专升本高等数学一(多元函数积分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)

专升本高等数学一（多元函数积分学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题1．化二重积分f(x，y)dσ为极坐标下的二次积分，其中D：4≤x2+y2≤9，正确的是()A．∫02πdθ∫4θf(x，y)rdrB．∫02πdθ∫23f(x，y)rdrC．∫02πdθ∫23f(rcosθ，rsinθ)rdrD．∫02πdθ∫49f(rcosθ，rsinθ)rdr正确答案：C解析：该积分区域在极坐标系下可表示为：0≤θ≤2π，2≤r≤3，则该积分在极坐标系下为f(x，y)dσ=∫02πdθ∫23f(rcosθ，rsinθ)rdr，故选C．知识模块：多元函数积分学2．二次积分∫0dθ∫0cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成()A．B．C．D．正确答案：D解析：积分区域D为：0≤θ≤，0≤r≤cosθ，令x=rcosθ，y=rsinθ，则0≤x≤1，0≤x2+y2≤x，即0≤x≤1，0≤y≤，故二次积分可写成∫01dx，D也可表示为0≤y≤，故选D．知识模块：多元函数积分学3．若∫01dx∫x2xf(x，y)dy=∫01dy∫yφ(y)f(x，y)dx成立，则φ(y)=()A．y2B．yC．D．正确答案：C解析：积分区域D可表示为0≤x≤1，x2≤y≤x，也可表示为0≤y≤1，y≤x≤，故φ(y)=．知识模块：多元函数积分学4．设L为直线x+y=1上从点A(1，0)到B(0，1)的直线段，则∫L(x+y)dx—dy=()A．2B．1C．一1D．一2正确答案：D解析：用积分路径L可表示为：y=1一x，起点：x=1，终点：x=0，所以∫L(x+y)dx—dy=∫10dx+dx=－2．知识模块：多元函数积分学5．积与路径无关的是()A．∫L(x2+y2)dx+dyB．∫Lxdx+xydyC．∫Ldx+xydyD．∫Lydx+xdy正确答案：D解析：A项，=1，故选D．知识模块：多元函数积分学6．L为从点(0，0)经点(0，1)到点(1，1)的折线，则∫Lx2dy+ydx=()A．1B．2C．0D．一1正确答案：A解析：积分路径如图5—13所示，∫Lx2dy+ydx=x2dy+ydx+x2dy+ydx=0+∫01dx=1，故选A知识模块：多元函数积分学7．设曲线L的方程是x=acost，y=asint(a＞0，0≤t≤2π)，则曲线积分(x2+y2)nds=()A．2πa2nB．2πa2n＋1C．一πanD．πan正确答案：B解析：(x2+y2)nds=∫02π(a2)ndt=2πa2n＋1．知识模块：多元函数积分学填空题8．当函数f(x，y)在有界闭区域D上________时，f(x，y)在D上的二重积分必存在．正确答案：连续解析：由二重积分的定义和极限存在的定义可知，当函数f(x，y)在有界闭区域D上连续时，f(x，y)在D上的二重积分必存在．知识模块：多元函数积分学9．设区域D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1｝，则=________．正确答案：2解析：=2SD=2．知识模块：多元函数积分学10．若D是中心在原点、半径为a的圆形区域，则(x2+y2)2dσ=_______．正确答案：πa6解析：(x2+y2)2dσ=∫02πdθ∫0ar4．rdr=a6×2π=πa6．知识模块：多元函数积分学11．设D是由Y=，y=x，y=0所围成的第一象限部分，则=_______．正确答案：解析：由题意，该积分易于在极坐标系下计算，又积分区域D可表示为：于是有知识模块：多元函数积分学12．交换I=∫01dxf(x，y)dy的次序为I=________．正确答案：∫01dy∫0y2f(x，y)dx+∫12dyf(x，y)dx解析：由0≤x≤1，得区域D如图5—3所示，D由x=y2，(y一1)2+x2=1，x=0围成，改变积分次序后区域需分2块．D可表示为D1+D2=｛(x，y)｜0≤y≤1，0≤x≤y2｝+｛(x，y)｜1≤y≤2，0≤x≤｝，则知识模块：多元函数积分学13．设区域D由y轴与曲线x=cosy(其中所围成，则二重积分3x2sin2ydxdy=________．正确答案：解析：知识模块：多元函数积分学14．L为三顶点分别为(0，0)，(3，0)，(3，2)的三角形正向边界，则(2x—y+4)dx+(5y+3x一6)dy=_______．正确答案：12解析：如图5—14所示，(2x—Y+4)dx+(5y+3x一6)dy==∫03(2x+4)dx+∫02(5y＋3)dy+∫30xdx=21+16—25=12．知识模块：多元函数积分学15．设L为直线y=x一1上的点(1，0)到点(2，1)的直线段，则曲线积分∫L(x—y+2)ds=_______．正确答案：解析：∫L(x—y+2)ds=∫12(x一(x一1)+2)．知识模块：多元函数积分学解答题16．计算∫0πdydx．正确答案：积分区域又可表示为｛(x，y)｜0≤x≤，0≤y≤x2｝，则涉及知识点：多元函数积分学17．求，其中D由y=和y=x2围成．正确答案：如图5—4所示，区域D：0≤x≤1，x2≤y≤，故涉及知识点：多元函数积分学18．计算y2exydσ，其中D：0≤x≤1，0≤y≤1．正确答案：由题意可知y2exydσ=∫01dy∫01y2exydx=∫01(yey－y)dy=．涉及知识点：多元函数积分学19．求，其中D：0≤y≤x，0≤x≤．正确答案：根据被积函数的特点，选择先对y积分．区域D可表示为：｛(x，y)｜0≤x≤，0≤y≤x｝，．涉及知识点：多元函数积分学20．计算，其中D：4≤x2+y2≤9．正确答案：=∫02π(ln3－ln2)dθ=2πln．涉及知识点：多元函数积分学21．计算∫12dx．正确答案：由于作为y的函数，其原函数不能用初等函数表示，因此交换积分次序．区域D由直线y=x，x=1，x=4，y=2及抛物线y=所围成，如图5-7阴影部分所示，因此区域D可以写为D=｛(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤y2｝，故∫12dx＋∫24dx=∫12dy∫yy2=∫12=(2+π)．涉及知识点：多元函数积分学22．计算二重积分，D：x2+y2≤R2，0≤y≤x，x≥0．正确答案：选择极坐标系计算，区域D的表示式为涉及知识点：多元函数积分学23．求，其中D是顶点分别为(0，0)，(π，0)及(π，π)的三角形区域．正确答案：如图5—10所示区域D：0≤x≤π，0≤y≤x，故xsin(x+y)dσ=∫0πdx∫0xxsin(x+y)dy=∫0π(xcosx－xcos2x)dx=(xsinx＋cosx—cos2x)｜0π=一2．涉及知识点：多元函数积分学24．计算x3dy—y3dx，其中L为x2＋y2=a2顺时针方向．正确答案：L为顺时针方向，即为反向，故x3dy—y3dx=一=－3x2一(一y2)dxdy=一3∫02πdθ∫0ar2．rdr=．涉及知识点：多元函数积分学25．计算对坐标的曲线积分I=∫L(x2+y)dx+(x－siny)dy，其中L是圆周y=上由点(0，0)到点(1，1)的一段弧．正确答案：P=x2+y，Q=x—siny，因为，所以曲线积分与路径无关，故可选择从(0，0)→(1，0)→(1，1)，则I=∫L(x2+y)dx+(x—siny)dy=∫01x2dx+∫01(1－siny)dy=+1+cosy｜01=＋cos1．涉及知识点：多元函数积分学26．求曲线积分，其中L为如图5—1所示的闭路OAB，是