2013年河南专升本高数真题+答案解析

河南省2013年普通高等学校选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试高等数学一、单项选择题(每小题2分，共60分)1．函数的定义域是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】为使函数有意义，须有，即，故函数的定义域为，应选C．2．设，那么（） A． B． C． D．x【答案】D【解析】由得，，故选D．3．函数是（） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数【答案】B【解析】，即为奇函数，故选B．4．设，则是的（） A．连续点 B．可去间断点 C．跳跃间断点 D．无穷间断点【答案】B【解析】，故是的可去间断点，选B．5．当时，下列无穷小量中与等价的是（） A．x B． C． D．【答案】A【解析】由选项可设与等价的无穷小量为，则，则，，故选A．6．已知，，且，则（） A． B． C． D．【答案】C【解析】，故选C．7．曲线，则对应点处的法线斜率为（） A． B． C． D．【答案】B【解析】，故对应点处的法线斜率为，应选B．8．设，则（） A． B． C． D．【答案】D【解析】，又，故，应选D．9．设函数具有任意阶导数，且，则（） A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，故选A．10．由方程确定的隐函数的导数（） A． B． C． D．【答案】A【解析】方程两边对y求导，其中x看作y的函数，，所以，故选A．11．若，且，则下面成立的是（） A． B．在上单调增加 C． D．在上单调增加【答案】B【解析】只能说明是上的增函数，而A、C、D中的结论无法得到．12．点是曲线的拐点，则（） A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】，，当时，，则，又曲线过点，即，故选A．13．曲线的垂直渐近线共有（） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】A【解析】，显然为可去间断点，，故为曲线的垂直渐近线，故应选A．14．函数的一个原函数是（） A． B． C． D．【答案】B【解析】，结合选项可知B正确．15．若连续，则下列等式正确的是（） A． B． C． D．【答案】D【解析】，A错；，B错；，C错；，D正确．16．（） A． B． C．1 D．0【答案】D【解析】为上的奇函数，故，应选D．17．设，则（） A． B． C． D．【答案】A【解析】方程两边对x求导，得，所以，，故选A．18．下列广义积分收敛的是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】，发散；，发散；，收敛；，发散，故选C．19．微分方程的阶数是（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】微分方程的阶数为方程中最高阶导数的阶数，故选B．20．微分方程满足条件的特解是（） A． B． C． D．【答案】B【解析】对微分方程分类变量，得，两边积分，得，代入，得，故方程的特解为，应选B．21．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（） A． B． C． D．【答案】C【解析】向量的方向角须满足，计算可知只有C满足．22．直线与平面的位置关系是（） A．L在上 B．L与垂直相交 C．L与平行 D．L与相交，但不垂直【答案】B【解析】由于直线的方向向量与平面的法向量平行，故L与垂直相交，应选B．23．下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（） A． B． C． D．【答案】D【解析】D中，曲面在xOy平面上的投影为圆，故D为柱面，其他均不是，应选D．24．（） A．0 B．1 C． D．不存在【答案】C【解析】．25．设，则（） A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选B．26．设，则交换积分次序后，I可以化为（） A． B． C． D．【答案】A【解析】画出积分区域如图，交换积分次序得，故选A．27．积分（） A．2 B． C． D．0【答案】C【解析】．28．设是抛物线上从到的一段弧，则曲线积分（） A．0 B．2 C．4 D．1【答案】D【解析】．29．幂级数的收敛区间为（） A． B． C． D．【答案】C【解析】，故收敛半径，收敛区间为．30．下列级数收敛的是（） A． B． C． D．【答案】A【解析】A为交错级数，且，单调递减，故收敛；，，而发散，故B、C均发散；，，发散，故选A．二、填空题(每小题2分，共20分)31．函数在点有定义是极限存在的________条件．【答案】既不充分也不必要【解析】在点有定义表明定义域中包含，存在等价于，二者没有什么本质的联系．32．已知，则________．【答案】【解析】，故．33．函数是连续函数，则________．【答案】【解析】，，由的连续性，知，即．34．设函数，则________．【答案】【解析】，，．35．不定积分________．【答案】【解析】．36．向量与向量的夹角是________．【答案】【解析】，故．37．微分方程的通解是________．【答案】【解析】由一阶线性微分方程的通解公式得微分方程的通解为，其中C为任意常数．38．设方程所确定的隐函数为，则________．【答案】【解析】方程两边对x求偏导，得，，代入得．39．曲面在点处的切平面方程是________．【答案】【解析】令，，，，故点处的切平面法向量为，所以切平面的方程为，即．40．将展开成的幂级数是________．【答案】，【解析】，，．三、计算题(每小题5分，共50分)41．．【答案】【解析】．42．已知函数由方程所确定，求．【答案】【解析】方程两边对y求导，得，化简得，即．43．求不定积分．【答案】【解析】令，则，，．44．设，求．【答案】【解析】．45．求微分方程的通解．【答案】，其中为任意常数【解析】对应齐次方程的特征方程为，特征根为，，所以原方程对应齐次方程的通解为，为任意常数，设为方程的特解，代入方程解得，故原方程的通解为，其中为任意常数．46．设，求全微分．【答案】【解析】，，故．47．一平面过点且平行于向量和，求此平面的方程．【答案】【解析】所求平面的一个法向量为，又平面过点，所以所求平面的方程为，即．48．计算，其中D是由，，，所围成的闭区域．【答案】【解析】积分区域，故．49．计算积分，其中L为曲线上从点到点的一段弧．【答案】【解析】，，，所以所求积分与路径无关，可以沿直线积分，故．50．求幂级数的收敛域．【答案】【解析】，所以幂级数的收敛半径为2，从而，即收敛区间为，当时，原级数为，收敛；当时，原级数为，故原幂级数的收敛域为．四、应用题(每小题6分，共12分)51．某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入为多少？【答案】当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元．【解析】设租金定为x元时对应的收入为y元，则，即，，令，得唯一驻点，且，结合实际问题，知当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元．52．曲线，直线以及y轴围成一