上海市第十五中学高三数学文上学期摸底试题含解析

上海市第十五中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：B将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数则有种，因为，所以要使两组中各数之和相，则有各组数字之和为14.则有；；；；；；；共8种，所以两组中各数之和相等的概率是，选B.2.若tanθ+=4，则sin2θ=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．【解答】解：sin2θ=2sinθcosθ=====故选D．3.已知等差数列中，，记，S13=(

)A．78

B．68

C．56 D．52参考答案：D4.某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为A． B．C．

D．参考答案：A5.设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，

若，且的最小内角为，则C的离心率为

A．

B．

C．

D．参考答案：C6.已知t为常数，函数有两个极值点a、b(a＜b)，则（

）A． B．C． D．参考答案：A设为对称轴为，开口向上的抛物线则在上有两个相异实根a、，∴∴，∴在上为增函数．7.设命题p：，，则为（

）A． B． C．

D．参考答案：D由已知得：命题：，，命题：8.已知等比数列的前项和为，，则实数的值是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C9.定义方程的实数根x0叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是 （

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.2π B.4π C.8π D.16π

参考答案：D【分析】先作出三棱锥的实物图，设的中点为，通过计算得出，可得知点即为三棱锥的外接球球心，为外接球半径，然后利用球体表面积公式可计算出答案。【详解】作出该三棱锥的实物图如下图所示，由三视图可知，平面平面，且是以为直角的直角三角形，设线段的中点为点，则平面，且，由于、、平面，则，，，且，是以为直角的直角三角形，且为斜边的中点，，所以，为三棱锥外接球的圆心，且其半径为，因此，该三棱锥外接球的表面积为，故选：D。【点睛】本题考查几何体外接球的表面积，解决本题的关键在于计算出相应线段的长度，找出球心的位置，一般而言，充分考查线面关系，计算出相应线段的长度，然后找出合适的模型计算出外接球的半径，是常见的方法，可以避免找球心的位置。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等差数列的公差，且，则数列前n项和取最大值时

参考答案：512.设函数的定义域为，若存在非零实数，使得对于任意，有，且，则称为上的“高调函数”。若定义域为的函数为上的“高调函数”，那么实数的取值范围是__________。参考答案：13.设平面向量，若，则

参考答案：因为，所以，解得。14.命题“若实数a满足，则”的否命题是

命题（填“真”、“假”之一）．参考答案：真略15..曲线在它们的交点处的两条切线互相垂直，则的值是

.参考答案：略16.已知是偶函数，当时，，当时，记的最大值为，最小值为，则

▲

。参考答案：117.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若，，，，则此球的表面积等于

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)已知数列{}的前n项和(n为正整数)。(I)令，求证数列{}是等差数列，并求数列{}的通项公式；(Ⅱ)令，试比较与的大小，并予以证明．参考答案：（Ⅰ）在中，令n=1，可得，即..............1当时，，..................2.

又数列是首项和公差均为1的等差数列...........................4于是.........................................................................6(II)由（I）得，所以由①-②得………9……11于是确定的大小关系等价于比较的大小．．．．．．猜想：当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由猜想显然成立．（2）假设时猜想成立．即则时，所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时………1419.已知函数f（x）=+lnx﹣3有两个零点x1，x2（x1＜x2）（Ⅰ）求证：0＜a＜e2（Ⅱ）求证：x1+x2＞2a．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值，求出a的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证明f（x2）＞f（2a﹣x1），设函数g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，①a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，不可能有2个零点；②a＞0时，在区间（0，a）上，f′（x）＜0，在区间（a，+∞）上，f′（x）＞0，∴f（x）在区间（0，a）递减，在区间（a，+∞）递增；f（x）的最小值是f（a）=lna﹣2，由题意得：有f（a）＜0，则0＜a＜e2；（Ⅱ）要证x1+x2＞2a，只要证x2＞2a﹣x1，易知x2＞a，2a﹣x1＞a，而f（x）在区间（a，+∞）递增，∴只要证明f（x2）＞f（2a﹣x1），即证f（x2）＞f（2a﹣x1），设函数g（x）=f（x）﹣f（2a﹣x），则g（a）=0，且区间（0，a）上，g′（x）=f′（x）+f′（2a﹣x）=＜0，即g（x）在（0，a）递减，∴g（x1）＞g（a）=0，而g（x1）=f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，∴f（x2）＞f（2a﹣x1）成立，∴x1+x2＞2a．20.设求（1）（2）参考答案：（2）略21.△ABC中，m＝(sinA，cosC)，n＝(cosB，sinA)，m·n＝sinB＋sinC.(1)求证：△ABC为直角三角形；(2)若△ABC外接圆半径为1，求△ABC的周长的取值范围．参考答案：(1)证明：∵m＝(sinA，cosC)，n＝(cosB，sinA)，m·n＝sinB＋sinC，∴sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC.由正余弦定理得a·＋a·＝b＋c，整理得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.∵b＋c>0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC为直角三角形．(2)设△ABC内角A、B、C所对边的边长分别是a、b、c.∵△ABC外接圆半径为1，A＝，∴a＝2，∴b＋c＝2(sinB＋cosB)＝2·sin(B＋)．∵0<B<，∴<B＋<，∴2<b＋c≤2，∴4<a＋b＋c≤2＋2，故△ABC周长的取值范围为(4,2＋2]．

22.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面,,点是的中点,且交于点.求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值.参考答案：（1）证明：底面,底面是正方形平面,又,是的中点,,平面……..2分由已知，平面.又平面