安徽省亳州市涡阳县青疃刘村中学高三数学文期末试题含解析

安徽省亳州市涡阳县青疃刘村中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.四个旅行团选择四个景点游览，其中恰有一个景点没有旅行团游览的情况有（

）种A．36

B．72

C．144

D．288参考答案：C恰有一个景点没有旅行团游览，先从4个旅游团中任选2个，有C种方法，然后与其余2个旅游团看成三组，分别游览4个景点中的3个，有A种方法．由分步计数原理，知共有CA＝144种不同的放法，因此选C．2.已知a,b∈R,且ab≠0，则在下列四个不等式中，不恒成立的是(

)A. B.C. D.参考答案：B略3.已知复数满足（为虚数单位），则z的虚部为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知双曲线的中心为O，过焦点F向一条渐近线作垂线，垂足为A，如果△OFA的内切圆半径为1，则此双曲线焦距的最小值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D5.若，则（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为，由诱导公式得，所以.故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.

6.函数的最小正周期为，

若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B略7.已知复数（是虚数单位）在复平面上表示的点在第四象限，且，则

A.

B.

C.

D.参考答案：B由可得，又在第四象限，则，故选B.8.已知集合则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.函数的零点个数为（

）A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：B略10.已知f(x)是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（

）A．(－∞,1)

B．(1,+∞)

C．

D．(0,1)参考答案：D引入函数，则，，，又，函数在区间上单调递增，又，不等式“”等价于“”，即，又，又函数在区间上单调递增，，解得，又函数的定义域为，得，解得，故不等式的解集是，故选D.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，且．若，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为

．参考答案：略12.定义在R上的偶函数满足：上是增函数，给出下列判断：

①是周期函数；

②的图像关于直线x=1对称；

③在[0，1]上是增函数；④在[1，2]上是减函数；

⑤

其中正确的命题是

。参考答案：①②⑤略13.已知（1+ax）3,=1+10x+bx3+…+a3x3,则b= .参考答案：解析：因为∴

.解得14.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．

参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出几何体的直观图，然后利用三视图的数据求解几何体的体积即可．解：由图知此几何体为边长为2的正方体裁去一个三棱锥（如右图），所以此几何体的体积为：2×=．故答案为：．点评：本题考查几何体的三视图与直观图的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

15.已知向量满足，则___________.参考答案：-116.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=______参考答案：-1617.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第10行第3个数字是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点。（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角

Q-AP-D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由。参考答案：证明：（1）取PD中点M，连接MF，MA在ΔCPD中，F为PC的中点，∴MF平行且等于，正方形ABCD中E为AB中点，AE平行且等于，∴AE平行且等于MF，故：EFMA为平行四边形，∴EF∥AM

……2分又∵EF平面PAD，AM平面PAD∴EF∥平面PAD

……4分（2）如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系：，，，，由题易知平面PAD的法向量为，

……6分假设存在Q满足条件：设，，，，，设平面PAQ的法向量为，

……10分∴，由已知：解得：，所以：满足条件的Q存在，是EF中点。

……12分19.在极坐标系中，圆C的方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．参考答案：解：消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y=2x+1；圆C的方程，即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），得⊙C的直角坐标方程为：（x﹣1）2+（x﹣1）2=2，圆心C到直线l的距离，所以直线l和⊙C相交略20.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“M类函数”.（1）已知函数，试判断是否为“M类函数”？并说明理由；（2）设是定义在[－1,1]上的“M类函数”，求是实数m的最小值；（3）若为其定义域上的“M类函数”，求实数m的取值范围.参考答案：解：（1）由，得：所以所以存在满足所以函数是“类函数”，（2）因为是定义在上的“类函数”，所以存在实数满足，即方程在上有解.令则，因为在上递增，在上递减所以当或时，取最小值（3）由对恒成立，得因为若为其定义域上的“类函数”所以存在实数，满足①当时，，所以，所以因为函数（）是增函数，所以②当时，，所以，矛盾③当时，，所以，所以因为函数是减函数，所以综上所述，实数的取值范围是

21.已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．参考答案：解：（1）当k=0时，f（x）=1+lnx．因为f′（x）=，从而f′（1）=1．又f（1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0．

（2）证明：当k=5时，f（x）=lnx+﹣4．因为f′（x）=，从而当x∈（0，10），f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=10时，f（x）有极小值．

因f（10）=ln10﹣3＜0，f（1）=6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．因为f（e4）=4+﹣4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．从而f（x）有两个不同的零点．

（3）方法一：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立，即k＜对x∈（2，+∞）恒成立．令h（x）=，则h′（x）=．设v（x）=x﹣2lnx﹣4，则v′（x）=．当x∈（2，+∞）时，v′（x）＞0，所以v（x）在（2，+∞）为增函数．因为v（8）=8﹣2ln8﹣4=4﹣2ln8＜0，v（9）=5﹣2ln9＞0，所以存在x0∈（8，9），v（x0）=0，即x0﹣2lnx0﹣4=0．当x∈（2，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x=x0时，h（x）的最小值h（x0）=．因为lnx0=，所以h（x0）=∈（4，4.5）．故所求的整数k的最大值为4．

方法二：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立．f（x）=1+lnx﹣，f′（x）=．①当2k≤2，即k≤1时，f′（x）＞0对x∈（2，+∞）恒成立，所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．而f（2）=1+ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈（2，2k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=2k时，f（x）有最小值f（2k）=2+ln2k﹣k．从而f（x）＞0在x∈（2，+∞）恒成立，等价于2+ln2k﹣k＞0．令g（k）=2+ln2k﹣k，则g′（k）=＜0，从而g（k）在（1，+∞）为减函数．因为g（4）=ln8﹣2＞0，g（5）=ln10﹣3＜0，所以使2+ln2k﹣k＞0成立的最大正整数k=4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的解析式，求出导数和切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出k=5时f（x）的解析式和导数，求得单调区间和极小值，再由函数的零点存在定理可得（1，10）之间有一个零点，在（10，e4）之间有一个零点，即可得证；（3）方法一、运用参数分离，运用导数，判断单调性，求出右边函数的最小值即可；方法二、通过对k讨论，运用导数求出单调区间，求出f（x）的最小值，即可得到k的最大值为4．解答：解：（1）当k=0时，f（x）=1+lnx．因为f′（x）=，从而f′（1）=1．又f（1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0．

（2）证明：当k=5时，f（x）=lnx+﹣4．因为f′（x）=，从而当x∈（0，10），f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=10时，f（x）有极小值．

因f（10）=ln10﹣3＜0，f（1）=6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．因为f（e4）=4+﹣4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．从而f（x）有两个不同的零点．

（3）方法一：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立，即k＜对x∈（2，+∞）恒成立．令h（x）=，则h′（x）=．设v（x）=x﹣2lnx﹣4，则v′（x）=．当x∈（2，+∞）时，v′（x）＞0，所以v（x）在（2，+∞）为增函数．因为v（8）=8﹣2ln8﹣4=4﹣2ln8＜0，v（9）=5﹣2ln9＞0，所以存在x0∈（8，9），v（x0）=0，即x0﹣2lnx0﹣4=0．当x∈（2，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x=x0时，h（x）的最小值h（x0）=．因为lnx0=，所以h（x0）=∈（4，4.5）．故所求的整数k的最大值为4．

方法二：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立．f（x）=1+lnx﹣，f′（x）=．①当2k≤2，即k≤1时，f′（x）＞0对x∈（2，+∞）恒成立，所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．而f（2）=1+ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈（2，2k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=2k时，f（x）有最小值f（2k）=2+ln2k﹣k．从而f（x）＞0在x∈（2，+∞）恒成立，等价于2+ln2k﹣k＞0．令g（k）=2+ln2k﹣k，则g′（k）=＜0，从而g（k）在（1，+∞）为减函数．因为g（4）=ln8﹣2＞0，g（5）=ln10﹣3＜0，所以使2+ln2k﹣k＞0成立的最大正整数k=4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间及极值、最值，主要考查导数的