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文档简介
空间几何体建系策略建系的原则:关注图形对称性,使求解问题相关的元素尽可能多的落在坐标轴或坐标平面上,以便于确定点或向量的坐标,简化后续计算,注意构建右手系.建系的技巧:1.利用共点且两两垂直的三条直线建系(即“墙角”型)——分别以三条直线所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.当条件不明显时,要先证明过一点的三条直线两两垂直(即一个线面垂直+面内两条线垂直),这个过程不能省.建系后对坐标不易确定的点,通常是先设出所求点的坐标,再选取向量,利用向量关系解出变量的值来确定.常见类型:2.利用线面垂直关系建系——常以此直线或与此直线平行的直线为z轴,在垂面内找到x轴,y轴,建立空间直角坐标系.(面面垂直或知某点在平面内的射影转化为线面垂直问题)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2eq\r(2),PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.证明:PC⊥平面BED.[证明]由PA⊥底面ABCD知,可分别以AC、PA所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系,由题意知P(0,0,2),C(2eq\r(2),0,0),由PE=2EC知Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),3),0,\f(2,3))),设B(eq\r(2),-a,0),则eq\o(PC,\s\up6(→))=(2eq\r(2),0,-2),eq\o(BE,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3),a,\f(2,3))),eq\o(BD,\s\up6(→))=(0,2a,0),∴eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))=eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))=0,∴PC⊥BE,PC⊥BD,∴PC⊥平面BED.注:本题也可以分别以OC、OD所在直线为x轴、y轴建立空间直角坐标系,或分别以AB、PA所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系.3.利用正棱锥(或正棱台或正棱柱)底面中心和高所在直线建系;4.无线面垂直关系,但某一平面内有两条垂直直线——常以这两直线为两坐标轴建立空间直角坐标系.如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB=2,建立适当的坐标系并求出各点坐标.[解析]解法一:取AD中点O,连接BO,PO,∵PA=PD,∴PO⊥AD,∵BC綉OD,∴四边形BCDO为平行四边形,∴BO∥CD,∵CD⊥AD,∴BO⊥OD.如图,分别以OB,OD为x轴,y轴建立空间直角坐标系,则A(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,1,0),B(1,0,0),设P(x,y,z),由题意可知PA=PD=eq\r(2),PC=2,故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PA|=\r(2),,|PD|=\r(2),,|PC|=2,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y+12+z2=2,,x2+y-12+z2=2,,x-12+y-12+z2=4,))解得y=0,x=-eq\f(1,2),z=eq\f(\r(3),2),即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0,\f(\r(3),2))).解法二:由AD⊥平面POB知z轴⊂平面POB,又BC⊥平面POB,∴BC⊥PB,∴PB=eq\r(PC2-BC2)=eq\r(3),又OB=OP=1,∴∠BOP=120°,作PH⊥x轴于H,由∠POH=60°,知OH=eq\f(1,2),PH=eq\f(\r(3),2),∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),0,\f(\r(3),2))).名师点拨:坐标法的重难点是求点的坐标和利用向量公式运算,在求点的坐标过程中,有以下几种方法:1.作坐标轴(或坐标平面)的射影,直接找出横、纵、竖坐标;2.利用向量平行或相等进行转化;3.直接设点,找等量关系(线段长度,垂直关系)列方程组.【变式训练】如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE;(2)求EC1与B1C所成角的余弦值.[解析](1)证明:∵A1A⊥底面ABCD,∴A1A⊥AB,AA1⊥AD,又AB⊥AD,∴AB、AD、AA1两两垂直,如图建立空间直角坐标系由题意知B1(0,2,2),C1(1,2,1),C(1,0,1),E(0,1,0),∴eq\o(B1C1,\s\up6(→))=(1,0,-1),eq\o(CE,\s\up6(→))=(-1,1,-1),∴eq\o(B1C1,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))=0,∴B1C1⊥CE.(2)由(1)得:eq\o(EC1,\s\up6(→))=(1,1,1),eq\o(B1C,\s\up6(→))=(1,-2,-1),记EC1与B1C所成的角为θ,则cosθ=eq\f(
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