=6．答：路灯杆AB的高度是6m．15.【解析】解：（1）∵当P运动到点A时，PC与BC重合于竖杆BA，∴由题意可得：AB=PC+BC=50+50=100（cm）；（2）如图，过点E作CE⊥PB于点E，由题意可得：PD=110cm，PC=50cm，∵∠PCB=90°，PC=BC=50cm，∴∠CPB=∠CBP=45°，∵PE=25（cm），∵CE⊥PB，PO⊥DO，∴△PCE∽△PDO，∴=，=，解得：PO=55，∵PB=50，∴y=BO=5550≈7.1（cm），答：y的值约为7.1cm；（3）由（2）可知，在运动过程中始终有：△PCE∽△PDO，故=，则=，∵PC=BC，AP=x，BO=y，∴PE=，∴=，整理可得：y=﹣x+10．用相似三角形解决问题—知识讲解（提高）【学习目标】1.以分析实际例子为背景，认识平行投影和中心投影的基本概念与性质；

2.通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、平行投影

1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

2.物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.

（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

要点诠释：

1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.

2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.要点二、中心投影

若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

要点诠释：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系

1.联系：

（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.

（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.

2.区别：

（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.

（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.

要点诠释：

在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进一步解决问题.要点四、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【高清课程名称：相似三角形的性质及应用高清ID号：394500关联的位置名称（播放点名称）：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=；

2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比；

3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）；4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、投影的应用1．（2015秋•宝安区月考）如图，AB是公园的一圆形桌面的主视图，MN表示该桌面在路灯下的影子；CD则表示一个圆形的凳子．（1）请你在答题卡中标出路灯O的位置，并画出CD的影子PQ（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）；（2）若桌面直径和桌面与地面的距离均为1.2m，测得影子的最大跨度MN为2m，求路灯O与地面的距离．【思路点拨】（1）延长MA、NB，它们的交点即为路灯O的位置，然后再连结OC、OD，并延长交地面与P、Q点，则PQ为CD的影子；（2）作OF⊥MN交AB于E，如图，AB=1.2m，EF=1.2m，MN=2m，证明△OAB∽△OMN，利用相似比计算出OF即可得到路灯O与地面的距离．【答案与解析】解：（1）如图，点O和PQ为所作；（2）作OF⊥MN交AB于E，如图，AB=1.2m，EF=1.2m，MN=2m，∵AB∥MN，∴△OAB∽△OMN，∴AB：MN=OE：OF，即1.2：2=（OF﹣1.2）：OF，解得OF=3（m）．答：路灯O与地面的距离为3m．【总结升华】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．也考查了相似三角形的判定与性质．举一反三

【变式】某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上，（1）你在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；（2）若AB=6米，CB=3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长．【答案】解：（1）如图所示：（2）设木杆AB的影长BF为x米，由题意，得=，解得x=．答：木杆AB的影长是米．2．如图，身高1.6米的小明