2024年初一下册数学专项练习53幂的运算（提高）知识讲解

2024年初一下册数学专项练习幂的运算（提高）【学习目标】1.掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(，均为正整数)（2）逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1)；(2)．【答案与解析】解：（1）．（2）．【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：．类型二、幂的乘方法则2、计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知2x=8y+2，9y=3x﹣9，求x+2y的值．【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x、y的值，然后代入求解．【答案与解析】解：根据2x=23（y+2），32y=3x﹣9，列方程得：，解得：，则x+2y=11．【总结升华】本题考查了幂的乘方，解题的关键是灵活运用幂的乘方运算法则．举一反三：【变式】已知，则＝．【答案】－5；提示：原式∵∴原式＝＝－5.类型三、积的乘方法则4、计算：（1）（2）【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.【答案与解析】解：（1）．（2）．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式1】下列等式正确的个数是()．①②③④⑤A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A；提示：只有⑤正确；；；；【变式2】计算：（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2（2）（2）20•（）21．【答案】（1）a4•（3a3）2＋（﹣4a5）2=a4•9a6＋16a10=9a10＋16a10=25a10；（2）（2）20•（）21．=（×）20•=1×=．5、已知x2m=2，求（2x3m）2﹣（3xm）2的值．【思路点拨】根据积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得已知条件，根据已知条件，可得计算结果．【答案与解析】解：原式=4x6m﹣9x2m=4（x2m）3﹣9x2m=4×23﹣9×2=14．【总结升华】本题考查了幂的乘方与积得乘方，先由积的乘方得出已知条件是解题关键．同底数幂的除法【学习目标】1.会用同底数幂的除法性质进行计算．2.掌握零指数幂和负整数指数幂的意义．3．掌握科学记数法．【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.（、为整数，）；（为整数，，）（、为整数，）.要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】类型一、同底数幂的除法 1、计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（1）（2）（3）（4）【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如．（2）注意指数为1的多项式．如的指数为1，而不是0．【答案与解析】解：（1）．（2）（3）．（4）．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．3、已知，，求的值．【答案与解析】解：．当，时，原式．【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含，的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式．举一反三：【变式】已知以=2，=4，=32．则的值为．【答案】解：==8，==16，=•÷=8×16÷32=4，故答案为：4．类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）；（2）．【答案与解析】解：（1）；（2）．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：【变式】计算：．【答案】解：5、已知，，则的值＝________．【答案与解析】解：∵，∴．∵，，∴，．∴．【总结升华】先将变形为底数为3的幂，，，然后确定、的值，最后代值求．举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；【答案】解：（1）原式．（2）原式．类型三、科学记数法6、观察下列计算过程：（1）∵÷=，÷==，∴=（2）当a≠0时，∵÷===，÷==，=,由此可归纳出规律是：=（a≠0，P为正整数）请运用上述规律解决下列问题：（1）填空：=；=．（2）用科学记数法：3×=．（写成小数形式）（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法的形式是：．【答案与解析】解：（1）=；==；（2）3×=0.0003，（3）0.00000002=2×．【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．整式的乘法（基础）【学习目标】1.会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2.掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘 1、计算：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把与分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉．举一反三：【变式】（2014•甘肃模拟）计算：2m2•（﹣2mn）•（﹣m2n3）．【答案】解：2m2•（﹣2mn）•（﹣m2n3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m2×mn×m2n3）=2m5n4．类型二、单项式与多项式相乘2、计算：（1）；（2）；（3）；【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和．举一反三：【变式1】．【答案】解：原式．【变式2】若为自然数，试说明整式的值一定是3的倍数．【答案】解：＝因为3能被3整除，所以整式的值一定是3的倍数．类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．4、（2016春•长春校级期末）若（x+a）（x+2）=x2﹣5x+b，则a+b的值是多少？【思路点拨】根