湖南省湘西市小溪桥中学高三数学文联考试题含解析

湖南省湘西市小溪桥中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合则实数等于

（A）

（B）或

（C）或

（D）参考答案：D2.已知点M(x，y)是圆的内部任意一点，则点M满足y≥x的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.函数（a>0，且a≠1）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（

） A．（5，1） B．（1，5） C．（1，4） D．（4，1）参考答案：B略4.若向量=（sin（α+），1），=（1，cosα﹣），⊥，则sin（α+）=(

) A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：C考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用向量垂直的等价条件进行化简，利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．解答： 解：∵⊥，∴?=0，即sin（α+）+cosα﹣=0，即sinα+cosα=，即sinα+cosα=，即sin（α+）=，∴sin（α+）=sin（α++π）=﹣sin（α+）=﹣，故选：C点评：本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用向量垂直的等价条件已经三角函数的诱导公式是解决本题的关键．5.已知数列是各项均为正数的等比数列=（

）

A．2

B．33

C．84

D．189

参考答案：C略6.设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则

（A）

(B)

(C)

(D)参考答案：A略7.从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125

120

122

105

130

114

116

95

120

134则样本数据落在内的频率为A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.5

参考答案：C本题主要考查样本频率的计算问题，以及获取信息的能力．难度较小．从所给的10个数据可以看出120、122、116、120这四个数字落在[114.5，124.5)内，所以数据落在[114.5，124.5)内的频率为=0.4．8.若锐角满足，则函数的单调增区间为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥，求出棱锥的体积，即可求出八面体的体积．【解答】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1=×1×=，故八面体体积V=2V1=．故选B．10.函数在区间[0，4]上的零点个数是A．4B．5 C．6 D．7参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ=

．参考答案：﹣【考点】平行向量与共线向量．【分析】由向量是两个不共线的向量，以、为基底，把、用坐标表示，利用共线的定义，求出λ的值．【解答】解：∵向量是两个不共线的向量，不妨以、为基底，则=（2，﹣1），=（1，λ）；又∵、共线，∴2λ﹣（﹣1）×1=0；解得λ=﹣．故答案为：．12.设函数

的最大值为M，若有10个互不相等的正数满足，且，则的值为

参考答案：答案：

13.已知函数，.若在区间上是减函数，则的取值范围是

．参考答案：略14.对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是1，且，则

．参考答案：10015.函数的单调减区间为

。参考答案：16.若2a=5b=10，则=

．参考答案：1【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】首先分析题目已知2a=5b=10，求的值，故考虑到把a和b用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．【解答】解：因为2a=5b=10，故a=log210，b=log510=1故答案为1．【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．17.圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为．参考答案：或【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形，当母线为a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是π×（）2×a=；当母线为2a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是π×（）2×2a=，综上所求圆柱的体积是：或．故答案为：或；【点评】本题考查圆柱的侧面展开图，圆柱的体积，容易疏忽一种情况，导致错误．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设函数.（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）若，且对任意总有成立，求实数的取值范围.参考答案：解析：（Ⅰ）的定义域为.，令得:所以在内为增函数,在内为减函数.

………………6分

（Ⅱ）由题意得:,为递增函数,;为递增函数,的取值范围为.

………………12分19.（本小题满分14分）如图1，在直角梯形中，，，，四边形是正方形.将正方形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中点，如图2.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）判断直线与的位置关系，并说明理由．

参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般通过线面垂直来证明，本题中因为四边形为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；（Ⅱ）建系来做，需要求出相应的方向向量及法向量，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，易得平面的一个法向量为，故与平面所成角为，；（Ⅲ）直线与直线平行.通过坐标运算可得，所以.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为四边形为正方形，

所以.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

………………2分

因为平面，

所以.

………………4分则.所以与平面所成角的正弦值为.

………………10分

（Ⅲ）解：直线与直线平行.理由如下：

………………11分由题意得，.所以.

所以.

………………13分因为，不重合，所以.

………………14分另解：直线与直线平行.理由如下：取的中点，的中点，连接，，.所以且.因为为的中点，四边形是正方形，所以且.考点：空间立体几何20.（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，）．（Ⅰ）化曲线的极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线经过点，求直线被曲线截得的线段的长．参考答案：解法一：（Ⅰ）由得，，即曲线的直角坐标方程为．

………………3分（Ⅱ）由直线经过点，得直线的直角坐标方程是，联立，消去，得，又点是抛物线的焦点，由抛物线定义，得弦长．

……………7分解法二：（Ⅰ）同解法一．

………………3分（Ⅱ）由直线经过点，得，直线的参数方程为将直线的参数方程代入，得，所以．

………………7分21.（本小题满分14分）已知平行四边形，，，，为的中点，把三角形沿折起至位置，使得，是线段的中点．（1）求证：；（2）求证：面面；（3）求二面角的正切值．参考答案：（1）见解析；(2)见解析；（3）【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．G4G5G7解析：(1)证明：取的中点，连接,为中点，且,为平行四边形边的中点，且，且四边形是平行四边形,平面，平面平面………4分（3）

取的中点，连接，，，为的中点为等边三角形，即折叠后也为等边三角形，且在中，，，根据余弦定理，可得在中，，，，，即又，所以又面面……………10分（3）过作于，连接,又,,是二面角的平面角在中，，，故所以二面角的正切值为……14分【思路点拨】（1）取DA1的中点G，连接FG、GE，通过证明BF∥EG，利用直线与平面平行的判定定理证明BF∥平面A1DE．（2）取DE的中点H，连接A1H、CH，通过证明A1H⊥面DEBC，然后通过平面与平面垂直的判定定理证明面A1DE⊥面DEBC．（3）利用（2）的结果，直接求解几何体的体积即可．22.已知函数（）在是单调减函数，且为偶函数.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）讨