人教版高中数学《导数》全部教案

导教的背景（5月4日）

教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义

教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本

教学难点极限思想

教学过程

一、导入新课

1.瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？

析：大家知道，自由落体的运动公式是5=3g产（其中g是重力加速度）.

当时间增量△"艮小时，从3秒到（3+加）秒这段时间内，小球下落的快慢

变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时

的速度.

从3秒到（3+4）秒这段时间内位移的增量：

△s=.y（3+加）-s（3）=4.9（3+Ar）2-4.9x32=29.4加+4.9（Ar）2

-一Av

从而,u=——=29.4+4.9加.

从上式可以看出，山越小，包越接近29.4米/秒；当。无限趋近于0时，—

NtAr

无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当加趋向于0时，竺的极限是29.4.

△t

当加趋向于0时，平均速度竺的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做

△t

瞬时速度.

一般地，设物体的运动规律是s=s（t）,则物体在t到（t+4）这段时间

内的平均速度为竺=+加）-s（f）.如果加无限趋近于0时，包无限趋近于

ArAz加

某个常数a,就说当&趋向于0时，空的极限为a,这时a就是物体在时刻t

Ar

的瞬时速度.

2.切线的斜率

问题2：P（1,1）是曲线y=一上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点

Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.

析：设点Q的横坐标为1+Ar,则点Q的纵坐标为(l+Ar)2,点Q对于点P

的纵坐标的增量(即函数的增量)Ay=(l+Ax)2-l=2AA+(Ac)2,

所以，割线PQ的斜率kpQ=9=2—+(A6=2+Ax.

ArAr

由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，Ax变得越来越小，却°越来

越接近2；当点Q无限接近于点P时，即Ax无限趋近于。时，如。无限趋近于

2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫

做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切线的方程为：y=2x-l.

一般地，已知函数y=/(x)的图象是曲线C,P(x0,y0),Q(x0+Ax,y0+Ay)

是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.

当点Q沿着曲线无限接近点P,即Av趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一

个极限位置PT,那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜

率仁0=包无限趋近于切线PT的斜率k,也就是说，当Ax趋向于0时，割线

PQ的斜率k=—的极限为k.

Ax

3.边际成本

问题3：设成本为C,产量为q,成本与产量的函数关系式为C(q)=3/+10,我

们来研究当q=50时，产量变化的对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：

AC=C(50+Aq)-C(50)=3(50+A^)2+10-(3x502+10)=300M+3(A^)2.

产量变化Aq对成本的影响可用：生=300+3Aq来刻划，越小，些越接近

NqAq

300；当的无限趋近于0时，任无限趋近于300,我们就说当的趋向于0时,

△q

—的极限是300.

△q

我们把生的极限300叫做当q=50时C(q)=3/+10的边际成本.

△q

一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C=C（q）,

当产量为外时，产量变化人对成本的影响可用增量比更=c（q。+:幻一a%）

△qbq

刻划.如果M无限趋近于0时，些无限趋近于常数A,经济学上称A为边际

△q

成本.它表明当产量为4。时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本

的一个近似值）.

二、小结

瞬时速度是平均速度空当山趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，

△f

切线的斜率是割线斜率8当Ar趋近于0时的极限；边际成本是平均成本更当

Ax

△q趋近于0时的极限.

三、练习与作业：

1.某物体的运动方程为5。）=5/（位移单位：m,时间单位：s）求它在t=2s

时的速度.

2.判断曲线y=2/在点p（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

3.已知成本C与产量q的函数关系式为C=2/+5,求当产量q=80时的边际

成本.

4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单

位：s）之间的函数关系为=求t=4s时此球在垂直方向的瞬时速度.

5.判断曲线y=在（1,；）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.

6.已知成本C与产量q的函数关系为C=4/+7,求当产量q=30时的边际成

本.

导数的概念（5具4日）

教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念以及求导数

教学难点：导数的概念

教学过程：

一、导入新课：

上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函

数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出

下面导数的概念。

二、新授课：

1.设函数y=/（x）在x=x0处附近有定义，当自变量在x=x0处有增量醺时，则函数

Y=/（x）相应地有增量△>=/（/+Ac）-/（X。），如果Ax70时，Ay与Ar的比丝（也

Ax

叫函数的平均变化率）有极限即电无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数

Ax

y=/（x）在xfx（）处的导数，记作）即

/(x+Ax)-/(x)

/5)=lim00

Ax

注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，Ar趋近于0可正、可负、但不为0,而Ay可能为0。

3.”是函数y=/（x）对自变量x在Ax范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线

Ax

y=/（x）上点（％0，/（占）））及点（x0+Ax,/（xo+Ax））的割线斜率。

4.导数（X。）=lim/（尤0+&）一）（“°）是函数＞=〃x）在点x的处瞬时变化率，

-Ax

它反映的函数y=/（x）在点/处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=/（x）上

点（Xo，/（x（）））处的切线的斜率。因此，如果）=/1）在点X。可导，则曲线），=/（x）

/

在点（%,/（》0））处的切线方程为y-/Oo）=/（x0）（x-x0）o

5.导数是一个局部概念，它只与函数y=/（x）在与及其附近的函数值有关，与Ac无关。

6.在定义式中，设x=x（）+Ax,则Ax=x-Xo，当Ax趋近于0时，x趋近于x（）,因

此，导数的定义式可写成『（%）=Hm。

AXxf%x-x0

7.若极限lim"0+A'1―/（人）不存在,则称函数＞="x）在点x0处不可导。

-Ax

8.若/（x）在/可导，则曲线y=/（x）在点（x。,/。。））有切线存在。反之不然，若曲

线＞=/*）在点（/，/（/））有切线，函数y=/（x）在与不一定可导，并且，若函数

y=/（x）在X。不可导，曲线在点（》0，/。0））也可能有切线。

一般地，lim（a+bAx）=a,其中a力为常数。

Ar-＞0

特别地，lima=a

A10o

如果函数y=/（x）在开区间（。/）内的每点处都有导数，此时对于每一个X£（〃/）,都

对应着一个确定的导数//（X）,从而构成了一个新的函数//（X）。称这个函数//（X）为函

数y=/（x）在开区间内的导函数，简称导数，也可记作V，即

f'^=y'=lim包=lim/（》+一）一『（、）

加TOAx-Ax

函数y=/0）在/处的导数y]*=与就是函数＞=/（x）在开区间（a,b）（xe（a,b））上导

数/'（x）在x0处的函数值，即）[皿。=//（/）。所以函数y=/（x）在/处的导数也记作

八0）。

注：1.如果函数y=/（x）在开区间（a,6）内每一点都有导数，则称函数y=/（x）在开区间

(a,b)内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求•个函数的导数，就是求导函数；求一

个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数y=/(x)在点与处

的导数就是导函数//(X)在点人的函数值。

3.求导函数时，只需将求导数式中的与换成x就可，即/(x)=口3'Q及二/®

4.由导数的定义可知，求函数y=/(x)的导数的一般方法是：

(1).求函数的改变量△》=/(x+Ax)-/(%)»

(2).求平均变化率"=八x+Ax)一■/⑴。

AxAx

(3)•取极限，得导数;/=lim电。

A—。A%

例1.求y=2，—1在x=-3处的导数。

例2.已知函数y=x2+x

(1)求。

(2)求函数y=/+x在x=2处的导数。

小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。

练习与作业：

1.求下列函数的导数：

(1)y=3x-4；(2)y=l-2x

(3)y=3x2-12x(3)y=5-x3

2.求函数y=1+1在一1,0,i处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数:

1,八

2

(1)y=x,x0=2；(2)y=—x,x0—0；

22

⑶y=(x-2),x0=1(4)y=x-x,x0=-l.

4.求下列函数的导数:

(1)y=4x+1;(2)y=\0-x2；

(3)y-2x3-3x;(4)y=2x2+7o

5.求函数y=——2x在一2,0,2处的导数。

导致的概念习题课(5月6日)

教学目标理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则

教学重点导数的概念及求导法则

教学难点导数的概念

一、课前预习

l./(x)在点/处的导数是函数值的改变量_____________________与相应自变量的改变

量—的商当_____________________________

2.若/(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数//(x),称//(X)为函数/(x)的导函数；求

一个函数的导数，就是求；求一个函数在给定点的导数，就是求.函

数/(x)在点/处的导数就是.

3.常数函数和塞函数的求导公式：(。)，=—(£')/=(〃eN*)

4.导数运算法则：若,则：

"(x)±g(x)Y=//(x)士g/(x)=cf\x)

二、举例

例L设函数/(乃=/一1,求:

(1)当自变量x由1变到1」时，自变量的增量Ax；

(2)当自变量x由1变到1.1时，函数的增量Ay；

(3)当自变量x山1变到1.1时,函数的平均变化率；

(4)函数在x=l处的变化率.

例2.生产某种产品q个单位时成本函数为C(q)=200+0.05q2,求

(1)生产90个单位该产品时的平均成本；

(2)生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率；

(3)生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少.

例3.已知函数/(x)=/,由定义求/lx),并求/，(4).

例4.已知函数f(x)=(ax+b)2(a,b为常数)，求『(x).

3,

例5.曲线y=-x2上哪一点的切线与直线y=3x-1平行？

三、巩固练习

1.若函数则"(—2)]/=

2.如果函数y=/(x)在点X。处的导数分别为：

/z

⑴/(xo)=O(2)/(x0)=l

/

⑶/(x0)=-l(4)f'(x0)=2,

试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角.

3.已知函数/(x)=x—21,求//(0),//(,)，.

4.求下列函数的导数

1一

(1)y——x7+3x+2(2)y=-—+5x—1

243

(3)y-x3(x2-4)(4)y=(2X-1)2(3X+2)

四、作业

1.若lim/(x)存在，则［lim/(x)Y=

x->0xfO

2.若/(x)=/,则lim-±)一/⑴=______________________

Hx-1

3.求下列函数的导数：

(1)y=2x4-20x2-40x+l(2)y=3+2x+4x2-5x3--x4

(3)y=(2x3+l)(3x2+x)(4)y=(x+2)2(x-l)3

4.某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数，BPC（x）=1000+7x+5x2,试求:

（1）当日产量为100时的平均成本；

（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本；

（3）当日产量为100时的边际成本.

5.设电量与时间的函数关系为。=2/+3f+l,求t=3s时的电流强度.

6.设质点的运动方程是s=3产+2,+1,计算从t=2到t=2+4之间的平均速度，并计算

当&=0.1时的平均速度，再计算t=2时的瞬时速度.

3

7.若曲线y=］，+1的切线垂直于直线2x+6y+3=0,试求这条切线的方程.

8.在抛物线y=2+x-/上，哪一点的切线处于下述位置？

（1）与x轴平行

（2）平行于第一象限角的平分线.

（3）与x轴相交成45°角

9.已知曲线y=2x—/上有两点A（2,0）,B（1,1）,求：

（1）割线AB的斜率左.；（2）过点A的切线的斜率的r；

（3）点A处的切线的方程.

10.在抛物线y=/上依次取M(1,1),N(3,9)两点，作过这两点的割线，问：抛物线上

哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.

11.已知一气球的半径以10cm/s的速度增长，求半径为10cm时，该气球的体积与表面积的

增长速度.

12.一长方形两边长分别用x与y表示，如果x以0.01m/s的速度减小，y边以0.02m/s的速

度增加，求在x=20m,y=15m时，长方形面积的变化率.

13.(选做)证明：过曲线盯=/上的任何一点(%,比)(x0>0)的切线与两坐标轴围

成的三角形面积是一个常数.(提示：(』)/=-1)

XX

导教的应用习题课(5月8日)

教学目标掌握导数的儿何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值

教学重点多项式函数的单调区间、极值、最值的求法

教学难点多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用

一、课前预习

1.设函数y=/(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内,则y=/(x)是这个

区间内的；如果在这个区间内,则y=/(x)是这个区间内的.

2.设函数y=/*)在x=x0及其附近有定义，如果/(%)的值比与附近所有各点的值都大

(小)，则称/(/)是函数V=/(x)的一个.

3.如果y=/(x)在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：

(1)求导数；(2)求方程的根(可能极值点);

(3)如果在根的左侧附近为右侧附近为则函数y=/(x)在这个根处取得极—值；

如果在根的左侧附近为_,右侧附近为则函数y=/(x)在这个根处取得极—值.

4.设y=/(x)是定义在［a,b］上的函数，y=/(x)在(a,b)内有导数，可以这样求最值:

（1）求出函数在（a,b）内的可能极值点（即方程/。）=0在（a,b）内的根匹应,…,x.）；

（2）比较函数值/（。），/S）与/区）,/（々）,…J（x„），其中最大的一个为最大值，最

小的一个为最小值.

二、举例

例1.确定函数/（均=2/一9/+12》一3的单调区间.

3

例2.设一质点的运动速度是v（r）=；〃—7J+15.2+3,问：从t=0至h=10这段时间内，

运动速度的改变情况怎样？

例3.求函数/*）=卜3—9x+4的极值.

1,1,

例4.设函数/（x）~~ax3+］bx~+x在无］=1与9=2处取得极值，试确定a和b的值,

并问此时函数在七与芍处是取极大值还是极小值?

例5.求函数/（x）=3》3—9x+5在［-2,2］上的最大值和最小值.

例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d的圆木锯成强度

最大的横梁，断面的宽和高应为多少？

例7.求内接于抛物线)，=1-/与x轴所围图形内的最大矩形的面积.

例8.某种产品的总成本C(单位：万元)是产量x(单位：万件)的函数：

C(x)=100+6x-0.04x2+0.02x3,试问：当生产水平为x=10万件时，从降低单

位成本角度看，继续提高产量是否得当？

三、巩固练习

1.若函数/(x)在区间［a,bj内恒有/'(x)<0,则此函数在［a,b］上的最小值是

2.曲线y=4/+!/一1一-x+1的极值点是___________________________

432

3.设函数/(x)=a/-(ax)2-内一。在x=l处取得极大值—2,贝I1a=.

4.求下列函数的单调区间：

(1)y=2x3+3x2-12x+l(2)y=(x+l)2(x+2)

5.求下列函数的极值：

(1)y=x2-4x+6,(2)y=x3-3x2-9x+5,［—4,4］

6.求下列函数的最值：

(1)y=乂2-4X+6,[-3,10](2)y^x3-3x2,[-1,4]

7.设某企业每季度生产某个产品q个单位时，总成本函数为C(q)=a/—6/+”，(其中

a>0,b>0,c>0),求：(1)使平均成本最小的产量(2)最小平均成本及相应的边际成

本.

8•一个企业生产某种产品，每批生产q单位时的总成本为C(q)=3+q(单位：百