江苏省南京市六校联合体考试2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题（解析版）

第第页2023-2024学年第二学期第一次调研测试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由诱导公式和两角差余弦公式求解即可.【详解】.故选：B.2.已知向量，若与垂直，则（）A.13 B. C.11 D.【答案】A【解析】【分析】由垂直向量的坐标运算求解即可.【详解】因为向量，所以，若与垂直，则，解得：.故选：A.3.在中，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理即可得解.【详解】因为，即，所以，由余弦定理可得，又，所以.故选：B．4.在中，内角所对的边分别为，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】首先分析题意，利用三角形内角和定理求A，再用正弦定理求边长即可.【详解】易知，由正弦定理得，化简得.故选：B5.已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【答案】C【解析】【分析】由平面向量共线定理求解即可.【详解】因为向量，是平面上两个不共线的单位向量，所以，可以作为一组基底，对于A，因为，，若三点共线，设，，则，无解，所以三点不共线，故A错误；对于B，若三点共线，设，，则，无解，所以三点不共线，故B错误；对于C，因为，因为有公共点，所以三点共线，故C正确.对于D，因为，，设，，则，无解，所以三点不共线，故D错误；故选：C.6.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A. B. C.1 D.5【答案】D【解析】【分析】根据三角函数定义及两角差的正切公式即可求解.【详解】因为角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，所以，所以.故选：D.7.在平行四边形中，，则（）A.12 B.16 C.14 D.10【答案】A【解析】【分析】由表示出由数量积的运算律求解即可.【详解】，，所以.故选：A.8.已知，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可.【详解】因为，所以，所以，化简得：，所以，又由，可得，所以，即，所以，所以，又，所以，所以.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.计算下列各式，结果为的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】由两角和与差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，，故A正确；对于B，因，可得，所以，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AC.10.对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，则的面积为C.在锐角中，不等式恒成立D.若且有两解，则的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D.【详解】选项A：中，若，即，所以由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A说法正确；选项B：中，若，则由正弦定理得，解得，所以或，所以或，的面积或，B说法错误；选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，又，所以，则，又因为在单调递增，所以，C说法正确；选项D：如图所示，若有两解，则，解得，D说法正确；故选：ACD11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（）A.的外接圆的半径为B.的内切圆的半径为C.若为的中点，则D.若为的外心，【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理和面积公式求出边长，根据三角形外接圆性质即可判断选项A，利用面积公式和内切圆性质即可判断选项B，利用余弦定理即可判断选项C，利用余弦定理结合向量数量积的定义即可判断选项D.【详解】由题知，因为，由正弦定理得，，设，所以，解得，则，又，所以，，所以的外接圆的半径为，A正确；因周长为，所以由，可得，故B错；对于C，因为为的中点，所以，又，所以在中，，所以，C正确；对于D，如图，，所以，，所以，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知灯塔A在海洋观测站C的北偏东40°的方向上，A，C两点间的距离为5海里．某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东80°的方向上，此时B，C两点间的距离为8海里，该时刻货船B与灯塔A间的距离为______海里．【答案】7【解析】【详解】根据题意，画出示意图，如图，由已知可得AC＝5海里，BC＝8海里，∠ACB＝180°－40°－80°＝60°.由余弦定理可得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CBcos∠ACB，所以AB2＝52＋82－2×5×8×＝49，所以AB＝7海里．13.已知，则________.【答案】【解析】【分析】以为整体，结合诱导公式和倍角公式运算求解.【详解】由题意可得：.故答案为：.14.已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，且其中，则的最小值为_______.【答案】【解析】【分析】先由平面向量的基本定理得到，然后由三点共线得，用基本不等式求解最小值即可.【详解】如图：因为，所以，又，所以，，所以,，又三点共线，所以，所以，，当且仅当时，即时，等号成立，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，，的夹角是60°，计算（1）计算，；（2）求和的夹角的余弦值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用数量积的定义可求出，先求出，即可得出；（2）先求出，根据向量夹角关系即可求出.【小问1详解】由题可得，，所以；【小问2详解】，设和的夹角为，所以.16.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由值求值，即可求出；（2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值.小问1详解】由，可得，.【小问2详解】由，可得，又，，，由，可得.17.在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，，为的中点，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解；（2）由余弦定理求出，再由，根据数量积的运算律计算可得.【小问1详解】因为，由正弦定理得，在中，，则有，，，又，，，，又，；【小问2详解】根据余弦定理有，

则有，解得或（舍去），为的中点，则，，．18.已知函数，xR.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值并指出此时的取值；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）时，有最小值（3）【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换得到，求出最小正周期；（2）求出，数形结合得到函数的最小值及此时的取值；（3）根据题目条件得到，根据同角三角函数关系得到，再由凑角法和余弦和角公式计算出答案.【小问1详解】，，的最小正周期为.【小问2详解】因为，所以，当，时，故有最小值，此时；【小问3详解】因为，所以，又因为，所以，故，由，可得，.19.如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为的圆形区域，道路成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块.（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）.（1）当为正三角形时，求修建的木栈道与道路围成的三角地块面积；（2）若的面积，求木栈道长；（3）如图2，若景区中心与木栈道段连线的.①将木栈道的长度表示为的函数，并指出定义域；②求木栈道的最小值.【答案】（1）（2）14（3）①；②12【解析】【分析】（1）由题意可得，则可得，从而可得出答案.（2）设圆C与分别相切与点M，N，F，由圆的切线长性质及三角形的面积公式，可得出答案.(3)①由圆的切线长性质得出，运用直角三角形中正切公式可表示出.②先用正切函数的差角公式，然后分离出常数，结合均值不等式中“1”的代换可得出答案.【小问1详解】当是等边三角形时，，