2022年北京初二（上）期末数学试卷汇编：等腰三角形与直角三角形

第1页/共1页2022北京初二（上）期末数学汇编等腰三角形与直角三角形一、单选题1．（2022·北京西城·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A(0，2)，B(a，0)，C(m，n)（）．若ABC是等腰直角三角形，且，当时，点C的横坐标m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·北京海淀·八年级期末）如图，是等边三角形，D是BC边上一点，于点E．若，则DC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．73．（2022·北京平谷·八年级期末）等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（

）A．50° B．80° C．50°或80° D．100°或80°4．（2022·北京大兴·八年级期末）下列三个说法：①有一个内角是30°，腰长是6的两个等腰三角形全等；②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等；③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（

）．A．3 B．2 C．1 D．05．（2022·北京东城·八年级期末）如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（

）A． B．C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题6．（2022·北京房山·八年级期末）等边的边长为2，P，Q分别是边AB，BC上的点，连结AQ，CP交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若点P和点Q分别从点A和点C同时出发，以相同的速度向点B运动（到达点B就停止），则点O经过的路径长为，其中正确的是______（序号）．7．（2022·北京昌平·八年级期末）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC=∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为______°．8．（2022·北京门头沟·八年级期末）如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝________．9．（2022·北京东城·八年级期末）如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线，BD，CE交于点F，则______°．10．（2022·北京石景山·八年级期末）如图，点D是的平分线OC上一点，过点D作交射线OA于点E，则线段DE与OE的数量关系为：DE______OE（填“＞”或“＝”或“＜”）．11．（2022·北京平谷·八年级期末）如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，请写出一个正确的结论________．12．（2022·北京门头沟·八年级期末）如图，在△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2＝B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3＝B2C3，在B3C3上取一点C4，延长AB3到点B4，使得B3B4＝B3C4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB2C2＝________°；第n个三角形的内角∠ABnCn＝________°．13．（2022·北京海淀·八年级期末）如图，在中，，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点．作直线FG．若直线FG经过点E，则的度数为________°．14．（2022·北京海淀·八年级期末）若等腰三角形的一个外角为40°，则它的顶角的度数为_____.三、解答题15．（2022·北京丰台·八年级期末）在中，，，点是直线上一点，点关于射线的对称点为点.作直线交射线于点，连接CF．(1)如图，点在线段上，补全图形，求的大小（用含的代数式表示）；(2)如果∠°．①如图，当点在线段上时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；②如图，当点在线段的延长线上（不与点重合）时，直接写出线段，，之间的数量关系．16．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E．(1)依题意补全图形；(2)判断△ADE的形状，并证明．17．（2022·北京朝阳·八年级期末）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACD=∠B，CE平分∠BCD，交AB于点E，点F在CE上，连接AF．再从“①AF平分∠BAC，②CF=EF”中选择一个作为已知，另外一个作为结论，组成真命题，并证明．18．（2022·北京西城·八年级期末）在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．（3）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．19．（2022·北京怀柔·八年级期末）如图，在等边三角形ABC边AC左侧有一射线CM，∠ACM=（0°<α<30°），点A关于射线CM的对称点为点E，连接BE并延长交CM于点N，连接AN，AE，CE．（1）依题意补全图形；（2）在α（0°<α<30°）的变化过程中，①求∠BEC的大小（用含α的代数式表示）；②∠ANC的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠ANC的大小；（3）用等式表示线段AN，BE，NC之间的数量关系．20．（2022·北京东城·八年级期末）在等腰中，，点D是BC边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，作等腰，使，，点D，E在直线AC两旁，连接CE．(1)如图1，当时，直接写出BC与CE的位置关系；(2)如图2，当时，过点A作于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD，CD，之间的数量关系，并证明．21．（2022·北京丰台·八年级期末）如图，在中，∠°，∠°，⊥AB于点D，交AC于点E，如果，求的长．22．（2022·北京顺义·八年级期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB＝∠AOB．我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．求证：∠APB＝∠AOB．23．（2022·北京延庆·八年级期末）如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，点D是射线OB上的一点，点M为线段OD的中点，过点M作OD的垂线，交射线OA于点E，交射线OC于点F，连接ED，交OC于点G．(1)依题意补全图形；(2)猜想EF和EG的数量关系并证明；(3)求证：ED＋EF＝2EM．24．（2022·北京朝阳·八年级期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在AC边上（不与点A，C重合），连接BD，过点D作DE⊥BD，点E与点A在直线BC的两侧，DE=BD，延长BC至点F，使CF=BC，连接EF．(1)依题意补全图1；(2)在点A，B，C，D中，和点F所连线段与DE相等的是点．①求∠CFE的度数；②连接EC并延长，交AB于点M，用等式表示线段EC与MC之间的数量关系，并证明．25．（2022·北京房山·八年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，请你在如下的网格中找到所有符合条件的点C（可以用，……表示），并画出所有三角形．26．（2022·北京平谷·八年级期末）针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．已知：在△ABC中，AD平分∠CAB，交BC边于点D，且CD＝BD，求证：AB＝AC．以下是甲、乙两位同学的作法．甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证△ACD≌△ABD，所以这个三角形为等腰三角形；乙：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，可证△ACD≌△EBD，依据已知条件可推出AB＝AC，所以这个三角形为等腰三角形（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（

）；A.两人都正确

B.甲正确，乙错误

C.甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，并证明．27．（2022·北京怀柔·八年级期末）如图，在ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．若∠A=100°，∠ABD=22°，求∠C的度数．28．（2022·北京大兴·八年级期末）如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．求证：．29．（2022·北京通州·八年级期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．30．（2022·北京海淀·八年级期末）如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D、E在边BC上，且AD＝AE，求证：BE＝CD．

参考答案1．B【分析】过点作轴于，由“”可证，可得，，即可求解．【详解】解：如图，过点作轴于，点，，是等腰直角三角形，且，，，，在和中，，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是画图及添加恰当辅助线构造全等三角形．2．C【分析】先求解可得从而可得答案.【详解】解：是等边三角形，，故选C【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键.3．C【分析】已知给出一个角的的度数为80º，没有明确是顶角还是底角，要分类讨论，联合内角和求出底角即可．【详解】解：等腰三角形的一个角是80°，当80º为底角时，它的一个底角是80º，当80º为顶角时，它的一个底角是，则它的一个底角是50º或80º．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，内角和定理，掌握分类讨论的思想是解决问题的关键．4．C【分析】根据三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质和直角三角形的性质判断即可．【详解】解：①当一个是底角是30°，一个是顶角是30°时，两三角形就不全等，故本选项错误；②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等，本选项正确；③当一条直角边为12，一条斜边为12时，两个直角三角形不全等，故本选项错误；正确的只有1个，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．5．C【分析】直接利用直角三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；直接利用三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项，由此即可得出答案．【详解】解：当添加条件是时，在和中，，，则选项不符题意；当添加条件是时，，在和中，，，则选项不符题意；当添加条件是时，在和中，，，则选项不符题意；当添加条件是时，不一定能使，则选项符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．6．①③【分析】①根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，再由三角形的外角性质即可求解；第②结论有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；③要先判断判断轨迹（通过对称性或者全等）在来计算路径长．【详解】解：∵为等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故①正确；当时可分两种情况，第一种，如①所证时，且时，∵，∴，第二种如图，时，若时，则大小无法确定，故②错误；由题意知,∵为等边三角形，∴，∴，∴点O运动轨迹为AC边上中线，∵的边长为2，∴AC上边中线为，∴点O经过的路径长为，故③正确；故答案为：①③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识的综合应用．本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．7．72°．【分析】根据题意设∠A为x，再根据翻折性质得到∠C=∠BED=2x，再根据AB=AC，得出∠ABC=∠C=2x，然后根据三角形内角和列出方程2x+2x+x=180°，解方程即可．【详解】解：设∠A为x，则翻折点A恰好与点D重合，折痕为EF由对应角相等可得∠EDA=∠A=x，由∠BED是△AED的外角可得∠BED=∠EDA+∠A=2x，则翻折点C落到AB边上的E点处，折痕为BD由对应角相等可得∠C=∠BED=2x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=2x+2x+x=180°，∴x=36°，∴∠ABC=2x=72°．故答案为72°．【点睛】本题主要考查折叠性质，三角形外角性质．三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解一元一次方程，掌握三角形内角和定理和等腰三角形的性质，折叠性质，解一元一次方程，三角形外角性质是解题关键．8．2【分析】延长CD交AB于点E，根据垂线及角平分线的性质可得，，然后利用全等三角形的判定定理和性质可得，再由等角对等边可得，由此即可得出线段长度．【详解】解：如图所示：延长CD交AB于点E，∵AD平分，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，故答案为：2．【点睛】题目主要考查角平分线和等角对等边的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．9．120【分析】等边三角形中线与角平分线合一，有，，由可求得结果．【详解】解：∵是等边三角形∴∵BD，CE是等边三角形ABC的中线∴又∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角度的计算．解题的关键在于熟练利用等边三角形三线合一的性质．10．＝【分析】首先由平行线的性质求得∠EDO=∠DOB，然后根据角平分线的定义求得∠EOD=∠DOB，最后根据等腰三角形的判定和性质即可判断．【详解】解：∵ED∥OB，∴∠EDO=∠DOB，∵D是∠AOB平分线OC上一点，∴∠EOD=∠DOB，∴∠EOD=∠EDO，∴DE=OE，故答案为：=．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质、角平分线的定义以及等角对等边，根据平行线的性质和角平分线的定义求得∠EOD=∠EDO是解题的关键．11．BC＝BD【分析】根据HL证明△ACB和△ADB全等解答即可．【详解】解：在Rt△ACB和Rt△ADB中，，∴△ACB≌△ADB（HL），∴BC＝BD，故答案为：BC＝BD（答案不唯一）．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明△ACB和△ADB全等解答．12．

40

【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠C1B1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1B2C2，∠C3B3B2及∠C4B3B2的度数，找出规律即可得出∠ABnCn的度数．【详解】解：△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，∴∠C1B1A＝，∵B1B2＝B1C2，，∠C1B1A是△B1B2C2的外角，∴∠B1B2C2＝；同理可得，∠C3B3B2＝20°，∠C4B3B2＝10°，∴∠ABnCn＝．故答案为：40，．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B1B2C2，∠C3B3B2及∠C4B3B2的度数，找出规律是解答此题的关键．13．【分析】连接AD，DE，设，根据题意可由得出关于x的方程，进而求出x的值，即可得到，即可求解．【详解】解：连接AD，DE，设，∵，∴，∵以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交AC于点E，∴,∴，∵分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，∴，∴，∴，∵，解得：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是理解作图过程，掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质．14．140°##140度【详解】解：由等腰三角形的一个外角为40°，可得这个等腰三角形的一个内角为140°，根据三角形的内角和定理可得这个角为等腰三角形的顶角，即这个等腰三角形顶角的度数为140°.故答案为：140°.15．(1)补全图形见解析；(2)①，证明见解析；②．【分析】（1）根据题意画图，由点为点关于的对称点，得到，，设，解得，继而得到，据此解题；（2）①延长至点，使，连接AG，证明△≌△()，由全等三角形对应边相等得到，据此解题；②连接AE，由对称的性质，解得，继而证明△≌△()，由全等三角形对应边相等得到，即可解题．(1)解：补全图形；连接AE，∵点为点关于的对称点，∴，设∴∵∴∴∴∵，∴∴(2)①证明：延长至点，使，连接AG∵∴∴△为等边三形，由（1）知∴△为等边三角形∴，∴在△与△中，∴△≌△()

∴∴∵∴②结论为：．连接AE，∵点为点关于的对称点，∴，EF=FC,设∴∵=AE∴∴∵，∴在BE上取点G,使得FG=FA,连接AG∴△为等边三角形∴，∴在△与△中，∴△≌△()

∴∴【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．16．(1)见详解；(2)△ADE为等边三角形，证明见详解．【分析】（1）利用作∠ADE=∠B，作出∠ADE的边DE，利用同位角相等两直线平行得出DE∥BC；（2）根据等边三角形性质∠A=∠B=∠C=60°，根据平行线性质得出∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，得出∠DAE=∠ADE=∠AED=60°即可(1)解：过点D作∠ADE=∠B，∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC，(2)解：△ADE为等边三角形，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，∴∠DAE=∠ADE=∠AED=60°，∴△ADE为等边三角形【点睛】本题考查作平行线，作一个角等于已知角，等边三角形性质与判定，平行线性质，掌握作平行线方法，作一个角等于已知角基本作图，等边三角形性质与判定，平行线性质是解题关键．17．选择已知①，结论②（或选择已知②，结论①）；证明见解析【分析】选择①作为已知，②作为结论时证明∠ACE=∠AEC得EA=CA，再根据等腰三角形的性质可得结论；选择②作为已知，①作为结论时，证明∠ACE=∠AEC得EA=CA，再根据等腰三角形的性质可得结论．【详解】解：选择已知①，结论②．

证明：∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE．

∵∠ACD=∠B．

∴∠DCE+∠ACD=∠BCE+∠B．∴∠ACE=∠AEC．∴EA=CA．

∵AF平分∠BAC，∴CF=EF．

选择已知②，结论①．

证明：∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE．∵∠ACD=∠B．

∴∠DCE+∠ACD=∠BCE+∠B．∴∠ACE=∠AEC．∴EA=CA．

∵CF=EF．∴AF平分∠BAC．【点睛】本题主要考查民角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．18．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）当时，,当时，【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论．【详解】（1）∵，∴是等腰三角形，∵，∴,，∵AD为ABC的中线，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴；（2），证明如下：如图2，在线段AB上取点G，使，∵，∴是等边三角形，∴，，∵是等腰三角形，AD为ABC的中线，∴，，∴，即，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴；（3）当时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB上取点H，使，∵，∴是等边三角形，∴，，∵是等腰三角形，AD为的中线，∴，∵，∴，∴，∴，∴，当时，如图4所示：在线段AB的延长线上取点N，使，∵，∴是等边三角形，∴，∵∴，在与中，，∴，∴，∴，

∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．19．（1）见解析；（2）①60°+α；②∠ANC不发生变化，∠ANC=60°；（3）NC=2AN+BE【分析】（1）①根据题意画出图形即可；（2）①先证明CE=AC，∠ACM=∠ECM=α，再由等边三角形的性质得到AB=AC=BC∠BAC=∠ACB=60°，则CE=BC，∠BCE=∠ACB-∠ACM-∠ECM=60°-2α，再由三角形内角和定理求解即可；②先求出∠ANC=∠ENC，再由∠ENC+∠ECN=∠BEC，得到，则；（3）在NC上取一点Q，使NQ=AN，连接AQ．可证△ANQ是等边三角形．得到AN=AQ=NQ，∠NAQ=∠AQN=60°．证明∠BAN=∠CAQ，∠ANB=∠AQC=120°，即可证明△ANB≌△AQC得到BN=QC，则NC==NQ+CQ=NQ+BN=NQ+NE+BE=2AN+BE．【详解】解：（1）如图所示，即为所求；（2）①∵点A关于射线CM的对称点为点E，∴NC是线段AE的垂直平分线，∴CE=AC，AE⊥NC，∴∠ACM=∠ECM=α，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∴CE=BC，∠BCE=∠ACB-∠ACM-∠ECM=60°-2α，∴；②∠ANC不发生变化．∠ANC=60°，理由如下：∵NC是线段AE的垂直平分线，∴NE=NA，NC⊥AE，∴∠ANC=∠ENC，又∵∠ENC+∠ECN=∠BEC，∴，∴；（3）在NC上取一点Q，使NQ=AN，连接AQ．∵∠ANQ=60°，AN=NQ，∴△ANQ是等边三角形．∴AN=AQ=NQ，∠NAQ=∠AQN=60°．∴∠BAN+∠BAQ=∠CAQ+∠BAQ=60°，即∠BAN=∠CAQ，∠AQC=120°，∵∠ANQ=∠ENQ=60°，∴∠ANB=∠AQC=120°，又∵AB=AC，∴△ANB≌△AQC（AAS）．∴BN=QC．∴NC==NQ+CQ=NQ+BN=NQ+NE+BE=2AN+BE．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．20．(1)(2)或，见解析【分析】（1）根据已知条件求出∠B=∠ACB=45°，证明△BAD≌△CAE，得到∠ACE=∠B=45°，求出∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，即可得到结论；（2）根据题意作图即可，证明≌．得到，，，推出．延长EF到点G，使，证明≌，推出．由此得到．同理可证．(1)解：，，∴∠B=∠ACB=45°，∵，∴，即∠BAD=∠CAE，∵，，∴△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴；(2)解：如图，补全图形；．证明：∵，∴．又∵，，∴≌．∴，，．∵，∴．∴．延长EF到点G，使．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴≌．∴．∵，∴．如图，同理可证．．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键．掌握分类思想解题是难点．21．．【分析】先根据直角三角形的性质可得，，再根据垂直的定义可得，从而可得，，，然后根据线段和差可得，根据平行线的性质可得，最后在中，利用直角三角形的性质即可得．【详解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵在中，，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键．22．见解析【分析】由，得出为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得，再次利用外角的性质及等量代换得，即可证明．【详解】解：，为等腰三角形，，由外角的性质得：，，再由外角的性质得：，，．【点睛】本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．23．(1)见详解；(2)EF=EG；理由见详解；(3)见详解．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）由题意，得到EM垂直平分OD，则OE=DE，得到∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，由角平分线的定义，得∠AOC=∠BOC，再由三角形的外角性质，即可得到结论成立；（3）在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，则ED＋EF=OH，然后有OD=2EM，再证明△ODG≌△OHG（AAS），得到OD=OH，即可得证．（1）解：根据题意，如图：（2）解：EF=EG；理由如下：如图，∵点M为线段OD的中点，EM⊥OD，∴线段EM是△OED的高，也是中线，∴EM垂直平分OD，∠OME=90°，∴OE=DE，∴∠EDO=∠AOB=∠OEF=45°，∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC，∴∠AOC+∠OEF=∠BOC+∠EDO，∴∠EFG=∠EGF，∴EF=EG；（3）解：在射线EA上，截取EH=EG，连接GH，如图：则EH=EF，∵OE=DE，∴ED＋EF=OE+EH=OH，∵∠EDO=∠EOM=∠OEF=45°，点M是OD的中点，∴OM=EM=DM，∠DEA=45°+45°=90°，∴OD=2EM；∠EHG=45°，∵∠AOC=∠BOC，OG=OG，∴△ODG≌△OHG（AAS），∴OD=OH，∴ED＋EF＝2EM．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明．24．(1)补全的图形见解析．(2)D．①∠CFE=45°；②EC=MC．证明见解析．【分析】（1）根据题意题意直接作图即可；（2）如图：先说明△BDC≌△DCF，说明DF=BD,进而说明确定所求的点；①由DB=DF可得∠CBD=∠CFD．然后根据题意说明∠EDF=180°－∠BDE－∠CBD－∠CFD=90°－2∠CFD．再根据等腰三角形的性质可得∠DEF=∠DFE，最后运用等量代换代入计算即可；②先说明△MCB≌△ECF，然后根据全等三角形的性质即可证明．（1）（1）解：补全的图形如图所示：

（2）解：（2）如图：连接DF．

在△BDC和△DCF中BC=CF,∠BCD=∠DCF,CD=CD∴△BDC≌△DCF（SAS）∴DF=BD∵BD=DE∴DF=DE,∴在点A，B，C，D中，和点F所连线段与DE相等的是点D．故答案是D．①连接DF．∵DB=DF．∴∠CBD=∠CFD．∵DE⊥DB，∴∠BDE=90°．∴∠EDF=180°－∠BDE－∠CBD－∠CFD=90°－2∠CFD．

∵DE=BD，∴DE=DF．∴∠DEF=∠DFE．∴∠DFE=(180°-∠EDF=45°+∠CFD．∴∠CFE=45°．

②线段EC与MC的数量关系：EC=MC．

证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ABC=45°．∴∠ABC=∠CFE．在△MCB和△ECF中，∴△MCB≌△ECF．

∴EC=MC．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用了全等三角形的判定与性质成为解答本题的关键．25．见解析【分析】当，和时，在网格中找出点C即可．【详解】如图所示：【点睛】本题考查作等腰三角形，掌握等腰三角形两边相