2025版高考数学一轮总复习考点突破第8章平面解析几何第10讲圆锥曲线-定点定值探究性问题考点2定直线问题

定直线问题(2023·全国新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2eq\r(5)，0)，离心率为eq\r(5).(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．[解析](1)设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由焦点坐标可知c＝2eq\r(5)，则由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)可得a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝4，双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.(2)由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－eq\f(1,2)<m<eq\f(1,2)，与eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)>0，则y1＋y2＝eq\f(32m,4m2－1)，y1y2＝eq\f(48,4m2－1)，直线MA1的方程为y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，直线NA2的方程为y＝eq\f(y2,x2－2)(x－2)，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：eq\f(x＋2,x－2)＝eq\f(y2x1＋2,y1x2－2)＝eq\f(y2my1－2,y1my2－6)＝eq\f(my1y2－2y1＋y2＋2y1,my1y2－6y1)＝eq\f(m·\f(48,4m2－1)－2·\f(32m,4m2－1)＋2y1,m×\f(48,4m2－1)－6y1)＝eq\f(\f(－16m,4m2－1)＋2y1,\f(48m,4m2－1)－6y1)＝－eq\f(1,3)，由eq\f(x＋2,x－2)＝－eq\f(1,3)可得x＝－1，即xP＝－1，据此可得点P在定直线x＝－1上运动．名师点拨：求解定点、定直线问题常用的方法1．“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．2．“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．3．求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．【变式训练】(2024·山西大同调研)从双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，点A1，A2分别是双曲线的左、右顶点，点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)b))，且A2B∥OP，|F1A2|＝2＋eq\r(3).(1)求双曲线的方程；(2)过点(2eq\r(3)，0)作直线l分别交双曲线左右两支于C，D两点，直线A1C与直线A2D交于点M，证明：点M在定直线上．[解析](1)有题意可知Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，A2(a,0)，因为A2B∥OP，所以－eq\f(b2,ac)＝－eq\f(b,2a)，即c＝2b，所以a＝eq\r(3)b.因为|F1A2|＝2＋eq\r(3)，所以a＋c＝(2＋eq\r(3))b＝2＋eq\r(3)，所以b＝1，c＝2，a＝eq\r(3)所以双曲线的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线CD：x＝ty＋2eq\r(3)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－y2＝1，,x＝ty＋2\r(3)，))可得，(t2－3)y2＋4eq\r(3)ty＋9＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－3≠0，,Δ>0，,\f(9,t2－3)>0，))可得t>eq\r(3)或t<－eq\r(3).所以y1＋y2＝eq\f(－4\r(3)t,t2－3)，y1·y2＝eq\f(9,t2－3).直线A1C：y＝eq\f(y1,x1＋\r(3))(x＋eq\r(3))①直线A2D：y＝eq\f(y2,x2－\r(3))(x－eq\r(3))②y1·y2＝－eq\f(9,4\r(3)t)(y1＋y2)③由①÷②可得eq\f(x＋\r(3),x－\r(3))＝eq\f(y2x1＋\r(3),y1x2－\r(3))＝eq\f(y2ty1＋3\r(3),y1ty2＋\r(3))＝eq\f(ty1y2＋3