2025版高考数学一轮总复习知识梳理第10章计数原理概率随机变量及其分布第3讲随机事件的概率古典概型

第三讲随机事件的概率古典概型知识梳理知识点一随机事件的有关概念1．随机试验——对随机现象的实现和对它的观察．常用E表示．样本点——随机试验的每个可能的基本结果.常用w表示．样本空间——全体样本点的集合，常用Ω表示．2．随机事件——样本空间Ω的子集，简称事件，常用A，B，…表示．基本事件——只包含一个样本点的事件．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时称为事件A发生，Ω总会发生，称Ω为必然事件，∅在每次试验中都不会发生，称∅为不可能事件．知识点二事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A与事件B至少有一个发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A与事件B同时发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，且A∪B＝Ω知识点三古典概型1．概率——对随机事件发生可能性大小的度量(数值)．2．具有以下两个特征的试验称为古典试验，其数学模型称为古典概型．(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个.(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n).3．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)P(Ω)＝1，P(∅)＝0.(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B).P(AB)＝0.(4)如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).(5)如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．(6)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．知识点四频率与概率在任何确定次数的随机试验中，随机事件A发生的频率具有随机性．随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．称频率的这个性质为频率的稳定性，因此，可用频率fn(A)估计概率P(A)．归纳拓展1．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数．2．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数常用两个计数原理及排列、组合知识，另外还有列举法、列表法、树状图法等．4．当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)甲、乙二人比赛，甲胜的概率为eq\f(3,5)，则比赛5场，甲胜3场．(×)(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(×)(3)从市场上出售的标准为500±5g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(×)(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为eq\f(1,3).(√)(5)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(√)题组二走进教材2．(必修2P235例8)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为eq\f(5,6).[解析]掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).题组三走向高考3．(2022·全国高考甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(C)A.eq\f(1,5) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,5) D．eq\f(2,3)[解析]从6张卡片中无放回抽取2张，共有Ceq\o\al(2,6)＝15种情况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)6种情况，故概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故选C.4．(2021·全国高考)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(C)A．0.3 B．0.5C．0.6 D．0.8[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,5))＝0.6.故选C.5．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(D)A.eq\f(1,6) B．eq\f(