2025版高考数学一轮总复习考点突破第7章立体几何第5讲空间向量及其运算考点1空间向量的线性运算

空间向量的线性运算1.(2024·湖南永州模拟)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(DA,\s\up6(→))＝a，eq\o(DC,\s\up6(→))＝b，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝c，P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1，CC1交于点E，F，且AE＝CF，则eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝－2a＋eq\f(1,2)c(用a，b，c表示)．[解析]由题意知AE綉CF，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－(a＋b)＋(b－a)＝－2a＋eq\f(1,2)c.2．(多选题)在四面体P－ABC中，以下说法正确的有(ABC)A．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))B．若Q为△ABC的重心，则eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))C．若四面体的各棱长都相等，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D．若四面体P－ABC各棱长都为2，M，H分别为PA，BC的中点，则|eq\o(MH,\s\up6(→))|＝1[解析]由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，A正确；连接AQ并延长交BC于H，则eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(PH,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PH,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，B正确；因为四面体P－ABC各棱长都相等，则|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，∠PBA＝∠PBC＝eq\f(π,3)，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＋|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|coseq\f(2π,3)＝0，C正确；若四面体P－ABC的棱长都为2，则eq\o(PA,\s\up6(→))、eq\o(PB,\s\up6(→))、eq\o(PC,\s\up6(→))两两夹角都为eq\f(π,3)，且|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝2.又eq\o(MH,\s\up6(→))＝eq\o(PH,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))∴|eq\o(MH,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,4)(|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))－2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(4＋4＋4＋4－4－4)＝2.∴|eq\o(MH,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，D错误．故选ABC.名师点拨：用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和所求向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．【变式训练】如图，空间四边形OABC中，M、N分别为OA、CB的中点，MG＝2GN，用向量eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))表示向量eq\o(OG,\s\up6(→))为(A)A.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))[解析]eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up6(→))，又M，N分别为OA、CB的中点，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq