虚功原理和结构的位移计算

虚功原理和结构的位移计算§6-1概述§6-2实功与虚功§6-3广义力与广义位移§6-4变形体的虚功原理§6-5静定结构在荷载作用下的位移计算§6-6图乘法§6-7静定结构由于温度改变引起的位移计算§6-8静定结构由于支座移动引起的位移计算第六章虚功原理与结构的位移计算§6-10互等定理第2页,共60页，2024年2月25日，星期天二、位移产生的主要原因

1、荷载作用；

2、温度改变和材料胀缩；

3、支座沉降和制造误差等。一、结构的位移

1、线位移：

2、角位移：为什么要计算位移?三、本章位移计算假定

1、线弹性体；

2、小变形；叠加原理适用§6-1概述第3页,共60页，2024年2月25日，星期天四、计算位移目的铁路工程技术规范规定:1.刚度要求桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。2.超静定、动力和稳定计算3.施工要求在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；第4页,共60页，2024年2月25日，星期天建筑起拱将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。第5页,共60页，2024年2月25日，星期天实功：力在自身所产生的位移上所作的功。虚功：力在其它原因产生的位移上作的功。力在变形位移上所作的实功为：力在对应虚位移上所作的虚功为：§6-2实功与虚功d△OABP1P1ΔPΔ11P1注：的第一个下标表示位移的地点和方向，第二个下标表示产生位移的原因。第6页,共60页，2024年2月25日，星期天实功：ABP11P2虚功：力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。例如：例如：力在自身引起的位移上作的功。2第7页,共60页，2024年2月25日，星期天ABP11ABP22状态2状态1注意：虚功定义中的力状态与位移状态（1）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件；（3）位移状态与力状态完全无关。①②在研究虚功时,把作虚功的力P1和虚位移(P2引起的位移)分别绘在两个图上,并称为同一结构的两个状态。第8页,共60页，2024年2月25日，星期天一个力系作的总虚功T=S×

S---广义力;

---广义位移例:1)作虚功的力系为一个集中力2)作虚功的力系为一个集中力偶§6-3广义力与广义位移P①②①②第9页,共60页，2024年2月25日，星期天3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力PP①②①②第10页,共60页，2024年2月25日，星期天

刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是：对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。一、刚体体系的虚功原理虚功原理的应用：1）虚设位移求未知力（虚位移原理）2）虚设力系求位移（虚力原理）§6-4变形体的虚功原理Δ2Δ3Δ/2P即：第11页,共60页，2024年2月25日，星期天abABCP=1ABCab已知求虚功方程设虚力状态小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相应的支座反力。构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。虚设力系求刚体体系位移第12页,共60页，2024年2月25日，星期天二、变形体系的虚功原理说明：1.虚功原理里存在两个状态：1)力状态必须满足平衡条件；2)位移状态必须满足协调条件。2.原理适用于任何(线性和非线性)的变形体，适用于任何结构。3.原理应用:虚设力系求位移（虚力原理）原理的表述：体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。第13页,共60页，2024年2月25日，星期天位移状态2VAABPqM三、虚功方程VB给定位移状态2微段dS上内力的变形虚功为整个结构内力的变形虚功为虚功方程为N1N1+dN1V1V1+dV1↷M1↶M1+dM1dSdsdSd△2⌒dS⌒⌒

2

2dsdS虚设力状态1dS力状态1ABd

2HAdS虚功原理：状态1的外力在状态2的位移上所作的虚功,等于状态1各微段的内力在状态2相应微段变形上所作的虚功之和。第14页,共60页，2024年2月25日，星期天三、虚功方程当虚位移是一组力引起时，状态2的微段变形是由状态2相应内力引起的。由材料力学知识有：剪应力沿截面高度不是均匀分布，引入剪应力不均匀分布系数m，并将以上三式代入虚功方程（6-11），得：VAABPqMVBdSdSd△2⌒dS⌒⌒

2

2dsd

2dS（6-14）位移状态2注：在确定各内力表达式时，两个状态应取同一正负号规定。第15页,共60页，2024年2月25日，星期天Pq§6-5静定结构在荷载作用下的位移计算一、单位荷载法简支梁在荷载作用下发生如图虚线所示的变形，求其任一点i的全位移在某一方向的投影，应用虚功原理，假想的在欲求位移方向虚设一个单位力，建立一个虚设的力状态，原状态为实际位移状态。位移状态P力状态i由虚功方程，有：其中：第16页,共60页，2024年2月25日，星期天

为状态i中单位力P=1引起的弯矩、轴力和剪力。§6-5静定结构在荷载作用下的位移计算由虚功方程，可得：其中：其中：

为状态P中实际荷载引起的弯矩、轴力和剪力。

式（6-15）便是平面杆系结构位移计算的一般公式。若计算结果为正，表示所求位移△i与虚设的单位力Pi=1方向相同，反之反向。这种方法又称为单位荷载法。Pq位移状态P力状态i在确定各内力表达式时，两个状态应取同一正负号规定。第17页,共60页，2024年2月25日，星期天虚功原理应用举例[例6-1]:求图6-16a所示桁架结点C的竖向位移。各杆EA为常数且相等。解：为求C点的竖向位移，应在C点加一竖向单位力，建立虚设力状态。分别求结构在实际荷载与单位荷载作用下各杆的轴力第18页,共60页，2024年2月25日，星期天虚功原理应用举例[例6-1]:求图6-16a所示桁架结点C的竖向位移。各杆EA为常数且相等。根据虚功方程（6-15）式，得：计算结果为正，说明的实际位移方向与假设的单位力方向一致，即向下。第19页,共60页，2024年2月25日，星期天讨论一：1.梁和刚架：（6-16）2.桁架：（6-17）3.组合结构：（6-18）

在实际计算时，根据结构的具体情况,式（6-15）可以简化：第20页,共60页，2024年2月25日，星期天1.梁和刚架：（6-16）2.桁架：（6-17）3.组合结构：（6-18）讨论一:

在实际计算时，根据结构的具体情况,式（6-15）可以简化：§6-5静定结构在荷载作用下的位移计算第21页,共60页，2024年2月25日，星期天讨论二：在应用单位荷载法计算时，应根据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。（P107-表6-1）例如:

A求△AH实际状态P虚拟状态iA1

A求

A1虚拟状态iAA虚拟状态i虚拟状态iB求△AB11B

求

AB11

P第22页,共60页，2024年2月25日，星期天[例6-3]：求图示等截面梁B端转角。EI=常数。解：1）虚设单位荷载(力状态)MP（x1）=Px/2(0≤x1≤l/2)MP（x2）=P（l－x）/2

(l/2≤x2≤l)(0≤x≤l)2）MP须分段写M=1Pl/2l/2EIABx1x2第23页,共60页，2024年2月25日，星期天总结：3.位移计算步骤：1）虚设单位力状态;2）列两种状态的内力方程;3）按位移公式积分求位移。1.EI分段为常数则弯矩表达式应分段写。2.在同一区段内，和的表达式坐标原点应在同一位置。第24页,共60页，2024年2月25日，星期天练习：求图示刚架A点的竖向位移△AV。EI为常数。ABCqLLA`实际状态虚设力状态AB1解：1.虚设单位力状态xx选取坐标如图。则各杆弯矩方程为:AB段：BC段：2.实际状态中各杆弯矩方程为AB段：BC段：xx3.代入公式（6-16）得()第25页,共60页，2024年2月25日，星期天§6-6图乘法

在杆件数量多、荷载复杂的情况下,积分计算复杂。下面介绍计算位移的图乘法。刚架与梁的位移计算公式为：若在积分段内杆件为直杆：第26页,共60页，2024年2月25日，星期天一、图乘法公式的证明MP图xy形心C面积

ABOABMPdxd=MPdxxx0y0y0=x0tg

⌒即积分等于曲线图形的面积乘以其形心所对应的直线图形的纵标第27页,共60页，2024年2月25日，星期天1.必须符合上述图乘的三个条件；2.纵坐标值y0应从直线图形上取得；3.正负号：当两弯矩图在基线同侧取正，反之取负。三、应用图乘法的注意点：二、图乘法所满足的条件1.和两个弯矩图中至少有一个是直线图形（总是直线或折线）；2.杆轴为直线；3.杆件抗弯刚度EI为常数。第28页,共60页，2024年2月25日，星期天[例1]:求图示悬臂梁B点的竖向线位移，EI为常数。解：1）建立虚设状态，如图。2）分别作图和图3）进行图形相乘，则得：BABABABA第29页,共60页，2024年2月25日，星期天二次抛物线：ω=2hl/33l/4l/4二次抛物线：ω=hl/3顶点lh2l/3l/3ω=hl/2(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labh四、几种常见图形的面积及其形心位置h第30页,共60页，2024年2月25日，星期天5l/83l/8二次抛物线：ω=2hl/34l/5l/5h三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点注：图中所示抛物线均为标准抛物线，即顶点处的切线与基线平行。h顶点四、几种常见图形的面积及其形心位置第31页,共60页，2024年2月25日，星期天[例6-4]:求图6-24a所示简支梁跨中C点的竖向线位移，EI为常数。(P113)CBAq解：1）建立虚设状态，如图。CBA2）分别作图和图3）进行图形相乘，则得：当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（X）时，只能用积分法求位移；b）当分段为常数或均非直线时，应分段图乘再叠加；第32页,共60页，2024年2月25日，星期天[例6-5]:求图6-25a所示刚架支座D处的水平位移，E为常数。(P114)解：1）建立虚设状态，如图。2）分别作图和图3）进行图形相乘，则得：第33页,共60页，2024年2月25日，星期天1.必须符合上述图乘的三个条件；2.纵坐标值y0应从直线图形上取得；3.正负号：当两弯矩图在基线同侧取正，反之取负。三、应用图乘法的注意点：二、图乘法所满足的条件1.和两个弯矩图中至少有一个是直线图形（总是直线或折线）；2.杆轴为直线；3.杆件抗弯刚度EI为常数。复习:一、图乘法公式

第34页,共60页，2024年2月25日，星期天二次抛物线：ω=2hl/33l/4l/4二次抛物线：ω=hl/3顶点lh2l/3l/3ω=hl/2(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labh四、几种常见图形的面积及其形心位置h第35页,共60页，2024年2月25日，星期天5l/83l/8二次抛物线：ω=2hl/34l/5l/5h三次抛物线ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线ω=hl/(n+1)顶点顶点注：图中所示抛物线均为标准抛物线，即顶点处的切线与基线平行。h顶点四、几种常见图形的面积及其形心位置第36页,共60页，2024年2月25日，星期天求MPMi五、图乘法应用时的几种常见简化方式第37页,共60页，2024年2月25日，星期天求MPMi当两个图形均为直线图形时,取哪个图形的面积均可。第38页,共60页，2024年2月25日，星期天MP求

取y0的图形必须是直线,不能是曲线或折线.能用

Mi图面积乘MP图竖标吗?Mi第39页,共60页，2024年2月25日，星期天求MPMi第40页,共60页，2024年2月25日，星期天MPMi求第41页,共60页，2024年2月25日，星期天求C截面竖向位移MPMi第42页,共60页，2024年2月25日，星期天[例6-8]：图示梁EI

为常数，求C点竖向位移。l/2ql/2MP第43页,共60页，2024年2月25日，星期天l/2ql/2MP[例6-8]：图示梁EI

为常数，求C点竖向位移。第44页,共60页，2024年2月25日，星期天[例6-8]：图示梁EI

为常数，求C点竖向位移。l/2ql/2MP第45页,共60页，2024年2月25日，星期天例：试求等截面简支梁C截面的转角。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

ql/54l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51=第46页,共60页，2024年2月25日，星期天练习：求图示梁在已知荷载作用下，A截面的角位移，及C截面的竖向线位移。EI为常数。解：1）建立虚设状态，如图c)、d）；2）分别作荷载和单位力作用下的弯矩图；3）图乘：第47页,共60页，2024年2月25日，星期天练习：求图示梁在已知荷载作用下，A截面的角位移，及C截面的竖向线位移。EI为常数。第48页,共60页，2024年2月25日，星期天

杆件温度变化时，静定结构不会引起内力，但材料会发生膨胀和收缩，从而引起截面的应变，使结构产生变形和位移。BA上边缘温度上升，下边缘温度上升。§6-7静定结构由于温度改变引起的位移计算BA则由虚功原理(6-11)，有：（A）假设。第49页,共60页，2024年2月25日，星期天形心轴处的温度当时材料线膨胀系数，则微段的变形BA温度沿截面厚度为线性分布，变形后，截面保持为平面。温度变形包括沿轴线方向拉伸变形和截面转角。不产生剪切变形第50页,共60页，2024年2月25日，星期天将上式代入（A）式可得式(6-22)：正负号规定：轴力以拉为正，以温度升高为正

与引起的弯曲为同一方向时，其乘积为正；反之为负。对于直杆：则有：BA第51页,共60页，2024年2月25日，星期天一、位移计算公式a：材料的线膨胀系数。：杆件截面两侧的温度改变之差（计算时取绝对值）。如果，温度差，则只有轴力项。

：分别表示结构作用虚设单位力时的轴力和弯矩图的面积。t0：形心轴线处温度,当杆件截面对称于形心轴时，正负规定:实际温度变化引起的变形和虚拟单位力引起的变形相同取正，反之取负。第52页,共60页，2024年2月25日，星期天二、桁架，在温度改变时，其位移公式为：三、桁架装配误差，引起的位移计算公式，与温度变化时相似:

为虚设单位力状态中各杆轴力，以拉为正；为杆件的制造误差，伸长为正，缩短为负。第53页,共60页，2024年2月25日，星期天[例6-9]：求图示刚架K点的竖向位移。各杆截面相同，为矩形截面。第54页,共60页，2024年2月25日，星期天练习：求