北京人大附中2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷含答案解析

北京人大附中2019-2020学年九年级（上）期末数学

试卷含答案解析

一.选择题（共8小题）

1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成.这四个图案中既是轴对称

图形，又是中心对称图形的是（）

A.据卷©⑥

2.将抛物线y=x向左平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为()

A.y=%+2B.y=x-2C.y=(;?+2)2D.y=(x-2)2

3.在△板'中，ZC=90°，以点8为圆心,以优长为半径作圆,点/与该圆的位置关系

为（）

A.点4在圆外B.点/在圆内C.点/在圆上D.无法确定

4.抛物线尸2¥+4x-4的对称轴是（)

A.直线x=-1B.直线x=lC.直线x=2D.直线x=-2

5.如图，在。。中,点C是AB上一点,若NZ必=126°,则NC的度数为（）

C.63°D,54°

6.二次函数刀=2¥+无汁<?与一次函数为=3比n的图象如图所示，则满足a『+Z>x+c>yax+A

D.0VxV3

7.如图，以口为直径的。0与弦曲相交于点瓦且4a2,AE=M，CE=\.则而的长

是（）

8.已知一个二次函数图象经过a（-3,%）,R（-1,为），R（1,%），A（3,%）四点，

若再＜为＜%,则K,为，y-i,%的最值情况是（）

A.%最小，最大B.与最小，%最大

C.力最小，%最大D.无法确定

二.填空题（共8小题）

9.点尸（2,-3）关于原点的对称点户的坐标为.

10.请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0,2）的抛物线的表达式：.

11.如图，四边形般力内接于。0,£为切延长线上一点.若NA110。，则N4出的度

12.在平面直角坐标系x0中，函数7=/的图象经过点〃（为，/1）,NCx2,为）两点，若

-2Vxi＜0,2〈生＜4,则力y2.（用”或号连接）

13.如图，PA,所分别与。。相切于48两点，点。为劣弧也上任意一点，过点。的切

线分别交仍在于〃，£两点.若如-8,则△核'的周长为.

14.如图，在平面直角坐标系x0中，如可以看作是△（?5经过若干次图形的变化（平

移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△况。得到物的过程：.

15.如图，在平面直角坐标系批中，抛物线尸aJ+bx+c与x轴交于（1,0）,（3,0）两

点，请写出一个满足y<0的x的值.

16.如图，。。的动弦四，5相交于点£,且AB=CD,ZBED=a（0°<a<90°）.在①

ZBOD=a,②NOAB=90°-a,③/蹴三_la中，一定成立的是（填序号）.

2

三.解答题（共10小题）

17.如图，ZDAB=ZEAC,AB=AD,AC=AE.

求证：BC^DE.

18.已知一抛物线过点（-3,0）、（-2,-6）,且对称轴是x=-l.求该抛物线的解析式.

19.已知二次函数尸ai+Af+c（aWO）中，函数y与自变量x的部分对应值如表:

x…-2-102

y…-3-4-35…

(1)求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；

(2)求出该函数图象与x轴的交点坐标.

20.下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60。”的尺规作图

过程.

已知：0(9

求作：矩形ABCD,使得矩形被力内接于且其对角线ZC,切的夹角为60。.

作法：如图

①作。。的直径力C；

②以点4为圆心，20长为半径画弧，交直线4。上方的圆弧于点5；

③连接8。并延长交。。于点D-,

所以四边形侬苏就是所求作的矩形.

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明.

证明：•.•点Z,。都在。。上，

：.0A=0C

同理0B=0D

二四边形ABCD是平行四边形

：4。是。。的直径，

：.ZABC=90°()(填推理的依据)

.•.四边形被Q是矩形

'：AB==BO,

：.四边形ABCD四所求作的矩形.

21.如图，四是。的直径，弦CILLAB于点、E,,是外角/曲尸的平分线.

(1)求证：朋是。。的切线.

(2)若。是优弧/班的中点，AD=\,射线如与阳交于〃点，求如的长.

22.生活中看似平常的隧道设计也很精巧.如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为

以。为圆心4?为直径的圆.隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下

层为服务层.点/到顶棚的距离为0.8a,顶棚到路面的距离是3.2a,点8到路面的距离

为2a.请你求出路面的宽度，(用含a的式子表示)

23.有这样一个问题：探究函数尸(x-1)(x-2)(x-3)的图象与性质.小东对函数y

=(x-1)(x-2)(£-3)的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充

完成：

(1)函数尸(x-1)(x-2)(x-3)的自变量x的取值范围是全体实数;

(2)下表是y与x的几组对应值.

X…-2-10123456•••

y・・・m-24-600062460•••

®m=；

②若〃(-7,-720),NQn,720)为该函数图象上的两点，贝！］〃=；

(3)在平面直角坐标系x%中，A(&,刃)，BQXB,一%)为该函数图象上的两点，且

4为2WW3范围内的最低点，Z点的位置如图所示.

①标出点8的位置；

②画出函数y=(jr-1)(x-2)(x-3)(0WW4)的图象.

③写出直线y=lx-l与②中你画出图象的交点的横坐标之和为.

2

6-

5-

4■

3-

2-

1-

-4-3-2-10123456x

24.已知直线1：y4x+l与抛物线y=a『-2kc(a>0)的一个公共点4恰好在X轴上,

点6(4,加在抛物线上.

(I)用含a的代数式表示c.

(II)抛物线在45之间的部分(不包含点Z,B)记为图形G,请结合函数图象解答:

若图形G在直线/下方，求a的取值范围.

%

-------1-1-------1-1----->x

0

25.如图1,在等边三角形板中，切为中线，点。在线段切上运动，将线段3绕点。

顺时针旋转，使得点力的对应点后落在射线式1上，连接80,设/加0=a(0°<a<

60°且a#30°).

(1)当0°<a<30°时，

①在图1中依题意画出图形，并求/屣(用含a的式子表示)；

②探究线段位AC,S之间的数量关系，并加以证明；

(2)当30°<a<60°时，直接写出线段龙，AC,位之间的数量关系.

AA

26.在平面直角坐标系xO中，。。的半径为r,尸是与圆心C不重合的点，点户关于。C

的限距点的定义如下：若尸'为直线比与。C的一个交点，满足rW呼'W2r,则称尸'

为点尸关于。。的限距点，如图为点尸及其关于。。的限距点户的示意图.

（1）当。。的半径为1时.

①分别判断点〃（3,4）,0）,7（1,、历）关于。。的限距点是否存在？若存在，

求其坐标；

②点〃的坐标为（2,0）,DE,历分别切。。于点笈点凡点尸在△比尸的边上.若点尸

关于。。的限距点*存在，求点户的横坐标的取值范围；

（2）保持（1）中〃，E,尸三点不变，点尸在△比F的边上沿—的方向运动，

。。的圆心。的坐标为（1,0）,半径为r,请从下面两个问题中任选一个作答.

问题1问题2

若点尸关于。。的限距点户存在，且尸若点尸关于。。的限距点户不存在，则r

随点户的运动所形成的路径长为k广，则r的取值范围为

的最小值为.

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.我国传统文化中的''福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成.这四个图案中既是轴对称

图形，又是中心对称图形的是（）

C,D.嬉

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：4不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误；

反是轴对称图形，也是中心对称图形.故正确；

a是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误；

A不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误.

故选：B.

2.将抛物线向左平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为（）

A.y=x+2B.y=？-2C.y=（A+2）2D.y=（x-2）2

【分析】先得到抛物线尸『顶点坐标为（0,0）,再利用点平移的规律得到点（0,0）

平移后对应点的坐标为（-2,0）,然后利用顶点式写出平移后的新的抛物线的解析式.

【解答】解：抛物线y=9顶点坐标为（0,0）,把点（0,0）向左平移2个单位后所得

对应点的坐标为（-2,0）,所以平移后的新的抛物线的表达式为尸（户2）2.

故选：C.

3.在△破中，NQ90。，以点5为圆心，以比1长为半径作圆，点/与该圆的位置关系

为（）

A.点4在圆外B.点4在圆内C.点4在圆上D.无法确定

【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论.

【解答】解：•.•在中，NU90°,

：.AB>BC,

...点4在圆外.

故选：A.

4.抛物线y=2f+4x-4的对称轴是（）

A.直线x=-lB.直线x=lC.直线x=2D.直线x=-2

【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可.

【解答】解：y=2f+4x-4中，

a=2,6=4,c=-4,

二对称轴为：x=-J—=-―—=-1.

2a2X2

故选：A.

5.如图，在。。中，点。是窟上一点，若N2必=126°,则NC的度数为（）

【分析】作圆周角龙，使。在优弧上，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内

接四边形性质求出NC即可.

【解答】解：如图：作圆周角//龙，使〃在优弧上，

VZJC®=126°,

：.AD=^-AAOB=<oi0,

2

VZJG?f-ZZ>=180o,

.,.ZJG9=180°-63°=117°,

故选：B.

6.二次函数yi=ax^bx+c与一次函数理=3汁〃的图象如图所示，则满足ax+bx+c>mx+n

的x的取值范围是（）

y,

/L

个。|t

A.-3<%<0B.x<-3或x>0C.x<-3D.0<x<3

【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的£的取值范围即可.

【解答】解：由图可知，-3<x<0时二次函数图象在一次函数图象上方，

所以，满足苏+》?+。>3+。的x的取值范围是-3<x<0.

故选：A.

7.如图，以也为直径的。。与弦切相交于点瓦且AE=Q,CE=\.则曲的长

是（）

A兀R冗r兀n兀

・-------D.---------\J•---------------------U•-------

9933

【分析】连接oc,先根据勾股定理判断出△力庞的形状，再由垂径定理得出庞=庞，故

BC=BD,由锐角三角函数的定义求出N4的度数，故可得出N60C的度数，求出0C的长,

再根据弧长公式即可得出结论.

【解答】解：连接0C,

,.•△力龙中，AC=2,AE=M，CE=\,

:.A/+出=AC,

；.△义龙是直角三角形，BPAELCD,

.♦.//=30°,

：./COE=6G°,

：.^-=sinZCOE,即工=1,解得/=冬应,

0C0C23

■:AELCD,

•••BC=BD,

2A/3

——60几X—

=2如兀

/.BD=BC=--------

180-9-

故选：B.

8.已知一个二次函数图象经过P,（-3,yi）,P2（-1,y2）,P3（1,%），P4（3,%）四点，

若再<%<%,则y”yi,731%的最值情况是（）

A.与最小，%最大B.与最小，力最大

C.%最小，%最大D.无法确定

【分析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的

距离的大小即可判断.

【解答】解：•.•二次函数图象经过A（-3,乃），4（-1,月），鸟（1,%），H（3,%）

四点，且与<»<%,

抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，

：.Pi（-3,力）离对称轴的距离最大，P3（1,73）离对称轴距离最小，

二刀最小，乃最大，

故选：A.

二.填空题（共8小题）

9.点尸（2,-3）关于原点的对称点P'的坐标为（-2,3）.

【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案.

【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，

所以：点（2,-3）关于原点的对称点的坐标为（-2,3）.

故答案为：（-2,3）.

10.请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0,2）的抛物线的表达式：y=-f+2.

【分析】把（0,2）作为抛物线的顶点，令a=-l,然后利用顶点式写出满足条件的抛

物线解析式.

【解答】解：因为抛物线的开口向下，

则可设a=-1,

又因为抛物线与y轴的交点坐标为（0,2）,

则可设顶点为（0,2）,

所以此时抛物线的解析式为y=-9+2.

故答案为y=~x+2.

11.如图，四边形被力内接于£为龙延长线上一点.若NQ110。，则应的度

数为110°.

【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对

角）可得答案.

【解答】解：：/8=110°,

庞=110°.

故答案为：110°.

12.在平面直角坐标系x%中，函数7=¥的图象经过点〃（为，71）,N（xz,为）两点，若

-2<^<0,2<^<4,则nV为.（用”或号连接）

【分析】根据二次函数的性质即可求解.

【解答】解：由尸¥可知，

*=1>0,

二抛物线的开口向上，

•抛物线的对称轴为y轴，

.,.当x>0时，y随x的增大而增大，

V-2<^<0,2<X2<4,

•*.0<-JTI<2,

'・%V丹.

故答案为V.

13.如图，PA,如分别与。0相切于48两点，点。为劣弧也上任意一点，过点。的切

线分别交仍BP于D,£两点.若4—8,则△曲的周长为16.

【分析】直接运用切线长定理即可解决问题；

【解答】解：：%、DC、EB、比1分别是。。的切线,

：.DA=DC,EB=EC；

：.DE=DA+EB,

：.P1APE+DE=P1ADA+PE+BE=PA+PB,

,:PA、阳分别是。。的切线，

:.PA=PB=8,

...△9的周长=16.

故答案为：16

14.如图，在平面直角坐标系也『中，如可以看作是△。而经过若干次图形的变化（平

移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由405得到△力必的过程：XOCD统C点逆时

针旋转90°,并向右平移2个单位得到△［加.

【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△况。得到△力仍的过程.

【解答】解：△。切绕。点逆时针旋转90°,并向右平移2个单位得到△/必（答案不唯

故答案为：力绕C点逆时针旋转90°,并向右平移2个单位得到△儿比

15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸af+bKc与x轴交于（1,0）,（3,0）两

点，请写出一个满足y<0的x的值2（答案不唯一）

【分析】根据函数图象可以直接得到答案.

【解答】解：,在平面直角坐标系刀分中，抛物线尸a¥+-+c与x轴交于（1,0）,（3,

0）两点，

...当y<0的x的取值范围是：l<x<3,

.♦.X的值可以是2.

故答案是：2（答案不唯一）.

16.如图，。。的动弦四，或相交于点且AB=CD,ABED=a（0°<a<90"）.在①

ZBOD=a,②Nfl45=90。-a,③/熊C-La中，一定成立的是①③（填序号）.

【分析】如图，连接OC,设必交切于工利用全等三角形的性质以及圆周角定理一一

判断即可;

【解答】解：如图，连接。C,设OB交CD于K.

'：AB=CD,OD=OC=OB=OA,

：./\AOB^/\COD(SSS),

：.ZCDO=ZOBA,

•・•/DKO=NBKE,

:・/DOK=NBEK=a,

即NAM=a,故①正确，

不妨设,NOAB=90。-a,

•：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

：・/0BE+/BEK=9。。,

:•NBKE=90°,

：・0B工CD,从条件上看，AB=CD,推不出仍，切这样的位置关系，故②错误,

9：CD=AB,

••AB=CD,

••BD=AC,

/ABC=L/DOB=La,故③正确.

22

故答案为①③.

三.解答题（共10小题）

17.如图，ZDAB=ZEAC,AB=AD,AC^AE.

求证：BC=DE.

【分析】求出N%£=NE1C,根据弘S推出△胡口△物区根据全等三角形的性质得出

即可.

【解答】证明：或=NE4C,

二NDA&r/BAE=ZEAC+ZBAE,

：.NDAE=ABAC,

在△54。和中,

AB=AD

<ZBAC=ZDAE

AC=AE

：./\BAC^/\DAE,

：.BC=DE.

18.已知一抛物线过点（-3,0）、（-2,-6）,且对称轴是x=-l.求该抛物线的解析式.

【分析】先利用对称性得到抛物线与x轴另一交点是（1,0）,则可设交点式y=a（户3）

（x-1）,然后把（-2,-6）代入求出a的值即可.

【解答】解：..•抛物线的对称轴是直线x=-l,抛物线过点（-3,0）

二抛物线与x轴另一交点是（1,0）,

设抛物线的解析式为尸a（户3）（x-1）,

把（-2,-6）代入得-6=a・（-2+3）・（-2-1）,解得a=2,

二抛物线解析式为y=2（A+3）（.x-1）,BPy=2x+4x^6.

19.已知二次函数尸a『+As+c（aWO）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

X•••-2-102•••

・・・・・・

y-3-4-35

（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标;

（2）求出该函数图象与x轴的交点坐标.

【分析】（1）由待定系数法即可得出答案；

（2）求出尸0时x的值，即可得出答案.

【解答】解：（1）由题意，得c=-3.

将点（2,5）,（-1,-4）代入，得！4a+2b-W=5

a-b-3=-4.

a=l

b=2.

y=x+2x~3.

顶点坐标为（-1,-4）.

(2)当产=0时，f+2x-3,

解得：x=-3或x=l,

二函数图象与x轴的交点坐标为（-3,0）,（1,0）.

20.下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60。”的尺规作图

过程.

已知：。0

求作：矩形ABCD,使得矩形能力内接于。0,且其对角线4G切的夹角为60。.

作法：如图

①作。0的直径4G

②以点/为圆心，20长为半径画弧，交直线/C上方的圆弧于点用

③连接8。并延长交。。于点D-,

所以四边形被力就是所求作的矩形.

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•.,点/C都在。0上，

：.0A=0C

同理0B=0D

二四边形ABCD是平行四边形

是。。的直径，

二/被=90。（直径所对圆周角是直角）（填推理的依据）

...四边形物》是矩形

'：AB=AO=BO,

：.四边形ABCD四所求作的矩形.

【分析】(1)根据要求作图即可得;

(2)根据圆周角定理推论及圆的性质求解可得.

【解答】解：(1)如图所示，矩形侬刀即为所求;

(2)证明：•.•点/,。都在。。上，

：.OA=OC

同理OB=OD

二四边形ABCD是平行四边形

是。。的直径，

：.ZABC=90°(直径所对圆周角是直角)

二四边形被笫是矩形

'：AB=AO=BO,

：.四边形被Q即为所求作的矩形，

故答案为：直径所对圆周角是直角，A0.

21.如图，四是。的直径，弦,CDHB于点、E,■是切外角N物尸的平分线.

(1)求证：■是。。的切线.

(2)若。是优弧力初的中点，40=4,射线如与阳交于〃点，求邮的长.

【分析】(1)根据垂径定理得到居垂直平分切，根据线段垂直平分线的性质得到力仁

AD,得到N54Z?=工/由■是的外角NZM尸的平分线，得到初,

22

于是得到结论；

(2)证明△/或是等边三角形，得到CD=AD=\,根据直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】(1)证明：•.•也是。。的直径，眩CD1AB于点、E,

二46垂直平分CD,

：.AC=AD,

：.ZBAD=^-ZCAD,

2

/是的外角NZMb的平分线，

ADAM=^-AFAD,

2

：./BAM=L(NCAJANFAD)=90°,

2

：.ABYAM,

二朋是。。的切线；

(2)解：•.ZC'=Z〃，。是优弧力劭的中点，

：.AC=AD=CD,

.•.△45是等边三角形，

：.CD=AD=\,

：.CE=DE=2,

：.OC=OA=^^-,

3

■:/ANO=/OCE=30°,

：.ON=2OA=^^-.

3

22.生活中看似平常的隧道设计也很精巧.如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为

以。为圆心形为直径的圆.隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下

层为服务层.点4到顶棚的距离为0.8a,顶棚到路面的距离是3.2a,点6到路面的距离

为2a.请你求出路面的宽度/.(用含a的式子表示)

【分析】连接oc,求出宓和庞；根据勾股定理求出纸根据垂径定理求出切即可.

【解答】解：如图，连接。c,AB交CD于E,

由题意知：AB=O.8m_3.2m_2a=6a,

所以OC=OB=tia,

OE=OB-BE=3a-2a=a,

由题意可知：ABLCD,

•・•四过0,

:・CD=2CE,

在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE={0c2_0E2=J(3&)2-&，=2\'2a,

：.CD=2CE=4版a,

所以路面的宽度/为4&a.

23.有这样一个问题：探究函数尸(x-1)(x-2)(x-3)的图象与性质.小东对函数y

=(x-1)(x-2)(x-3)的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充

完成：

(1)函数尸(X-1)1-2)(x-3)的自变量x的取值范围是全体实数;

(2)下表是y与x的几组对应值.

X・・・-2-10123456…

・・・

ym-24一600062460…

-60；

②若〃(-7,-720),N5720)为该函数图象上的两点，则n=11

(3)在平面直角坐标系x@中，A(^,%)，B5,一%)为该函数图象上的两点，且

/为2WA<3范围内的最低点，Z点的位置如图所示.

①标出点5的位置;

②画出函数尸(x-1)(x-2)(x-3)(0WK4)的图象.

③写出直线尸工X-1与②中你画出图象的交点的横坐标之和为0

2

6-

5-

4■

3-

2-

1-

-4-3-2-10123456x

【分析】(1)函数y=(£-1)(x-2)(%-3)的自变量x的取值范围是全体实数；

(2)①把x=-2代入函数解析式可求得卬的值；

②观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点(2,0)对称，再根据点M、N

的坐标即可求出。值；

(3)①找出点/关于点(2,0)对称的点瓦，再找出与点反纵坐标相等的民点；

②根据表格描点、连线即可得出函数图象；

③根据图象的性质以及直线的性质即可求得.

【解答】解：(2)①当x=-2时，y=(x-1)(x-2)(x-3)=-60.

故答案为：-60.

②观察表格中的数据可得出函数图象关于点(2,0)中心对称,

A-7+72=2X2,解得：72=11.

故答案为：11.

(3)①作点/关于点(2,0)的对称点瓦，再在函数图象上找与点氏纵坐标相等的合

点.

②根据表格描点、连线，画出图形如图所示.

③函数图象关于点(2,0)中心对称，且直线尸」>x-l经过此点，

二直线尸工£-1与图象的交点的纵坐标化为相反数，

2

•••交点的纵坐标之和为0,

故答案为0.

24.已知直线1：y*x+l与抛物线尸-2A+C(a>0)的一个公共点Z恰好在£轴上,

点5(4,加在抛物线上.

(I)用含a的代数式表示c.

(II)抛物线在48之间的部分(不包含点Z,B)记为图形G,请结合函数图象解答:

若图形G在直线/下方，求a的取值范围.

-------1-1-------1-1----->x

0

【分析】(1)先利用一次函数解析式求出2点坐标为(-2,0),然后把力点坐标代入抛

物线解析式即可得到a与c的关系式；

(2)先分别计算出x=4时所对应的一次函数值和二次函数值，然后利用图形G在直线

/下方得到12-12aW3,然后解不等式即可.

【解答】解：(I)当尸0时，2x+l=0,解得x=-2,则/点坐标为(-2,0),

2

把/(-2,0)代入尸苏-2广。得4a+4+c=0,

所以c=-4a-4；

(II)当x=4时，y=ax-2x^c=16a-8-4a-4=12a-12,贝U8(4,12a-12),

当x=4时，y=—;ri-l=3,

2

因为图形G在直线/下方，

所以12-12W3,

解得

4

所以a的取值范围为0<aW9.

25.如图1,在等边三角形上中，切为中线，点。在线段切上运动，将线段3绕点。

顺时针旋转，使得点力的对应点£落在射线灯?上，连接50,设/DAQ=a(0°<a<

60°且aW30°).

(1)当0。Va<30°时，

①在图1中依题意画出图形，并求/麻(用含a的式子表示)；

②探究线段龙，AC,攵之间的数量关系，并加以证明；

(2)当30°<a<60°时，直接写出线段位AC,e之间的数量关系.

图1备用图

【分析】(1)①先根据等边三角形的性质的3=啰，进而得出啰=。及最后用三角形的

内角和定理即可得出结论；

②先判断出△32△3乙得出斫=0C,再判断出△宛F是底角为30度的等腰三角形，

再构造出直角三角形即可得出结论；

(2)同②的方法即可得出结论.

【解答】解：(1)当0°<a<30°时，

①画出的图形如图1所示，

•.•△被7为等边三角形，

：.ZABC^60°.

•.•必为等边三角形的中线，

为线段卬上的点,

二切是血的垂直平分线，

由等边三角形的对称性得QA=QB.

'：ZDAQ=a,

AZABQ=ZDAQ=a,NQBE=60°-a.

•••线段数为线段3绕点。顺时针旋转所得，

:.QE=QA.

：.QB=QE.

:.NQEB=NQBE=6Q°-a,

二/5/=180°-2/3=180°-2(60°-a)=60°+2a；

@CE+AC=43CQ;

解：如图2,延长。到点凡使得"'=龙，连接M作Q/C于点无

：NBQE=6Q°+2a,点£在BC上,

：.ZQEC=ZBQE+ZQBE=(60°+2a)+(60°-a)=120°+a.

•.•点尸在。的延长线上，NDAQ=a,

：.ZQAF=ZBAF+ZDAQ=120°+a.

：.ZQAF=ZQEC.

又,：AF=CE,QA=QE,

:.△QAF^/\QEC.

：.QF=QC.

■:QHLAC干煮、H,

：.FH=CH,CF=2CH.

•.•在等边三角形板中，切为中线，

点0在CD上,

•，•z^^yZACB=30°,

即AQ才为底角为30。的等腰三角形.

CH=CQ'cosZHCQ=CQ-cos30o坐CQ・

二CE+AC=AF^AC=CF=2cH=愿CQ.

(2)如图4,当30°<a<60°时，

在47上取一点/使AF=CE,

•.•△放为等边三角形，

：.ZABC=60°.

•.•切为等边三角形的中线，

为线段切上的点,

...或是血的垂直平分线，

由等边三角形的对称性得QA=QB.

•・•ZDAQ=a,

：•4ABQ=4DAQ=a,NQBE=6Q°-a.

・・,线段/为线段3绕点。顺时针旋转所得,

QE=QA.

***QB=QE.

:./QEB=NQBE=6b°-a=ZQAF,

“：AF=CE,QA=QE,

:、△QAF^XQEC.

：.QF=QC.

,:QHLAC于点、H,

：.FH=CH,CF=2CH.

•.,在等边三角形板中，切为中线，点0在切上,

•，•z^^yZACB=30°，

即△仇》为底角为30。的等腰三角形.

CH=CQ-cosZHCQ=CQ-cos30°当CQ・

：.AC-CE=AC-AF=CF=2CH=73CQ.

B图2E

图1

26.在平面直角坐标系xO中，。。的半径为r,尸是与圆心。不重合的点，点户关于。C

的限距点的定义如下：若尸'为直线比与。。的一个交点，满足rW用'W2r,则称尸'

为点尸关于。。的限距点，如图为点尸及其关于。。的限电点户的示意图.

（1）当。。的半径为1时.

①分别判断点〃（3,4）,0）,7（1,V2）关于。。的限距点是否存在？若存在，

2

求其坐标；

②点〃的坐标为（2,0）,DE,如分别切。。于点笈点凡点尸在△