湖南省怀化市兴隆镇中学高三数学文下学期摸底试题含解析

湖南省怀化市兴隆镇中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D．参考答案：A略2.已知，，，则（

）A.2 B. C.1 D.0参考答案：A【分析】根据向量垂直的定义即可得到关于的方程，解方程即可得到答案。【详解】，，，又，，即，解得，，，故答案选A。【点睛】本题主要考查向量坐标的表示，向量垂直的关系以及向量模的公式，属于基础题。3.曲线y=ex在点A（0，1）处的切线斜率为(

) A．1 B．2 C．e D．参考答案：A考点：直线的斜率；导数的几何意义．专题：计算题．分析：由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x=0代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率．解答： 解：由y=ex，得到y′=ex，把x=0代入得：y′（0）=e0=1，则曲线y=ex在点A（0，1）处的切线斜率为1．故选A．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．4.已知满足约束条件则的最小值是（

）A．

B． C．

D．参考答案：D

5.已知全集为,集合,,则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.为得到函数的导函数图象，只需把函数的图象上所有点的A．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标向左平移B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标向左平移D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标向左平移参考答案：C略7.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，则的大小关系是（

）A. B. C. D.参考答案：C,，，因为，因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以函数在上单调递减，所以，选C.8.左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。那么算法流程图输出的结果是（

）A． B． C． D． 参考答案：D略9.设全集,，则图中阴影部分表示的集合为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B，。图中阴影部分为，所以，所以，选B.10.曲线与曲线所围成的图形的面积为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为

参考答案：4

12.已知复数，是z的共轭复数，则___________.参考答案：

13.在△中，若，则

．参考答案：根据正弦定理可得，即，解得，因为，所以，所以，所以。14.在锐角中，，，则的值等于

；的取值范围为

.参考答案：；.

略15.已知一个三棱锥的三视图如图2所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为

．参考答案：略16.若对任意恒意义,则实数的范围____________.

参考答案：略17.已知集合A={－2，－1}，B={－1，2，3}，则___________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax3+x2﹣a2x（a＞0），存在实数x1，x2满足下列条件：①x1＜x2；②f′（x1）=f′（x2）=0；③|x1|+|x2|=2．（1）证明：0＜a≤3；（2）求b的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由题意可得f′（x）=3ax2+2x﹣a2，再根据方程f′（x）=0有解，利用判别式大于或等于零，求得a的范围．（2）由b=3a2（3﹣a）=﹣3a3+9a2，可得b′=﹣9a2+18a，令b′=0，求得a=0，或a=2．再根据在（0，2]上，b′＞0，函数b是增函数，求得b的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax3+x2﹣a2x，∴f′（x）=3ax2+2x﹣a2，∵满足①x1＜x2；②f′（x1）=f′（x2）=0，∴．∵|x1|+|x2|=2，∴x2﹣x1=2．∴的两个实根，∵方程有解，∴，即a的范围为（0，3]．（2）由b=3a2（3﹣a）=﹣3a3+9a2，∴b′=﹣9a2+18a，令b′=0，求得a=0，或a=2，∴故有0≤b≤12．19.（本小题满分14分）已知函数在处取得极值为（1）求的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值。参考答案：(Ⅰ)因故

由于在点处取得极值

故有即,化简得解得

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

,

令,得当时,故在上为增20.函数f（x）=，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．（1）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；（2）求证：当x＞1时，＞．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a=1，求导数，求单调区间和极值，令m＜1＜m+1，解不等式即可得到取值范围；（2）不等式＞即为?＞，令g（x）=，通过导数，求得＞，令h（x）=，运用导数证得h（x）＜h（1）=，原不等式即可得证．【解答】解：（1）∵f′（x）=，f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为﹣，由切线与直线e2x﹣y+e=0垂直，可得f′（e）=﹣，即有﹣=﹣解得得a=1，∴f（x）=，f′（x）=﹣（x＞0）当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．∴x=1是函数f（x）的极大值点

又f（x）在（m，m+1）上存在极值∴m＜1＜m+1

即0＜m＜1故实数m的取值范围是（0，1）；

（2）不等式＞即为?＞令g（x）=则g′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，则φ′（x）=1﹣=，∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，∴x＞1时，g（x）＞g（1）=2

故＞．令h（x）=，则h′（x）=，∵x＞1∴1﹣ex＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数∴x＞1时，h（x）＜h（1）=，所以＞h（x），即＞．21.（12分）数列{}的前项和满足：．（1）求数列{}的通项公式；（2）数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．参考答案：解析：

（1）当时有：两式相减得：，…………2’∴，又，∴．∴数列{}是首项6，公比为2的等比数列．从而，∴．………………6’（2）假设数列{}中存在三项，它们可以构成等差数列，只能是，………………8’，即．∴……………10’、、均为正整数，∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立.因此数列{}中不存在可以构成等差数列的三项………12’22.已知函数f（x）=x2+alnx﹣x（a≠0），g（x）=x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得f（x1）﹣f（x2）＞g（x1）﹣g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令2x2﹣x+a=0，△=1﹣8a（1）当△=1﹣8a≤0，即时，2x2﹣x+a≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当△＞0，即时，由2x2﹣x+a=0解得或i）当时，0＜x1＜x2，所以当或时f′（x）＞0当时f′（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3）当a≤0时，所以当时f′（x）＞0，当时f′（x）＜0；﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上所述：当时，函数f（x）的单增区间为（0，+∞），无单减区间．当时，函数f（x）的单增区间为和，单减区间为．当a≤0时，函数f（x）的单增区间为，单减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x﹣x2=alnx﹣x，x∈[1，a]．原问题等价于：对任意的a∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，a]，使得F（x1）﹣F（x2）＞m成立，即F（x）max﹣F（x）min＞m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵，∵a∈（1，+∞），x∈[1，a]，∴F′（x）＞0，∴F（x）在x∈[1，a]上单调递增，∴F（x）≤F（x）max﹣F（x）min=F（a）﹣F（1）=alna﹣a+1