2020-2021学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷

一.选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个是符

合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.

1.（5分）设全集U是实数集R,M={x\\x\^2],N={x|l<尤<3},则图中阴影部分所表示

的集合是（

A.{x\-2<x<l]B.{x\-2<x<2]C.{x|l<x<2}D.{x|x<2}

2.（5分）设复数z满足力=1-2,。•是虚数单位）,则z=（）

A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i

3.（5分）已知a=log20.2,Z?=20,2,c=sin2,则（

A.B.C.c<a<bD.b〈c〈a

4.（5分）风光秀丽的千岛湖盛产端鱼，记鳗鱼在湖中的游速为ww/s,端鱼在湖中的耗氧量

的单位数为羽已知it鱼的游速u与10g2」—（工2100）成正比，当it鱼的耗氧量为200

100

单位时，其游速为』"2/S.若某条鳗鱼的游速提高了1物s,那么它的耗氧量的单位数是原

2

来的（

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

5.（5分）两个体积分别为Vi,V2的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两

个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为Si,S2,则“0=也”是"Si

S2”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（5分）如图，一个半径为2的水轮,圆心。距离水面1米，水轮做匀速圆周运动，每分

钟逆时针旋转4圈.水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间工（秒）满足y=Asin（o）x+（p）

+k(A>0),贝lj(

A.吁空B.A=3C.k=2D.(p=0

15

7.（5分）如图是第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计

的.已知图中正方形A8C。的边长为1,ZDAE=S,则小正方形的面积为（）

8.(5分)设xo€R,△x>0,函数/(x)满足

f(x+Ax)f(x+2Ax)f(x+3Ax)f(x+nAx)*

____y0_____=____0y______=____y0______=...=______y0_________,,CN*,贝u

f(XQ)f(XQ+AX)f(x0+2Ax)f(x0+(n-1)Ax)

函数y=/(x)可能是(其中。>0且aWl)()

A.f(x)=axB.f(x)=x0C.f(x)=/D.f(x)—logax

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）已知不等式^^bx+cNO的解集是{x|-1WXW2},贝!!（）

A.b<QB.〃+Z?+c>0C.c>0D.a+b=O

（多选）10.（5分）已知平面向量；，E，若讶=3,工-6=百§，&三=6,贝I」（）

A.|bI=4

B.向量之与向量E的夹角为"

3

C.Ia+bI=7

D.向量;与向量E的夹角为三

3

（多选）11.（5分）已知某湖泊蓝藻面积y（单位：机2）与时间/（单位：月）满足＞=/

若第1个月的蓝藻面积为2加2,则（）

A.蓝藻面积每个月的增长率为100%

B.蓝藻每个月增加的面积都相等

C.第6个月时，蓝藻面积就会超过60加2

D.若蓝藻面积到2m2,3m2,6%2所经过的时间分别是a,12,Z3,贝!]tl+Z2=Z3

（多选）12.（5分）某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）.已

知球的体积为"，金属底座是由边长为4的正三角形4BC沿各边中点的连线向上垂直

3

B.经过A,B,C三点的球的截面圆的面积为四

4

C.直线与平面。EP所成的角为三

3

D.奖杯整体高度为

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知/g2=a,lg3=b,则log212=（用a,b表示）.

14.（5分）半正多面体亦称为“阿基米德多面体“，是由边数不全相同的正多边形为面围

成的多面体，如图所示.这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱

锥，共截去八个三棱，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”

花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为20\历cir，则此石积的体积是cm3.

15.（5分）已知区间（0,1）中的实数机在数轴上的对应点为如图1,将线段围成

一个圆（端点A,B重合），如图2,再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y

轴上，点A的坐标为（0,1）,如图3,直线AM与无轴交于点N（小0）,把机与〃的

16.（5分）已知|H=1,向量n满足In-irl=n*ir＞当向量ir，n夹角最大时，lnl=.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①°=&，②S=£COS2,③。=三这三个条件中任选-一个，补充在下面

23

问题中，并对其进行求解.

问题：在△ABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,面积为S,yf^bcosA—«cosC+ccosA,

b=l,,求c的值.

18.（12分）如图，在△OAB中，尸为边A3上的一点而=2血，|示|=6,|0B|=2,且

示与旗的夹角为60°.

（1）设而=xH+y而，求x,y的值；

（2）求而•屈的值.

19.（12分）四棱柱488-481。囱的所有棱长都相等，ZAiAB=ZAiAD=ZBAD=60°.

（1）求证：AAi±BD；

（2）求直线48与平面A41D1。所成角的正弦值.

20.（12分）如图是函数/（x）=Asin（u）x+（p）（A>0,a）>0,|（p|<n）的部分图象，f（0）

=/（^2L）,f（2L）=o.

66

（1）求/'（x）的解析式；

（2）将/（x）的图象向右平移二三，得函数g（尤），记〃（尤）—f（x）+g（尤），求，7（X）

3

的单调递减区间.

21.（12分）将一张长8c",宽6c机的长方形纸片沿着直线MN折叠，折痕将纸片分成

两部分，面积分别为SICMJ2,S2CHP.设MN=lcm.若Si：8=1：2,求/的取值范围.

22.（12分）设函数无）=小-“|+小-2|（a>0）,方程/（x）=f有三个不同的实数根

XI,X2,%3,且XlVx2<%3.

（1）当〃=2时，求实数/的取值范围；

（2）当/=2时，求正数〃的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若注入恒成立，求实数人的取值范围.

1

2020-2021学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个选项中只有一个是符

合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.

1.（5分）设全集U是实数集R,M={x||x|》2},N={X|1<JC<3},则图中阴影部分所表示

的集合是（）

A.{x\-2<x<l}B.{x\-2<x<2}C.{x|l<x<2}D.{x\x<2}

【分析】解不等式求得集合M、N,根据Venn图阴影表示集合（CuM）AN,再进行集

合运算.

【解答】解：：/={划尤］》2}={小22或;^-24={加<了<3}

:阴影部分表示集合（CuM）AN,

阴影部分表示的集合是（1,2）.

故选：C.

【点评】本题考查图表达集合的关系及集合运算，属于基础题.

2.（5分）设复数z满足力=1-2i册是虚数单位），贝ijz=（）

A.2+zB.2-iC.-2+zD.-2-i

【分析】直接利用复数的除法运算法则求解即可.

【解答】解：因为复数z满足zi=1-2i,

所以=2i）（；（一2-2

故选：D.

【点评】本题考查了复数的除法运算法，考查了运算能力，属于基础题.

3.（5分）已知〃=log20.2,/?=202,c=sin2,则（）

A.a〈b〈cB.a<c<bC.c<a<bD.b〈c〈a

【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.

00,2>

【解答】解：：iog2o.2<log2l=0<sin2<l=2<2

故选：B.

【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数

和指数函数的性质的合理运用.

4.（5分）风光秀丽的千岛湖盛产鳗鱼，记鳗鱼在湖中的游速为WH/S,鳗鱼在湖中的耗氧量

的单位数为无，已知鳗鱼的游速v与log2上（x》100）成正比，当端鱼的耗氧量为200

100

单位时，其游速为工S/S.若某条鳗鱼的游速提高了1mls,那么它的耗氧量的单位数是原

2

来的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【分析】由If鱼的游速V与10g2」一（龙2100）成正比，可得v=klogc」一，当x=200

100vKios2i00

时，V=—,解得/=_k,

22

可得v』log^^（x>100），设端鱼开始的速度为V0,耗氧的单位数为X0,提速后

221Q0

的速度为vi,提速后的耗氧的单位数为尤1,v-Vn+1=llogn2p_+1=

V1vo12iO8210Q1

—（logn~^+2）=—（logo-即可求解.

2kios2ioo42U0g2100）

【解答】解：•••鳗鱼的游速v与10g2~^（x2100）成正比，

100

•Fklogz看'

\•当x=200时，v=—,

2

=kl解得上=工，

20§21002

•1V

,•v^7riog-T-7'（x>ioo）>

N乙21UU

设鳗鱼开始的速度为V0,耗氧的单位数为尤0,提速后的速度为VI,提速后的耗氧的单位

数为XI,

..11|X。1x014x0

,、7。+15以2而+L5（log2K2）=5（1"2而）

又。・*X1

乂.、=ql°g2砺，

••Xi=4x0,

故选：B.

【点评】本题考查对数函数模型的实际运用，考查学生的计算能力，属于中档题.

5.（5分）两个体积分别为Vi,V2的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两

个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为Si,S2,则“0=於"是"Si=

S2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】由祖胞原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解.

【解答】解：根据祖晒原理，

①由S1=S2,得到V1=V2,.•.必要性成立，

②由0=也，则只需要底面积和高相等即可，则Si,S2不一定相等，，充分性不成立，

...0=史2是S1=S2的必要不充分条件，

故选：B.

【点评】本题考查充分条件，必要条件的判断，考查祖眶原理等基础知识，是中档题.

6.（5分）如图，一个半径为2的水轮，圆心。距离水面1米，水轮做匀速圆周运动，每分

钟逆时针旋转4圈.水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间尤（秒）满足y=Asin（3x+（p）

15

【分析】先根据h的最大和最小值求得A和k,利用周期求得3,由题意＜p的值无法确

定由此得解.

【解答】解：：水轮的半径为2,水轮圆心。距离水面加，由题意可得＜P=A+k,

I-l=-A+k

「・解得A=2,k=l,可得3,。选项错误,

又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒,

.•.T=15=-271.,

3

;.3=22L,可得4正确，

15

又由题意，未指明初始位置隼的值无法确定，故D错误.

故选：A.

【点评】本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查学生分析解决问题的

能力，解题的关键是构建三角函数式，利用待定系数法求得，属于中档题.

7.（5分）如图是第24届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计

的.已知图中正方形的边长为1,ZDAE=Q,则小正方形EFGH的面积为（）

1-cos26C.1-2sin0D.1-2cos6

【分析】根据直角三角形的边角关系和全等三角形求出小正方形的边长，再计算它的面

积.

【解答】解：正方形ABC。中，AO=1,ZDAE^Q,

所以DH—ADsinZDAE—sin0,

AH=ADcosZDAE=cosd,

又因为比△A。”空RtZXBAE空RtACBF咨RtAL>CG,

所以GH=DH-AH=sin0-cos0,

所以小正方形EFGH的面积为：

S=G//2=(sin0-cos0)2=sin20-2sin0cos0+cos20=l-sin20.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的几何运算问题，也考查了正方形面积计算问题，是基础题.

8.(5分)设A-oeR,△X>0,函数/(x)满足

f(x+Ax)f(x+2Ax)f(x+3Ax)f(x+nAx)*

-----0-------二------0--------~------0--------二...----------0-----------,,yiy

f(XO)f(x0+Ax)f(x0+2Ax)f(x0+(n-1)Ax)

函数y=/（x）可能是（其中〃>0且（）

A.f(x)=axB.f(x)=/C.f(x)=axD.f(x)=log«x

【分析】利用已知的等式，对照四个选项中的函数解析式，验证即可判断得到答案.

【解答】解：因为函数/（x）满足

f(XQ+AX)f(XQ+2AX)f(xQ+3Ax)f(xg+nAx)

"CN*,

f(x0)f(x0+Ax)f(x0+2Ax)f(x0+(n-1)Ax)

当了(x)=W时

f(XQ+AX)f(XQ+2AX)f(xQ+3Ax)f(Xg+nAx)

f(x0)f(x0+Ax)f(x0+2Ax)f(x0+(n-1)Ax)

故选：C.

【点评】本题考查了函数的应用，解题的关键是将掌握指数函数的运算性质，考查了逻

辑推理能力与转化化归能力，属于中档题.

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）已知不等式/+"+<:20的解集是{x|-1W尤W2},则（）

A.b<0B.a+b+c>0C.c>0D.a+b=0

【分析】根据不等式af+6x+c20的解集判断。<0,求出a、b、c的关系，再判断选项

中的命题是否正确.

【解答】解：不等式a^+bx+c^O的解集是{x|-lWx<2},

所以a<0且，，

-IX2=—

a

解得b=-a,c=-2a；

所以a+6=0,选项。正确；

设二次函数/（无）—a^+bx+c,且a<0,

且函数的零点是-1和2,所以/（I）^a+b+c>0,选项2正确；

因为c=-2a>0,所以选项C正确；

因为b=-a>0,所以选项A错误.

故选：BCD.

【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程和二次函数的关系应用问题，是基础题.

（多选）10.（5分）已知平面向量2,b.若图=3,la-bl=Vi3.Z・E=6,则（）

A.IbI=4

B.向量7与向量E的夹角为之

3

C.Ia+bI=7

D.向量7与向量E的夹角为工

3

【分析】根据己知条件，运用向量的模长公式，可得IEI=4,再结合向量的夹角公式，

即可分别求解.

【解答】解：：工-6=百§,

•,|a-bK=a-2a•b+b—13,

〈lal=3,a・b=6,

|bI=4，故A选项正确，

—♦—•

C°S/fa，>=aG*bl飞6匕运1

.♦•向量:与E的夹角为工，故选项8错误，选项。正确，

3

>+E|2=7+2；・芯+针=9+12+16=37,故选项C错误，

故正确的选项为AD.

故选：AD.

【点评】本题考查了向量的模长公式，向量的夹角公式，需要学生熟练掌握公式，属于

基础题.

（多选）11.（5分）已知某湖泊蓝藻面积y（单位：7/）与时间才（单位：月）满足>=/

若第1个月的蓝藻面积为2m2,则（）

A.蓝藻面积每个月的增长率为100%

B.蓝藻每个月增加的面积都相等

C.第6个月时，蓝藻面积就会超过60加2

D.若蓝藻面积到2祖2,3ffj2,6切2所经过的时间分别是〃，t2,a,则〃+也=办

【分析】由题意可知，函数y="图象经过（1,2）,可得函数的解析式，再根据选项分

别求解.

【解答】解：由题意可知，函数y=〃图象经过（1,2）,即『=2,

・・a=:2.

・4=21

•；2什1-2，=2。

蓝藻每个月的面积时上个月的2倍，

，每个月的增长率为100%,故A选项正确，

•.•2计1-2，=2。即每个月增长量为2。非常数，故2选项错误，

当t=6时，J=26=64>60,故C选项正确，

:若蓝藻面积到2川，3m2,6m2所经过的时间分别是〃，⑵四,

•••2%=2,2t2=3,2t3=6,

.•/l=k»g22,/2=log23,Z3=log26,

.'.tl+t2=Iog22+log23=log26=t3,故D选项正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.

（多选）12.（5分）某演讲比赛冠军奖杯由一个水晶球和一个金属底座组成（如图①）.己

知球的体积为里L,金属底座是由边长为4的正三角形ABC沿各边中点的连线向上垂直

3

A.A,B,D,尸四点共面

B.经过A,B,C三点的球的截面圆的面积为生

4

C.直线AD与平面DEF所成的角为工

3

D.奖杯整体高度为«吟~+1

【分析】利用翻折的特点以及面面垂直的性质定理可知，AABC与△〃可2全等且所在的

面平行，从而可证明A8〃OR即可判断选项A；将问题转化为求解△MNP的外接圆面

积，即可判断选项8；利用线面角的定义即可判断选项C；设以为△ABC的外心，求出

球的半径，AM的长度以及O”的长度，即可得到答案.

【解答】解：根据图形的形成可知，点A,B,C三点在底面。EF上的射影分别是△OEF

三边的中点，如图所示，

则△ABC与△MVP全等且所在的面平行，

平面ABNMC平面ABC^AB,平面ABNMC平面DEF=MN,

所以MN〃43,5LMN//DF,

所以

故A,B,D,E四点共面,

故选项A正确;

因为△ABC与AMNP全等且所在的面平行，所以截面圆就是△ABC的外接圆与△MNP

的外接圆相同,

由题意可知，的边长为1,其外接圆的半径为「二应XI/应，

33

则经过A,B,C三点的球的截面圆的面积为S=JT.哼T

故选项B错误;

由平面ADE与平面DEF垂直可知，AE在平面AEF内的射影是DE,

所以NAZJE为直线与平面DEF所成的角，则

3

所以直线AD与平面所成的角为2L,

3

故选项c正确；

因为A2=BC=CA=1,设。为球心，半径为R,

则匡冗R3n生兀，解得R=l,

33

所以。-ABC是正四面体，棱长为1,

设H为△ABC的外心，则OH_L平面ABC,

又CHu平面ABC,

所以OH_LCH,

又CH辱,则0H犷亭^亭

又

所以奖杯整体高度为F夸.1，

故选项D正确.

【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何的综合应用，涉及四点共面的证

明，三角形外接圆面积的求解，线面角的求解，综合性强，对掌握知识的深度和广度都

有一定的要求，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知/g2=a,lg3—b,则log212=_4a+卜,_（用a,b表示）.

a

【分析】利用对数的运算法则知log212=li12=@隹且史，由此能求出结果.

lg21§2

【解答】解：」g2=a,lg3=b,

，k>g212=lgl2=21g2+lg3=2a+b.

Ig2lg2a

故答案为：红也.

a

【点评】本题考查对数的运算，考查对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

14.（5分）半正多面体亦称为“阿基米德多面体“，是由边数不全相同的正多边形为面围

成的多面体，如图所示.这是一个将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱

锥，共截去八个三棱，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”

花岗岩石凳，已知此石凳的棱长为2的CIT，则此石积的体积是160000cm3.

3

【分析】由题意可得，该正多面体是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所

得到的，再由正方体的体积减去八个三棱锥的体积求解.

【解答】解：如图所示，该石凳是由棱长为40cm的正方体

沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，

1600Q

,该石凳的体积为：v=40X40X40-8X-J-X20X20xQ=^cm3.

J42o

故答案为：160000cm3.

3

【点评】本题考查正方体的结构特征，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题.

15.（5分）已知区间（0,1）中的实数m在数轴上的对应点为如图1,将线段AB围成

一个圆（端点A,B重合），如图2,再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y

轴上，点A的坐标为（0,1）,如图3,直线AM与x轴交于点N0）,把相与”的

【分析】由题意知N（-l,0）,从而可得△NO4为等腰直角三角形，从而可得弦AM对

应的圆心角为三，从而求得.

2

【解答】解：由题意知，N（-1,0）,A（0,1）,

故△可，％为等腰直角三角形，

故/NAO=2L,故弦AM对应的圆心角为

42

故氤是圆周长的工，即，"=」，

44

故方程/(X)=-1的解是尤=工，

4

故答案为：1.

4

【点评】本题考查了函数的性质应用，同时考查了数形结合的思想方法应用，属于中档

题.

16.(5分)已知|ni=l,向量n满足In-ni=n，ir,当向量ir，n夹角最大时，lnl=——.

【分析】根据已知条件，设7=(1，0),^=(x,y)>由于=可得

V(X-1)2+y2=x(x>0)，化简后可得y-=2x-1,，即

222

|n|=Vx+y=-7(X+1)-2-再结合向量的夹角公式，即可求解・

【解答】解:设彳=(1,0),二=(x,y)，

,•*In-H=n*ir，

(x-1)2+y2=x(x>0>化简后可得y2=2x-1,

In|=Vx2+y2=7(X+1)2-2,

设/=工，即0<rW2,则cos〈m，n>=J---—g=J-------z—，当，=1,即

xVl+2t-t2V-(t-l)2+2

x=l,

cos〈孟，芳〉取得最小值，即向量7,7夹角最大时,

Inl=V22-2=V2-

故答案为：V2.

【点评】本题考查向量的数量积公式的应用，以及向量模长公式，需要学生熟练掌握公

式，属于中档题.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①a=&,②S=£COSB,③C=2L这三个条件中任选-一个，补充在下面

23

问题中，并对其进行求解.

问题：在△ABC中，内角A,2,C的对边分别为a,b,c,面积为S,J§bcosA=acosC+ccosA,

b—1,,求c的值.

【分析】根据正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinBWO,可得cosA=1,

3

选择①，由余弦定理得叵c-1=0,即可解得。的值.

3

选择②，利用三角形的面积公式化简已知等式可得“SB二sinA二cos（含-A），可求。

的值，即可求c的值.

选择③，由已知利用两角和的正弦公式可求sinB的值，进而根据正弦定理可求c的值.

【解答】解：在△ABC中，因为二acosC+ccos/,

所以根据正弦定理得V^sinBcosA二sinAcosC+sinCcosb

所以愿sinBcosA=sinE，

因为sinBWO,

所以cosA：^-，

选择①，由余弦定理〃2=廿+。2-2Z?ccosA,得02一2、^b1二口,

解得cS，

选择②，S=^-cosB=_^_bcsinA,

兀

所以cosB=sinA二cos

所以吟-A，即C吟，

解得c=V§，

选择③,C=^-'®^sinB=sin（A->^-）=sinAcos^-+cosAsin-^-=^+^^）

所以由_^_=b,得c=b・sinC=3y-372.

sinCsinBsinB

【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理，三角形的面积公式

在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.（12分）如图，在4。43中，P为边A3上的一点而二2荏，|赢|二6,|二2，且

遍与瓦的夹角为60°.

（1）设而=x赢切而，求X，y的值；

（2）求而•薪的值.

【分析】（1）用水，诬表示出而即可得出力>的值；

（2）OA,诬表示出而，AB-再计算而•标的值・

...f~\.rj..

【解答】解：（1）：BP=2PA，BP=-BA=-（0A-0B）-

33

，而=而+而=祈+2（0A-0B）=2QA+1OB.

333

•丫=2v=1

3-3

（2）:赢2=36,0B2=4,0A-0B=6X2XCOS60°=6,

••.OP•标=（2示+4而"而-示）=--|OA2+-OB2+-OA-OB=-24+1+2=-字

3333333

【点评】本题考查了平面向量的基本定理，数量积运算，属于基础题.

19.（12分）四棱柱48。。-4181。。1的所有棱长都相等，ZAiAB=ZAiAD=ZBAD=60°.

（1）求证：AA\±BD；

（2）求直线48与平面A41D1。所成角的正弦值.

【分析】（1）取2。的中点。，连结04,04,利用菱形的性质证明由4。

=AiB,证明fiDLAiO,从而可证明8O_L平面AiAO,即可证明BO_LAiA；

（2）在正四面体B-A\AD中，设顶点B在底面正三角形中的射影为0',连结A10',

利用线面角的定义得到/BA1O'即为直线A1B与平面AA1D1D所成的角，利用三角形的边

角关系求解即可.

【解答】(1)证明：取3。的中点。，连结04,0A1,

因为A3C。为菱形，则BD_LA。，

因为四棱柱ABC。-A1B1C1D1的所有棱长都相等，

则。为8。的中点，贝U8OLA1。，

又Ai0CA0=0,AiO,AOu平面AM。，

所以8。，平面AM。，

又AiAu平面AiAO,

所以BOLAM；

(2)解：由题意可知，3-A1A。为正四面体，

在正四面体8-A1A。中，设顶点8在底面正三角形A1A。中的射影为O,连结40，,

则/BAi。唧为直线A1B与平面AAiD[D所成的角，

设48=1,则A[0,,X"=呼，则B0'=机/2^02=半,

在RtABAi。'中，sin/BAiO'=变一=逅，

AjB3

所以直线A1B与平面AAiDiD所成角的正弦值为逅.

3

【点评】本题考查了线面垂直的判定定理以及性质定理的应用，线面角的求解，在使用

几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在

平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题.

20.(12分)如图是函数/(%)=Asin(u)%+(p)(A>0,a)>0,|(p|<ir)的部分图象，f(0)

=于（^2L）,f（2L）=o.

66

（1）求/（x）的解析式；

（2）将/（x）的图象向右平移得函数g（无），记/?（尤）=/（x）+g（x）,求//（x）

3

的单调递减区间.

【分析】（1）由函数的图象顶点可得4=2,对称轴x=/,周期工7=旦匕工，即

124126

可求出3,图象过点（之，-2）,可得函数的解析式.

12

（2）利用函数y=Asin（3x+（p）的图象变换规律求得g（尤）的解析式，从而可得〃（x）

=/（尤）+g（x）,利用三角恒等式化简，结合正弦函数的性质即可求单调递减区间.

【解答】解：（1）由函数的图象顶点可得A=2,

'：/（o）=/

6

••./（x）关于苫=匹称轴,

12

那么周期工7=卫工，

4126

可得T=ir,

贝！]3="£_:2，

T/

/.y=2sin(2%+(p),图象过点(且L,-2),

12

可得-2=2sin(5兀+(p),

V|(p|<7l,

...(p=-2.兀..

3

故得/(X)的解析式为；f(x)=2sin(2X+.22L).

3

(2)f(x)的图象向右平移工，得y=2sin[2(x/L)+22L]=2sin2x.

333

，函数g(x)=2sin2x,

"(%)=/(x)+g(x)=f(x)=2sin(2x+^^-)+2sin2x=2sin2xcos+2cos2xsin+2sin2x

333

=V3cos2x+sin2x

=2sin(2x+—)

3

令;-+2k兀W2k兀，kez,

乙OCa

可得需+k兀WxW患+k兀，

：.h(x)单调递减区间为［工+卜兀，卫二+k兀］,在Z.

1212

【点评】本题主要考查由函数〉=&$出(0«+甲)的部分图象求解析式和函数y=Asin(3x+(p)

的图象变换规律属于基础题.

21.（12分）将一张长8cm,宽6cm的长方形纸片沿着直线MN折叠，折痕MN将纸片分成

两部分，面积分别为Siew?,52c机2.设MN=lcm.若Si：52=1：2,求/的取值范围.

（情形①）（情形②）（情形③）

【分析】根据已知条件,可得51=16,52=32,对三种折痕的情形，分别找到对应的函

数，结合各自函数性质,分别求解.

【解答】解：•••长方形的长为8,宽为6,

，长方形的面积为5=6X8=48,

V51：52=1：2,

.,.51=16,52=32,

当折痕为情形①时，设AN=y,

—xy=16,即孙=32,可得>=&■,

2x

2

由勾股定理可得，12=乂2+了2=*2_4^,

2

设g(%)=x。，)，-^Cx<8,

观察可知g(x)为对勾函数，

当乂之二医时，即x=4：6，满足定义域，即g(X)加加=32+32=64,

x

当x=8时，g(x)根⑪=64+16=80,

・•・/的取值范围为［8,475］,

当折痕为情形②时，设AM=x,DN=y,

•'-y(x+y)X6=16,即y=与-x，

且04犯一x<8，

3

•1,04x《当，

22

・；1=6+(x-y)2=62+4(X-|-)2,

o

当尤=3时，尸为最小值36,

3

当尤=区时，尸为最大值眄，

39

..•/的取值范围为［6,空运］，

3

当折痕是情形③时，设BN=x,AM=yf

y(x+y)X8=16'即y=4-x,

：0WxW6,且0W4-xW6,

V/2=82+(x-y)2=82+4(x-2