324528719、微专题：例析辅助角公式的推导、理解及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：例析辅助角公式的推导、理解及其应用在现行的高中数学教材与高考试题中，大凡涉及“三角变换”、“研究三角函数性质”的试题，往往会化归为“将化为的形式”问题，这就是与传统的“辅助角公式”相关；本文，欲结合教材与高考试题，就“辅助角公式”与教材的相关、公式的推导与理解以及公式的应用，举例加以说明。一、“辅助角公式”与教材的相关在现行的高中数学教材中，“辅助角公式”通常是以：掌握与理解两角和、差的正弦、余弦公式并进行三角变换的“例题”形式出现；有些教材边上会注解：可以作为公式使用；现行上海高级中学教材高一第二学期课本（试用本），第69页，则以“例题”形式出现：例14把下列各式化为的形式：（1）略；（2）略；（3）（、都不为）二、“辅助角公式”的推导与理解提及“辅助角公式”的推导，其本质是：以两角和、差的正弦、余弦公式为目标，结合了三角比的定义、有界性与同角三角比中的平方关系，整合了“已知三角比求角”。现咱们不妨来体验一下：方法1、【分析】【解析】【说明】方法2、【分析】【解析】【说明】综上，“辅助角公式”就是将代数式“”变换为“一个角的一个三角比”，即：（1）；（2）；其中，辅助角的确定，结合以上推导，应关注推导过程中“目标”的参照这一“细节”；然后，整合“已知角的正弦、余弦三角比，求角”的问题，解之；当然，为了应试与借助以后的“反三角函数”，亦可等价解之；如：条件“”等价为“由、的正负确定角终边上点的象限，由确定角的具体值”；同理，请同学们自己体验条件“”的等价。三、“辅助角公式”的应用经历了以上对于“辅助角公式”的推导与理解，我们不难发现，在求含三角比的代数式的取值范围、最值；研究与探究实三角函数的定义域、值域、最值、周期性、单调性与图像的对称性时；“辅助角公式”往往会整合同角三角比关系式、三角比的和、差、倍角、半角公式等，先进行三角变换，为进一步研究做好准备；也可以这样说，学生在应试三角题时，出现“错误”或“失误”，就是“辅助角公式”没化好。现不妨举例，“辅助角公式”在数学高考中的应用。题型1“辅助角公式”与研究三角函数的性质先利用“辅助角公式”进行三角变换，目标：化为“一个角的一个三角比”，然后，借助三个“最简单”的三角函数性质解之。例1、若函数的最大值为5，则常数例2、设常数，函数；（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间，上的解。例3、设函数；（1）已知，函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域；例4、若在是减函数，则的最大值是（）A． B． C． D．题型2“辅助角公式”与研究三角函数的图像先利用“辅助角公式”进行三角变换，目标：化为“一个角的一个三角比”，然后，依据“两个”三角函数解析式之间的联系解之。例5、若将函数的图像向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）A．B．C．D．题型3“辅助角公式”与解三角形交汇这类问题，通常先利用“辅助角公式”进行三角变换，，然后，结合三角形中“角的限制条件”，依据“两个”三角函数的性质解之。例6、三角形的内角，，的对边分别为，，，设;（1）求；（2）若，求：。综上，“辅助角公式”源于“两角和、差的正弦、余弦公式”的进一步三角变换；是研究三角函数的性质与图像的“关键步骤”，是完整解答三角函数综合题的“必须的中间步骤”；所以，我们得结合教材，了解“辅助角公式”的推导过程，理解利用“辅助角公式”进行三角变换的目标，用好“辅助角公式”解答三角函数的综合题。【教师版】微专题：例析辅助角公式的推导、理解及其应用在现行的高中数学教材与高考试题中，大凡涉及“三角变换”、“研究三角函数性质”的试题，往往会化归为“将化为的形式”问题，这就是与传统的“辅助角公式”相关；本文，欲结合教材与高考试题，就“辅助角公式”与教材的相关、公式的推导与理解以及公式的应用，举例加以说明。一、“辅助角公式”与教材的相关在现行的高中数学教材中，“辅助角公式”通常是以：掌握与理解两角和、差的正弦、余弦公式并进行三角变换的“例题”形式出现；有些教材边上会注解：可以作为公式使用；现行上海高级中学教材高一第二学期课本（试用本），第69页，则以“例题”形式出现：例14把下列各式化为的形式：（1）略；（2）略；（3）（、都不为）二、“辅助角公式”的推导与理解提及“辅助角公式”的推导，其本质是：以两角和、差的正弦、余弦公式为目标，结合了三角比的定义、有界性与同角三角比中的平方关系，整合了“已知三角比求角”。现咱们不妨来体验一下：方法1、【分析】目标“”，注意；【解析】由，不妨设,可得：，即，其中，通常取，由确定；【说明】本推导方法以“”为目标，由,故可看作同一个角的正余弦（称为辅助角），最终利用两角和的正弦公式进行合角：，即化为：一个角“”的，一个“正弦比”。方法2、【分析】目标“”，注意；【解析】由，不妨设,可得：，即，其中，通常取由确定；【说明】本推导方法以“”为目标，由,故可看作同一个角的正余弦（称为辅助角），最终利用两角差的余弦公式进行合角：，即化为：一个角“”的，一个“余弦比”。与【方法1】比较，有“三变”：1、目标“变”；2、角“变”；3、三角比名称“变”。综上，“辅助角公式”就是将代数式“”变换为“一个角的一个三角比”，即：（1）；（2）；其中，辅助角的确定，结合以上推导，应关注推导过程中“目标”的参照这一“细节”；然后，整合“已知角的正弦、余弦三角比，求角”的问题，解之；当然，为了应试与借助以后的“反三角函数”，亦可等价解之；如：条件“”等价为“由、的正负确定角终边上点的象限，由确定角的具体值”；同理，请同学们自己体验条件“”的等价。三、“辅助角公式”的应用经历了以上对于“辅助角公式”的推导与理解，我们不难发现，在求含三角比的代数式的取值范围、最值；研究与探究实三角函数的定义域、值域、最值、周期性、单调性与图像的对称性时；“辅助角公式”往往会整合同角三角比关系式、三角比的和、差、倍角、半角公式等，先进行三角变换，为进一步研究做好准备；也可以这样说，学生在应试三角题时，出现“错误”或“失误”，就是“辅助角公式”没化好。现不妨举例，“辅助角公式”在数学高考中的应用。题型1“辅助角公式”与研究三角函数的性质先利用“辅助角公式”进行三角变换，目标：化为“一个角的一个三角比”，然后，借助三个“最简单”的三角函数性质解之。例1、若函数的最大值为5，则常数【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的最大值为5，求得的值；【解析】答案：；由于函数，其中，，，故的最大值为，所以，；【说明】本题（2016年上海市高考数学试卷（文科）第5题）本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题。例2、设常数，函数；（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间，上的解。【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出的值，再根据“辅助角公式”化简，再三角形函数的性质即可求出；【解析】（1）因为，所以，又因为为偶函数，所以，即，则，所以，；（2）因为，所以，则，所以，又因为，所以，则，所以，或，，即，或，，；又因为，，所以，或或或；【说明】本题（2018年上海市高考数学试卷第18题）考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质；其中，“辅助角公式”就是中间的关键步骤。例3、设函数；（1）已知，函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域；【分析】（1）由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；（2）首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可；【解析】（1）由题意结合函数的解析式可得：，函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为；（2）由函数的解析式可得：，据此可得函数的值域为：；【说明】本题（2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学第18题）主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，关键是用好“辅助角公式”，保障三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。例4、若在是减函数，则的最大值是（）A． B． C． D．【分析】注意：先利用“辅助角公式”进行化简，然后结合三角函数的性质；【解析】答案：A由，且函数在区间上单调递减，则由，得，因为在上是减函数，所以，解得；【说明】本题（2018全国卷Ⅱ）主要是考查利用“辅助角公式”进行三角变换，然后利用余弦函数的性质，结合选择题的特点，建立关于的不等式解之。题型2“辅助角公式”与研究三角函数的图像先利用“辅助角公式”进行三角变换，目标：化为“一个角的一个三角比”，然后，依据“两个”三角函数解析式之间的联系解之。例5、若将函数的图像向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（）A．B．C．D．【分析】注意：先利用“辅助角公式”进行化简，然后结合“最简单”的三角函数的性质与图像特征；【解析】答案：C；由，将函数的图象向右平移个单位得，由该函数为偶函数可知，即，所以的最小正值是为；【说明】本题(2014安徽）就是考查利用“辅助角公式”进行三角变换，然后，借助余弦函数为“偶函数”并整合“代换法”解之。题型3“辅助角公式”与解三角形交汇这类问题，通常先利用“辅助角公式”进行三角变换，，然后，结合三角形中“角的限制条件”，依据“两个”三角函数的性质解之。例6、三角形的内角，，的对边分别为，，，设;（1）求；（2）若，求：。【分析】（1）用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果；（2）利用正弦定理可得，利用、再利用“辅助角公式”化简关于和的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果；【解析】（1），即：，由正弦定理可得：，所以，因为，所以；（2）方法一：因为，由正弦定理得：，又，，所以整理可得：，因为，所以，解得：或，因为，所以，故；（2）方法二：因为，由正弦定理得：，又，，所以整理可得：，即，所以，由，所以，；【说明】本题（2019年高考全国Ⅰ卷理数）本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到“辅助角公式”、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用