2025版高考数学一轮总复习考点突破第9章统计成对数据的统计分析第2讲成对数据的统计分析考点2回归分析

回归分析角度1一元线性回归模型1.(2024·河北邢台名校联盟期中)某商店的某款商品近5个月的月销售量y(单位：千瓶)如下表：第x个月12345月销售量y2.53.244.85.5若变量y和x之间具有线性相关关系，用最小二乘法建立的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则下列说法正确的是(AB)A．点(3,4)一定在经验回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76x＋eq\o(a,\s\up6(^))上B.eq\o(a,\s\up6(^))＝1.72C．相关系数r<0D．预计该款商品第6个月的销售量为7800瓶[解析]eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(2.5＋3.2＋4＋4.8＋5.5)＝4，样本点中心(3,4)一定在经验回归直线上，即4＝0.76×3＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(a,\s\up6(^))＝1.72，A、B正确；变量x与y成正相关，相关系数r>0，C错误；当x＝6时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.76×6＋1.72＝6.28，预计该款商品第6个月的销售量为6280瓶，D错误．2．(2023·河南安阳开学考)2022年6月某一周，“东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿元，数据统计如下表：第t天1234567交易额y/千万元y1y2y3y4y5y6y7(1)通过分析，发现可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系，请用相关系数(系数精确到0.01)加以说明；(2)利用最小二乘法建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.1)，并预测下一周的第一天(即第8天)的交易额．参考数据：eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝42.1，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝8.1，eq\r(7)≈2.65.参考公式：相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).在回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,t)\o\al(2,i)－n\x\to(t)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).[解析](1)因为eq\x\to(t)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝42.1，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝8.1，所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2))≈eq\f(42.1,2×2.65×8.1)≈0.98.因为交易额y与t的相关系数近似为0.98，说明交易额y与t具有很强的正线性相关关系，从而可用线性回归模型拟合交易额y与t的关系．(2)因为eq\x\to(y)＝eq\f(35,7)＝5，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝28，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(42.1,28)≈1.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈5－1.5×4＝－1，所以y关于t的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5t－1，将t＝8代入回归方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5×8－1＝11(千万元)＝1.1(亿元)，所以预测下一周的第一天的交易额为1.1亿元．名师点拨：一元回归模型问题的解法1．求经验回归方程：(1)利用公式，求最小二乘估计eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^)).(2)待定系数法：利用经验直线过样本点中心求系数．2．利用经验回归方程进行预测：把经验回归直线方程看作一次函数，求函数值．3．利用经验回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是最小二乘估计eq\o(b,\s\up6(^)).【变式训练】1．(多选题)(2024·辽宁十校联合体调研)对于变量x和变量y，通过随机抽样获得10个样本数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，10)，变量x和变量y具有较强的线性相关并利用最小二乘法获得回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋a，且样本中心点为(6,9.3)，则下列说法正确的是(BC)A．变量x和变量y呈正相关B．变量x和变量y的相关系数r<0C．a＝21.3D．样本数据(5,12)比(7,5)的残差绝对值大[解析]由于回归方程中x的系数为－2，故变量x和变量y呈负相关，且相关系数r<0，因此A选项错误，B选项正确；将(6,9.3)代入回归方程，解得a＝21.3，故C选项正确；eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋21.3样本数据(5,12)的残差为e1＝12－(－2×5＋21.3)＝0.7，样本数据(7,5)的残差为e2＝5－(－2×7＋21.3)＝－2.3，故|e1|<|e2|，因此D选项错误．故选BC.2．(2024·山东济南摸底)随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下：年份编号x12345年份20182019202020212022销售额y(单位：万元)1513146512021060860(1)由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于x的回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额．参考公式及数据：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\o(y,\s\up6(－))2))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，eq\i\su(i＝1,5,y)i＝6100，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝16589，eq\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2)≈1736.[解析](1)由已知数据可得，eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,y)i,5)＝eq\f(6100,5)＝1220，所以eq\i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝16589－5×3×1220＝－1711，所以，r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up6(－))2))≈eq\f(－1711,1736)≈－0.9856，因为|r|非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额y与年份编号x的关系．(2)由已知数据可得，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝12＋22＋32＋42＋52＝55，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(16589－5×3×1220,55－5×32)＝－171.1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝1220－(－171.1)×3＝1733.3，所以，y关于x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－171.1x＋1733.3，令x＝6，则eq\o(y,\s\up6(^))＝－171.1×6＋1733.3＝706.7(万元)，所以预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元．角度2一元非线性回归模型(2024·重庆七校开学考试)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．某数学建模小组为了获得茶水温度y℃关于时间x(min)的回归方程模型，通过实验做初步处理得到如图所示散点图．eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(w,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))73.53.85－95－2.24表中：wi＝ln(yi－25)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,w)i.(1)根据散点图判断，①y＝a＋bx与②y＝d·cx＋25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；(3)已知该茶水温度降至60℃口感最佳．根据(2)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？附：①对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))vi－\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－))；②参考数据：e－0.08≈0.92，e4.09≈60，ln7≈1.9，ln3≈1.1，ln2≈0.7.[解析](1)根据散点图，更适合的回归方程为y＝d·cx＋25.(2)由y＝d·cx＋25，可得y－25＝d·cx，两边取自然对数，得ln(y－25)＝lnd＋x·lnc，令w＝ln(y－25)，则w＝lnd＋x·lnc，计算，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,x)i＝3，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝28，则lnc＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))wi－\o(w,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(－2.24,28)＝－0.08，则c＝e－0.08≈0.92，由lnd＝eq\o(w,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))·lnc＝3.85－3×(－0.08)＝4.09，则d＝e4.09≈60，即茶水温度y关于时间x的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝60×0.92x＋25.(3)在25℃室温下，茶水温度降至60℃口感最佳，即eq\o(y,\s\up6(^))＝60时，0.92x＝eq\f(60－25,60)＝eq\f(7,12)，可得x·ln0.92＝lneq\f(7,12)＝ln7－2ln2－ln3≈－0.6，即x≈eq\f(－0.6,lne－0.08)＝eq\f(－0.6,－0.08)＝7.5，故在室温下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳引用口感．名师点拨：非线性相关问题一般通过换元法转化为线性相关(线性回归分析)问题解决．非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程常用方法(1)若y＝a＋beq