数学人教A版高中必修二（2019新编）10-4概率的基本性质（学案）

第04讲概率的基本性质

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课程标准课标解读

1.理解概率的6个基本性质及推论；

2.掌握互斥事件概率、对立事件概率的性质，能解决与古典概通过本节课的学习，要求会利用概

型相关的问题；率的基本性质解决实际问题.

3.能在实际问题中应用概率的运算法则及性质解决问题.

甑知识梅井

知识点概率的基本性质：

性质1：对任意的事件A,都有P(A)N0.

性质2：必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(C)=1,P(0)=O.

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).

性质3推论：如果事件A］、A2....Am两两互斥，那么事件A|UA25..UAm发生的概率等于这m个事件

分别发生的概率之和，即P(AiUA2U...UAm)=P(Ai)+P(A2)+...+P(Am).

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么尸(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).

性质5(概率的单调性)：如果AUB,那么尸(A)SP(B).

性质5推论：对于任意事件A,OWP(A)W1.

性质6：设A、B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AB)=P(A)+P(B)—P(AB)

显然，性质3是性质6的特殊情况.

【微点拨】1.由概率的定义可知：任何事件的概率都是非负的，在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事

件一定不会发生.

2.事件A和事件B互为对立事件，所以和事件AUB为必然事件，即「(AUB)=1.由性质3得

1=P(AUB)=P(A)+P(B)

3.运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤

(1)确定各事件彼此互斥；(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.

注意：（1）是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的

4.求复杂事件的概率通常有两种方法

（1）将所求事件转化成儿个彼此互斥的事件的和事件

（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考

虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率

【即学即练1】从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A.取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球

B.取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球

C.取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球

D.取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球

【答案】D

【解析】

【分析】

利用互斥事件、对立事件的定义逐一判断即可.

【详解】

A答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件

B答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件

C答案中的两个事件不能同时发生，但必有一个发生，既是互斥事件又是对立事件

D答案中的两个事件不能同时发生，也可以都不发生，故是互斥而不对立事件

故选：D

【点睛】本题考查的是互斥事件和对立事件的概念，较简单.

【即学即练2】经统计，某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表：

排队人数012345人及以上

概率.10.160.30.30.10.04

则至少3人排队等候的概率是（）

A.0.44B.0.56C.0.86D.0.14

【答案】A

【解析】

根据概率加法公式，分析至少3人排队等候的概率是3人4人5人及以上的概率之和.

【详解】设至少3人排队等候为事件A,则有尸(A)=0.3+0.1+0.04=0.44,故选：A

【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题.

【即学即练3】从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是()

A.至少有1个白球；都是红球B.至少有1个白球；至少有1个红球

C.恰好有1个白球；恰好有2个白球D.至少有1个白球；都是白球

【答案】A

【解析】

【分析】根据对立事件的定义判断.

【详解】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同

时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生,

不是互斥事件.在C中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D中，“至

少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件.故选：A.

【即学即练4】事件A,8的概率分别为6/,且[<鸟,则()

A.尸(4cB)<[B.P(AUB)>P2C.P(AUB)=P2+P1D.无法判断

【答案】D

【解析】因为事件48的关系并不明确，所以无法判断.

【详解】因为不知道事件A,B的关系，所以无法判断,故选：D.

【点睛】本题主要考查了事件的概率运算法则辨析，属于基础题型.

【即学即练5】已知随机事件AB,C中，A与B互斥，8与C对立，且尸(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+8)=

()

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9

【答案】C

【解析】

【分析】由对立事件概率关系得到8发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求尸(A+8).

【详解】因为P(C)=0.6,事件B与C对立，所以尸(3)=0.4,又P(A)=0.3,4与B互斥，所以

P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.

【点睛】本题考查互斥事件的概率，能利用对立事件概率之和为1进行计算，属于基本题.

【即学即练6】某人在打靶中连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的对立事件是()

A.至少有一次中靶B.只有一次中靶

C.两次都中靶D.两次都不中靶

【答案】C

【解析】

【分析】至多有一次的反面是至少有两次.

【详解】射击两次中靶的次数可能是0,1，2.至多1次中靶，即中靶次数为0或1,故它的对立事件为中靶

两次.选C.

【点睛】本题考查对立事件的概念，解题关键是掌握至少、至多等词语的否定.

【即学即练7】某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次

射击中不够8环的概率为（）

A.0.30B.0.40C.0.60D.0.90

【答案】B

【解析】先求出此射手在一次射击中大于等于8环的概率，即可求出结果.

【详解】记"此射手在一次射击中大于等于8环”为事件A,

由题意可得P（A）=0.20+0.30+0.10=0.60,

所以，此射手在一次射击中不够8环的概率为P=l-P（A）=0.40.故选B

【点睛】本题主要考查对立事件，熟记对立事件的性质即可，属于基础题型.

【即学即练8】已知随机事件A和8互斥，且P（Au8）=0.7,P（B）=0.2,则2（•）=（）

A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8

【答案】A

【解析】

【分析】由P（AuB）=P（B）+P（A）=0.7,可求出P（A）,进而可求出尸（可.

【详解】因为事件A和B互斥,所以P（Au8）=P（B）+）（A）=0.7,则尸（A）=0.74）.2=0.5,故

产（可=1-尸（4）=0.5.故答案为人.

【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式，考查了对立事件的概率求法，考查了计算求解能力，属于基

础题.

13

【即学即练9】某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为主,响第二声时被接的概率为工7,响第三声

21

时被接的概率为W，响第四声时被接的概率为正，则电话在响前四声内被接的概率为()

A.-IB.2c.AD.i

210105

【答案】B

【解析】

【详解】设“电话响第一声被接”为事件A,“电话响第二声被接”为事件B,“电话响第三声被接”为事件C,“电话

响第四声被接”为事件D,则A,B,C,D两两互斥，从而P(AUBUCU

13219

D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=而+而+]+历=元•故选区

【点睛】本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分

解为四个互斥事件,P(AUBUCUD)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).

【即学即练10】若事件A和8是互斥事件，且尸(A)=0.1,则P(B)的取值范围是()

A.[0,0.9]B.[0.1,0.9]C.(0,0.9]D.[0,1]

【答案】A

【解析】

【详解】

本题主要考查互斥事件的概率关系.由于事件A和B是互斥事件，则P(AUB)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),

又gP(AUB)Sl,所以0W0.1+P(B归，所以0WP(B)W0.9,故选A.

【即学即练11】已知随机事件AB发生的概率满足条件尸(A8)=?,某人猜测事件Nc豆发生，则此人猜

测正确的概率为()

A.1B.—•C.-D.0

24

【答案】C

【解析】

__31

【详解】事件Xc豆与事件AB是对立事件，P(AnB)=l-P(AuB)=l--=-,故选：C.

44

【即学即练12】下列说法正确的是()

A.任一事件的概率总在[0,1]内B.不可能事件的概率一定为0

C.必然事件的概率一定为1D.概率是随机的，在试验前不能确定

【答案】ABC

【解析】

【分析】结合概率的定义和性质逐一判断各个选项即可.

【详解】由概率的定义及性质知，任一事件的概率总在［0,1］内，不可能事件的概率为0,必然事件的概率为

L概率是客观存在的，是一个确定值，所以，选项A,B,C是正确的，D是错误的.故选：ABC

【即学即练13］黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：

血型ABAB0

该血型的人所占比例0.280.290.080.35

已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给A3血型的人输

血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是()

A.任找一个人，其血可以输给8型血的人的概率是0.64

B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29

C.任找一个人，其血可以输给。型血的人的概率为1

D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1

【答案】AD

【解析】

根据输血的规则，可以输给2型血的人为8或。型；B型血的人可以输血给8型或血型；可以输给。

型血的人只能是。型；所有人都可以输给A3型血的人.

【详解】

任找一个人，其血型为A、8、AB,O型血的事件分别记为A、B'、C\万，它们两两互斥.

由己知,有P(Aj=0.28,P(B')=0.29,P(C)=0.08,P(O)=0.35.因为。型血可以输给B型血的人,

所以“可以输给B型血的人”为事件BuD，根据概率的加法公式，得

P(B\JD)=P(B)+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A正确；

B型血的人能为8型、型的人输血，其概率为0.29+0.08=0.37,B错误；

由O型血只能接受。型血的人输血知，C错误；

由任何人的血都可以够给A8型血的人，知D正确.故选：AD.

【点睛】此题考查互斥事件概率加法公式，关键在于弄清题意，此题应弄清楚可以输血的规则.

【即学即练14】(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是()

A.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜

B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜

C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜

D.张明、李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜

【答案】ACD

【解析】分别判断每个游戏每人获胜的概率是否相等即可.

【详解】选项A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意；

选项B中,张明获胜的概率是:，而李华获胜的概率是!,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中，扑克牌是

红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意；

选项D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.故选：ACD

【点睛】本题主要考查了根据事件的概率判断游戏是否公平的问题，属于基础题型.

【即学即练15】中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是

乙夺得冠军的概率是那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为__________.

4

【答案】焉19

【解析】

【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解.

31

【详解】设“甲夺得冠军”为事件A,“乙夺得冠军”为事件8,则尸(A)=J,P(B)=-.-：A,B是互斥事件，

74

3119

P(AB)=P(A)+P(B)=-+-=—.

7428

【即学即练16】己知尸(A)=0.4,P(B)=0.2.(1)如果8三4,则尸(AU8)=,P(AB)=；(2)

如果A,B互斥,则尸(AU8尸,P(AB)=.

【答案】0.40.20.60

【分析】(1)根据事件的包含关系计算概率：(2)根据互斥事件的定义计算概率.

【详解】

(1)因为所以P(AUB)=P(A)=0.4,P(AB)=P(B)=0.2.

(2)如果A,8互斥，则P(4U8)=P(4)+P(8)=0.4+0.2=0.6,尸(A8)=0.

故答案为：0.4；0.2；0.6；0.

2

【即学即练17】事件A,B互斥,它们都不发生的概率为二，且P(A)=2P(B),则P(N)=.

【答案】|3

7

【解析】由已知中事件A、B互斥，由它们都不发生的概率为：，且P(A)=2P(8),可求尸(A),进而根据

对立事件概率减法公式得到答案.

事件A、B互斥，且尸(A)=2P(8),

:它们都不发生的概率为不，二l-P(A)—尸(8)=1-2尸(B)-P(B)=g.

1O_OOO

解得P(8)=寸./(可=22(8)=丁.•.尸(X)=1-P(A)=1-g=M.故答案为不

【点睛】本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，对立事件概率减法公式.

【即学即练18】一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85,乙熔断概率为0.74,

两根同时熔断的概率为0.63,问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？

【答案】0.96.

【解析】

【分析】

根据给定条件利用概率的加法公式直接计算作答.

【详解】

设A="甲熔丝熔断”，B="乙熔丝熔断”，则有P(A)=0.85,P(B)=0.74,

“甲、乙两根熔丝同时熔断”为事件AB,仃P(Ac3)=0.63,“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件4B,

于是得「(AuB)=P(A)+P(B)-尸(Ac8)=0.85+0.74-0.63=0.96,

所以甲、乙至少有一根熔断的概率是0.96.

J能力拓展

考法01

基本事件的关系：

【典例1】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：4="向上的点数为1"，其中i=1,2,3,4,5,6,8="向

上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（）

A.4cBB.4+B=CC.4与8互斥D.A”与后对立

【答案】C

【解析】

【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可

【详解】对于A,A={2,3,4,5,6},3={2,4,6},二AQB,故A错误；

对于B,4+8={2}32,4,6}={2,4,6}WQ,故B错误；

对于C,4与5不能同时发生，是互斥事件，故C正确；

对于D,A={4},B={1,3,5）,4与月是互斥但不对立事件，故D错误；故选：C

【典例2】若P（Au8）=l,则互斥事件A和8的关系是（）

A.AcBB.A,B是对立事件

C.A,8不是对立事件D.4=B

【答案】B

【解析】

【分析】根据概率性质，尸（AJ5）=P（A）+P（B）=1,即可判断A与8的关系.

【详解】由题意，事件A与B是互斥事件，则尸（A|JB）=P（A）+P（B）=1,则A,B是对立事件.

故选：B

【典例3】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设人="两次都击中飞机”，B="两次都没

击中飞机"，C="恰有一枚炮弹击中飞机”，。=”至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（）

A.AQDB.BQD=0C.AUC=DD.AUB=BUD

【答案】D

【解析】

【分析】按照事件间的互斥关系和包含关系分析求解即可.

【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击

中''包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中.故4U。，AUC=D

B,。为互斥事件，8门。=0；

AU8="两个飞机都击中或者都没击中”，8UQ为必然事件，这两者不相等故选：D

【典例4】从1,2,3,4,5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（）

A.至少有一个是奇数和两个都是奇数B.至少有一个是奇数和两个都是偶数

C.至少有一个奇数和至少一个偶数D.恰有一个偶数和没有偶数

【答案】D

【解析】

【分析】根据互斥事件与对立事件的概念,依次判断选项即可.

【详解】从12,3,4,5中任取两个数

对于A,至少有一个是奇数和两个都是奇数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，所以A错误；

对于B,至少有一个是奇数和两个都是偶数，两个事件互斥,且为对立事件，所以B错误；

对于C,至少有一个奇数和至少一个偶数，两个事件有重复，所以不是互斥事件，所以C错误.

对于D,恰有一个偶数和没有偶数，为互斥事件.且还有一种可能为两个都是偶数，所以两个事件互斥且不对立,

所以D正确.综上可知,D为正确选项故选:D

【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念和判断,属于基础题.

【典例5】一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）

A.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件

B.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件

C.事件“第一次击中“与事件"第二次击中”互为互斥事件

D.事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件

【答案】BD

【解析】

【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案

【详解】对于A,事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误

对于B,事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确

对于C,事件“第一次击中“包含“第一次击中、第二次击中''和"第一次击中、第二次不中"，所以与事件“第

二次击中'‘不是互斥事件，C错误.

对于D,事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确故选：BD

【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题

考法02

概率的基本性质的运算：

【典例6】抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”,

则P(AUB)=()

A.giB.-2C.5-D.1

236

【答案】B

【解析】

【分析】写出事件48包含的基本事件，可得概率.

【详解】A包含向上的点数是1,3,5的情况，B包含向上的点数是1,2,3的情况，所以AU8包含了向

42

上的点数是1,2,3,5的情况.故P(AU8)=二=:.故选：B.

63

【典例7】若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(4)=2-a,P(B)=4«-5,则实数a的

取值范围是()

A(5Q/53>一(541「53一

-匕臼A(词D.岛］

【答案】C

【解析】

【分析】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.

【详解】因随机事件A,8互斥，则尸(A+8)=P(A)+P(6)=3a-3,

0<P(A)<l0<2—〃<1

54

依题意及概率的性质得0<尸(3)<1即《0<4。一5<1,解得己

43

0<P(A+B)<l0<3«-3<1

所以实数。的取值范围是(一5，4三.故选：C

143_

【典例8】如果事件A与B是互斥事件，且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,

则事件A的概率为()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.7

【答案】C

【解析】根据互斥事件概率的加法公式即可求解.

【详解】因为事件A与B是互斥事件，所以P(A+8)=P(A)+P(B)=0.8,

又因为P(A)=3P(B),所以P(A)=0.6.故选：C

【点睛】此题考查互斥事件概率加法公式的应用，属于简单题目.

【典例9】已知随机事件A和B互斥,且P(4/B)=0.5,P(8)=0.3.则P(R=()

A.0.5B.0.2C.0.7D.0.8

【答案】D

【解析】

【分析】根据互斥事件的概率公式可求得P(A)，利用对立事件概率公式求得结果.

【详解】A与B互斥/.P(AB)=P(A)+P(B)

P(A)=0.5-0.3=0.2AP(A)=l-P(A)=l-0.2=0.8,本题正确选项：D

【点睛】本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.

【典例10】在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，彳表示A的对立事件.以下结论正确的是()

A.P(A)=P(A)B.P(A+A)=lC.若P(A)=1,则尸(囚)=0D.P(/L4)=0

【答案】BCD

【解析】根据对立事件及其概率关系A+Z=Q，即尸(A+，)=Pg)=l,进行判别.

【详解】选项A,由对立事件的性质尸(A)+P(,)=l,尸(A)=P(X)不一定正确；

山对立事件的概念得A+Z=O，即尸(A+，)=P(Q)=1,B正确；

由对立事件的性质P(A)+P4)=I知,P(A)=I-P(Q,故若立A)=I,则值)=0,c正确；

由对立事件的概念得筋=0,即尸(A，)=P(0)=O,D正确.故选：BCD.

【点睛】此题考查对立事件及其概率的关系，需要对题目进行准确辨析.

【典例11】从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g的概率为0.32,

那么质量在［4.8,4.85)(g)范围内的概率是.

【答案】0.02

【解析】

【分析】把质量小于4.85g的事件分拆成质量小于4.8g的事件与质量在［4.8,4.85)(g)范围内的事件的和，

再利用概率的加法公式即可得解.

【详解】从羽毛球产品中任取一个，A=｛质量小于4.8g｝,B=｛质量在［4.8,4.85)(g)范围内｝,C=｛质量小于

4.85g｝,事件A与B互斥，且C=A+B,而尸(A)=0.3,P(Q=0.32,

由P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B),得P(B)=P(O-P(A)=0.32-0.3=0.02,

所以质量在［4.8,4.85)(g)范围内的概率是0.02.故答案为：0.02

考法03

概率基本性质的实际应用

【典例12】甲、乙、丙三位同学独立地解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别

为;，；,；，则有人能够解决这个问题的概率为（）

A.-B.-C.-

434

【答案】A

【解析】可先求得没有人能解决这个问题的概率,再根据对立事件的性质求得有人能够解决这个问题的概率

即可.

【详解】“没有人能解决这个问题''的概率为

13

所以“有人能解决这个问题''的概率为1-7=:，故选:A.

44

【点睛】本题考查了对立事件概率的性质及简单应用,属于基础题.

【典例13】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,

则不用现金支付的概率为（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

【答案】B

【解析】

【分析】由公式P（A、B）=P（A）+P（B）+P（AB）计算可得

【详解】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付,

则P（AuB）=P（A）+P（B）+P（AB）=l

因为P（A）=0.45,P（AB）=O15,所以P（B）=0.4,

故选B.

【点睛】本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题.

【典例14】某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成

员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（）

Q

A.他只属于音乐小组的概率为：B.他只属于英语小组的概率为1

C.他属于至少2个小组的概率为:3D.他属于不超过2个小组的概率为三13

【答案】CD

【解析】

【分析】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，只属于数学、英语、音乐小组的人数分别

为10,6,8人，然后利用古典概型的概率公式逐个分析求解对应的概率即可

【详解】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，

只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10,6,8人，故只属于音乐小组的概率为白=卷，

6015

只属于英语小组的概率为二=上，

6()1()

“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为"7+8=二,

605

“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率

QQ

是2=1-白=白.故选：CD.

6015

【典例15】利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其

余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合

格品“，则下列结果正确的是().

79

A.P(B)=—B.P(AuB)=—C.尸(Ac8)=0D.尸(Au8)=P(C)

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据事件的关系及运算求解.

【详解】由题意知A,B,C为互斥事件，故C正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所

7219

以尸(8)=京，P(A)=—,尸(0=二则P(AuB)=k，故A、B,C正确；故D错误.故选ABC.

【点睛】本题考查事件的关系及古典概型的概率计算，属于基础题.

【典例16】甲、乙、丙、丁四人参加4x100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为了.则甲跑第一棒或乙跑第

4

四棒的概率为.

【答案】卷

【解析】

【分析】根据甲乙两人接力位置的不同共有12种不同结果，而同时满足甲跑第一棒，乙跑第四棒只有1种

结果，此种情况的概率为看，再由概率的计算公式尸(AUB)=尸(A)+P(5)-P(AnB)即可得解.

【详解】设事件4="甲跑第一棒”，事件8="乙跑第四棒”，则P(A)=I，P(B)=；.

记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x,y),

则共有可能结果12种：(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),

(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).

甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1,4),

故P(An8)=《；所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：

产(AUB)=P(A)+P(8)一尸(A「B)=(+；W.故答案为:

【典例17】某次知识竞赛规则如下：主办方预设3个问题，选手能答对这3个问题，即可晋级下一轮，假

设某选手回答正确的个数为0,1，2的概率分别是0.1,0.2,0.3,则该选手晋级下一轮的概率为.

【答案】0.4

【解析】由题可分析得到“晋级下一轮”与“答对问题个数0.1,2的和事件”为对立事件，进而求解即可

【详解】记“答对0个问题”为事件4”答对1个问题“为事件氏”答对2个问题”为事件C,“答对3个问题(即

晋级下一轮)”为事件。，则“不能晋级下一轮”为事件。的对立事件方，

显然尸(万)=P(ABlIC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.2+0.3=0.6.

故尸(O)=l-P(万)=1-0.6=0.4,

故答案为：0.4

【点睛】

本题考查对立事件的概率，考查互斥事件的概率加法公式的应用.

【典例18】掷一枚骰子，下列事件：A="出现奇数点”，8="出现偶数点"，C="点数小于3"，£>="点数大于2”,

E="点数是3倍数”.求：

(l)AnB,8C及相应的概率

(2)AUB,B+C及相应的概率;

(3)记"为事件”的对立事件，求方HC,月。C,5+左及相应的概率.

【答案】(1)AC8=0,8C={2},概率为0,

6

2

(2)AUB={1,2,3,4,5,6},B+C=[1,2,4,6},概率为1,-

,1172

(3)方={1,2}；AC=BC={2}；BlJC=AUC={1,2,3,5)；力+左={1,2,4,5}.所求概率为；,工,小二

3633

【分析】

(1)4C8表示AB同时发生，8c表示氏C同时发生，利用古典概型公式即求；

(2)4U8表示4,8至少有一个事件发生，表示&C至少有一个事件发生，利用古典概型公式即求；

(3)万表示。的对立事件；配等价于B,C同时发生；7(JC等价于4C至少有一个事件发生；方+后等价

于。的对立事件与E的对立事件至少有个事件发生，利用古典概型公式即求.

【解析】

⑴由题可知A={1,3,5},5={2,4,6},C={1,2},。={3,4,5,6},£={3,6}

二.={2,4,6},耳={1,3,5},D={1,2},后={1,2,4,5},

：.ADB=0,BC=[2},

所求概率为P(A8)=0,P(BC)=1.

6

(2)4UB={1,2,3,4,5,6),B+C={1,2,4,6),

所求概率为P(ADB)=1,P(B+C)=

(3)D={h2}；AC=BC={2}；fi(JC=AUC={l,2,3,5)；D+£=(l,2,4,5).

所求概率为P(方)=g;P(WC)=:；P(BJC)=|；P(D+£)=|.

【典例19]已知〃是一个三位正整数，若”的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称”为“三

位递增数''(如135,256,345等).现要从甲、乙两名同学中选出人参加某市组织的数学竞赛，选取的规

则如下：从由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶

数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.

(1)由1,2,3,4,5,6可组成多少个“三位递增数”？分别用树状图法和列举法解答.

(2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗？请说明理由.

【答案】（1）答案见解析

（2）对甲、乙两名同学不公平，理由见解析.

【解析】

【详解】

（1）树状图法：画出树状佟I,如图所示：

3/V6

4—5—6

、5—6

从上面的树状图，知由1,2,3,4,5,6可组成20个“三位递增数”；

列举法:由题意,知由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”分别是123,124,125,126,134,135,136,

145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456,

共20个，故由1,2,3,4,5,6可组成20个“三位递增数”.

（2）不公平.理由如下：

由（1）,知由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”有20个记“甲参加数学竞赛”为事件A,事件A包含的

样本点有124,126,134,136,146,156,234,236,246,256,346,356,456,共13个.

所以P（A）=

记“乙参加数学竞赛”为事件B,则事件8包含的样本点有123,125,135,145,235,245,345,共7个.

7

所以P（B）='.因为P（A）＞P（B）,

所以该选取规则对甲、乙两名同学不公平.

分层提分

题组A基础过关练

1.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件A

表示向上的一面出现奇数点，事件8表示向上的一面出现的点数不超过3,事件C表示向上的一面出现的点

数不小于4,则（）

A.A与8是互斥而非对立事件B.A与B是对立事件

C.8与C是互斥而非对立事件D.B与C是对立事件

【答案】D

【解析】

【分析】首先分别求出事件A,B,C所包含的基本事件，再根据互斥事件和对立事件的定义即可判断事

件A,5的关系.

【详解】事件A包含1,3,5,共3个基本事件.事件8包含1,2,3,共3个基本事件.

事件C包含4,5,6,共3个基本事件.因为A8={出现点数1或3},所以A与8不互斥也不对立.

因为3C=0,BC={1,2,3,4,5,6},所以8与C是对立事件.故选：D

【点睛】本题主要考查互斥事件和对立事件，熟练掌握互斥和对立事件的概念为解题的关键，属于简单题.

2.在一次随机试验中，事件4,B,C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（）

A.A与C是互斥事件，也是对立事件

B.A+3与B是互斥事件，也是对立事件

C.A+C与B是互斥事件，但不是对立事件

D.A与B+C是互斥事件，也是对立事件

【答案】D

【解析】根据互斥与对立事件的意义逐个辨析即可.

【详解】

由于A,B,C彼此互斥，且A+B+C是必然事件，所以4与C是互斥事件，但不是对立事件,A错误；A+B与8

可以同时发生，不是互斥事件，也不是对立事件,B错误；任何一个事件与其余两个事件的和事件必然是对立事

件，故C错误,D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的辨析，属于基础题型.

3.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A="甲击中靶”，事件8=“乙击中靶”，事件E="靶未被击中”,

事件尸="靶被击中”，事件G="恰一人击中靶”，对下列关系式（了表示A的对立事件，后表示B的对立事

件）：①E=X百，©F^AB,©F=A+B,®G=A+B,®G=AB+AB，⑥「（尸）=1一尸（E）,⑦

P（F）=P（A）+P（B）.其中正确的关系式的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两

人都击中，依次判定即可.

【详解】由题可得：①E=N5，正确；②事件尸="靶被击中”，A8表示甲乙同时击中，F=AB+AB+AB>

所以②错误；

③尸=A+5,正确，④A+B表示靶被击中，所以④错误；⑤G=入B+A万，正确；⑥E,尸互为对立事件，

P（F）=1-P（E）,正确；⑦P（F）=P（A）+P（3）-尸（A3）,所以⑦不正确.

正确的是①③⑤⑥.故选：B

【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概

率特征准确辨析.

3

4..盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为忌，从盒中取出2个球都是黄

球的概率是,，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是（）

14

13「5-15、3

A.—B.-C.—D.一

287287

【答案】A

【解析】根据和事件的概率求解即可求得结果.

【详解】设“从中取出2个球都是红球”为事件A；“从中取出2个球都是黄球”为事件8；“任意取出2个球恰

3513

好是同•颜色”为事件C,则C=A8,且事件A与8互斥，.•./5（C）=P（A）+P（B）=?+3=4

281428

13

即任意取出2个球恰好是同一颜色的概率为二，本题正确选项：A.

28

【点睛】

本题考查和事件概率的计算，属于基础题.

5.从一批羽毛球中任取一个，其质量小于4.8克的概率为0.3,质量不小于4.85克的概率为0