高等数学课件：D5-5定积分在几何中的应用

一、面积问题二、体积问题三、曲线的弧长第五节定积分在几何学上的应用第六章《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本章主要介绍几何上，物理上实际问题的应用，例如：计算平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积引力，做功等。基本思想：实际问题所求量U转化为求U=(积分模型)转化方法：元素法（或微元法），即从局部到整体《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期一、元素法回顾

曲边梯形求面积的问题曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期其面积关键是部分量的近似《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期则积分上限函数以[a,x]为底的曲边梯形的面积微分dA(x)=f(x)dx面积A的面积元素点x处以dx为宽的小曲边梯形的面积A的近似值A(x)《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期定积分的微元法从面积表示为定积分的步骤,可抽象出在应用学科中表示为定积分的方法广泛采用的将所求量U(总量)—微元法(也称为元素法).(1)由分割写出微元根据具体问题,选取一个积分变量,并确定它的变化区间[a,b],任取[a,b]的一个区间微元

[x,x+dx],求出相应于这个区间微元上部分量的近似值,即求出所求总量U的微元《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期定积分的微元法从面积表示为定积分的步骤,可抽象出在应用学科中表示为定积分的方法广泛采用的将所求量U(总量)—微元法(也称为元素法).(1)由分割写出微元(2)由微元写出积分根据写出表示总量的定积分《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期二、平面图形的面积Oyab

xy=f

上(x)y=f

下(x)x

x+dxx

=b所围成的图形的面积．面积元素为：[f

上(x)-f

下(x)]dx．所求图形的面积为：A=[f

上(x)-f

下(x)]dx．1.直角坐标的情形求由曲线y

=f

上(x)、y

=f

下(x)及直线x

=a、《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期面积微元aby=f

上(x)O讨论：如果下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？yxA1y=f

下(x)Oyxaby=f

上(x)A2y=f

下(x)A1=A2=

[f

上(x)-f

下(x)]dx．《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期右下图所示图形面积为《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期例1.计算两条抛物线解:由得交点1x在第一象限所围图形的面积.yy2xyx

20

x

x+dx

1《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期讨论：如果下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？xcOydx=f

左(y)x=f

右(y)A33右左A

=

[f

(y)-f

(y)]dy．yy+dy《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期例2.计算抛物线与直线解:由得交点所围图形的面积.选取y

作积分变量,则有y

2=2xy=x-4(8,

4(2,

-2)《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期例3.求椭圆所围图形的面积.解:利用对称性,有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a

=b

时得圆面积公式《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期求由曲线围成的曲边扇形的面积.在区间 上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为2.极坐标情形设及射线《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期例4.计算阿基米德螺线Ox对应 从

0

变到

2 所围图形面积.解:2paρ

ad《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期例5.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)Ox2a《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期练习1解《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期练习2解《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期三、旋转体的侧面积用切线MT绕x轴旋转所得圆台的侧面积近似《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期旋转体的侧面积设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:位于[x,x+dx]上的圆台的侧面积《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期例6.计算圆绕x

轴旋转一周所得的球台的侧面积S

.解:对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R

时,得球的表面积公式《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期圆柱圆锥圆台1.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期三、体积xyo《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期y《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期y《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期y+dyy即,当考虑连续曲线段绕x轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,有《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期例5.计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而成的椭球体的体积.解:利用直角坐标方程则(利用对称性)《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期、求由曲线 所围成的图形分例6别绕 轴和轴旋转而成的旋转体的体积.解作草图,并求得曲线的交点坐标分别为及及《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期设所给立体垂直于x

轴的截面面积为A(x),A(x)在[a,b]上连续则,对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期2.已知平行截面面积函数的立体体积例8.

一平面经过半径为R

的圆柱体的底圆中心,并与底面交成 角,计算该平面截圆柱体所得立体的体积.解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x

轴的截面是直角三角形,其面积为yxO)aR-Rx

2

y

2

R

2《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期例8.一平面经过半径为的圆柱体的底圆角,计算该平面截圆中心,并与底面交成

柱体所得立体的体积.解:利用对称性yxO)aR-Rx

2

y

2

R

2《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期解

取坐标系如图底圆方程为垂直于轴的截面为等腰三角形截面面积立体体积《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期内容小结1.平面图形的面积直角坐标方程边界方程

参数方程极坐标方程《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期2.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x

轴:绕y

轴:《高等数学》化学131、1322013－2014学年第一学期与直线所围成练习1

求由抛物线的面积.解由方程组解得它们的交点为选为积分变量,则的变化范围是 任取其则可得到相应面积上的一个区间微元微元从而所求面积《