2015-2016学年上海市浦东新区高一（下）学期期末数学试卷 （解析版）

2015-2016学年上海市浦东新区高一第二学期期末数学试卷

一、填空题：本大题共12小题，满分36分.

1.函数y=l-cos2x的最小正周期是.

2.函数/(%)=白的反函数为尸1(x)=.

3.若siar=V，xE(一夕0),则％=.(结果用反三角函数表示)

2

4.方程2sin-x=1的解集是.

3

5.函数y=2sinx-cosx的最大值为.

2px_1Y

,则/(/(2))的值为_______.

(log3(、2—1),x>2.

7.△ABC中，若面积s=4±£二依，则角C=

8.在△ABC中，若A8=3,ZABC=75°,ZACB=60°,则BC等于.

9.函数y=sin*+cos]的单调递增区间为.

71

10.右/(x)=sin—x,则/(I)4/(2)+f(3)+---+f(2016)=.

TC4771—2d)

11.已知cos(一—.)=i1,一一。是第一象限角，则一次^^的值是：

4134sin(^+a)-------

12.若函数/(x)=cos训sinxl(xe[0,2TT])的图象与直线>=上有且仅有四个不同的交点,

则k的取值范围是.

二、选择题(本大题共12分，共4小题)

13.在△ABC中，sinA•sinB<cosA,cosB,则这个三角形的形状是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

14.已知函数y=loga(2-ax)在(-1,1)上是尤的减函数，则a的取值范围是()

A.(0,2)B.(1,2)C.(1,2]D.[2,+8)

7T

15.将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动五个单位长度，再把所得各点的横坐标

伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()

A.y=sin(2x-点)B.y=sin(2x一1)

C.y=sin(/一点)D.y=sin(/一

TT

16.下列四个函数中，以IT为最小正周期，且在区间(一，7T)上为减函数的是()

2

A.y=cos2xB.y=2\siwc\

C.y=(i)cosxD.y--cotx

三、解答题：本题共5小题，满分52分.

17.一扇形的周长为20c徵，当扇形的圆心角a等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面

积是多少？

18.解下列方程：

(1)9%-4・3%+3=0；

(2)log3(X2-10)=l+log3X.

19.已知OVaV*sina=

(1)求sin2a+sin2a的值;

cos2a+cos2a

(2)求tan(a一肆)的值.

4

20.已知函数/(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.

(I)求/的值；

(II)求/(X)的最大值和最小值.

21.设函数尸(x)=["")'‘⑺—其中/⑴=log2(x2+l),g(x)=k»g2(|x|+7).

lg(久)，/(X)vgO)

(1)在实数集R上用分段函数形式写出函数尸(无)的解析式；

(2)求函数尸(无)的最小值.

2015-2016学年上海市浦东新区高一第二学期期末数学

试卷

参考答案

一、填空题：本大题共12小题，满分36分.

1.函数y=l-cos2x的最小正周期是it.

【分析】利用y=Acos(3.计隼)的周期等于T=金，得出结论.

271

解：函数y=l-cos2x的最小正周期是一5,

2

故答案为：7T.

11-1-2Y

2.函数/(久)=当的反函数为「1(x)=:(xWO).

【分析】直接利用函数的表达式，解出用y表示尤的式子，即可得到答案.

解：设V=£五，可得孙-2y=l,

：.xy=l+2y,可得％=等乜将尤、y互换得/-IQ)=1±女.

,原函数的值域为ye{y|yWO},

二厂(支)=1^,30)

1J-7v

故答案为：GW0)

X

3.若sinx=-1,xE(-5,0),贝！|x=-arcsin-.(结果用反三角函数表示)

32--------------3一

【分析】由条件利用反正弦函数的定义和性质，求得尤的值.

17r11

解：Vsinx=-xG(—77,0),则％=arcsin(―-)=-arcsin-,

3233

1

故答案为：-arcsinI.

3

4.方程2sin-x=1的解集是1xlx=3加+]或x=3E+型,k£Z\.

【分析】根据正弦函数的图象，解三角方程求得x的值.

解：由方程2sin4=l,可得方程sin4=.•・4=2匕1+5或4=2而+理，依Z,

3323636

求得或％=3411+号，依Z,

44

故答案为：{4x=3E+1或％=3为+肆,kEZ].

4,4

5.函数y=2sinx-cosx的最大值为—V5_.

【分析】利用辅角公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值.

解：y=2sinx-cosx=V5sin(x+(p)<V5

故答案为：V5

(2PX-1x<2

6./(%)=:则—2))的值为2.

1/0^3(x2-1),X>2.

【分析】本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的,故求解本题应先求内层的火2),

再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相

应的解析式求值.

解：由题意，自变量为2,

故内层函数/(2)=log3(22-1)=1<2,

故有/(I)=2Xe「i=2,

即/(7(2))=f(1)=2Xe「i=2,

故答案为2

7.△ABC中，若面积S=*+b;c2,则角c=-.

4V3一6一

【分析】由余弦定理易得a2+b2-c2=2abcosC,结合三角形面积S=讥c及已知中5=

.毯三,我们可以求出tanC,进而得到角C的大小.

4/3

解：由余弦定理得：a2+b2-c2=2abcosC

又•••△ABC的面积s==吗匹=labsinc，

4/34/32

cosC=V3sinC

tanC=—

3

又・・・。为三角形ABC的内角

•,•rL-—I—L

o

71

故答案为：-

6

8.在△ABC中，若A8=3,NABC=75°,ZACB^60°,则8C等于—述

【分析】根据三角形内角和求得/BAC,进而根据正弦定理求得BC.

解：根据三角形内角和定理知

ZBAC=180°-75°-60°=45°.

BCAB

根据正弦定理得

sinZ.BACsin^,ACB1

BC3,n.3sin45°V万

R即n------=-------：.BC=,“。=4-=V6.

sin45°sin60°sm6°孚

故答案为：V6

9.函数y=sin*+cos*的单调递增区间为」4/OT—擀兀，4/CTT+^](fcGZ)

【分析诜利用辅助角公式对函数化简y=sin^+cos5=&s出&+勺，由—5+2/OTW*+

4W2+2k兀，keZ可求

解：函数y=sin*+cos*=/sM6+今)

由-2+2/OTw[+.w2+2/OT,kez

可得4/c7f—WxW4/CTT+2，kwTj

所以函数的单调递增区间为[4Mr-竽，4Mr+3,依Z

故答案为：[轨兀―苧，软兀+刍，在Z

TI

10.若/(无)=sin丁，则/(I)+f(2)+f(3)+-+f(2016)=0

77

【分析】易知/(无)=sin丁的周期为6,从而化简求得.

TI

解：,.•/(x)=sinw尤的周期为6,

且/(I)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)

.兀.2兀.4兀.5兀.一八

=sin—+sin—+sinir+sin—+sin—+sin2Tt=。，

3333

又：2016+6=336,

：.f(1)+f(2)+f(3)+-••+/,(2016)=0,

故答案为：0.

一，冗1?7r—2d）io

11.已知cos(--«)=13丁。是第一象限角，则确而的值是：—石―

7T

【分析】先求出sin（--«）,再利用诱导公式和倍角公式进行化简

7T

解：由于7―a是第一象限角,

7T、q

sin(z——a)=—,

4ID

sin(^-2a)sin2(^-a)711n

TT-TT=2sin(——a)=

sin(-+a)cos(--a)4ID

12.若函数/(x)=cosx+|sinr|(xe[O,2K])的图象与直线>=左有且仅有四个不同的交点,

则k的取值范围是10<立.

【分析】根据x的范围分两种情况，利用绝对值的代数意义化简Isinxl，然后利用两角和与差

的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把函数解析式化为一个角的正弦函数，根据x的

范围分别求出正弦对应角的范围，画出相应的图象，根据题意并且结合正弦图象可得出左

的范围.

解：当疣[0,n]时,|sinx|=siiix,

7T

所以y=sinx+cosx=V^sin(x+4)，

当xE(IT,2II)时，|siar|=-sinx,

Tl

所以y=-sinx+cosx=V2sin(――x),

4

根据解析式画出分段函数图象，分析可得人的范围为：

故答案为：1W左

13.在△ABC中，sinA,sinB<cosA,cosB,则这个三角形的形状是()

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

【分析】对不等式变形，利用两角和的余弦函数，求出A+B的范围，即可判断三角形的形

状.

解：因为在△ABC中，sinA,sinB<cosA,cosB,所以cos(A+B)>0,

TCTT

所以A+8C(0,-),C>3,

22

所以三角形是钝角三角形.

故选：B.

14.已知函数y=loga(2-ax)在(-1,1)上是尤的减函数，则a的取值范围是()

A.(0,2)B.(1,2)C.(1,2]D.[2,+8)

【分析】复合函数由r=2-办，y=log〃r复合而成.再分别分析两个简单函数的单调性，根

据复合函数法则判断.

解：原函数是由简单函数f=2-cn'和y=log/共同复合而成.

.,，=2-ov为定义域上减函数，

而由复合函数法则和题意得到，

y=log〃在定义域上为增函数，；.a>l

又函数f=2-ax>0在（-1,1）上恒成立，贝!|2-a20即可.

综上，1caW2,

故选：C.

77

15.将函数y=siwv的图象上所有的点向右平行移动一个单位长度，再把所得各点的横坐标

10

伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）

A.尸sin（2x—点）B.y=sin（2x—

C.y=sin（/一点）D.y=sin（|-x-1^）

【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时w变为原来

的士1倍进行横向变换.

2

JT

解：将函数y=siwv的图象上所有的点向右平行移动一个单位长度，所得函数图象的解析式

10

为产sin（龙-需）

再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin

故选：C.

77

16.下列四个函数中，以TT为最小正周期，且在区间（一，TT）上为减函数的是（）

2

A.j=cos2xB.y=2卜inx|

C.y=（i）cosxD.y=-cotx

【分析】分别求出四个选项中函数的周期，排除选项后，再通过函数的单调减区间找出正确

选项即可.

解：由题意考察选项，C的周期不是m所以C不正确;

77

由于Ay=cos2尤在区间it)上为增函数，选项A不正确；

77

y=2kinx|以IT为最小正周期，且在区间(3,n)上为减函数，正确；

77

y=-cotr且在区间(一，TT)上为增函数，。错误；

2

故选：B.

三、解答题：本题共5小题，满分52分.

17.一扇形的周长为20°冽，当扇形的圆心角a等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面

积是多少？

【分析】设扇形的半径为广，弧长为I,利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数

求出面积的最大值，以及圆心角的大小.

解：设扇形的半径为r,弧长为/,则

Z+2r=20,即/=20-2r(0<r<10).

扇形的面积S=，r,将上式代入，

得5另(20-27)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

所以当且仅当r=5时，S有最大值25,

此时1=20-2X5=10,

可得：a=-=2rad.

r

所以当a=2rad时，扇形的面积取最大值，最大值为25。"2.

18.解下列方程:

(1)9工-4・3*+3=0；

(2)log3(X2-10)=l+log3X.

【分析】(1)由4・3工+3=0,得到(3工-1)(3X-3)=0,解得即可，

rx2-10=3x

(2)由已知得至“"-io>。，解得即可.

、％〉0

解：(1)・.・*-4・3%+3=0,

・•・(3%-1)(3%-3)=0,

・,.3%=1或3—3,

.*.x=0或x=l,

(2)log3(X2-10)=l+log3X=log33x,

rx2*4-10=3%

：.}x2-10＞0,

、％》0

解得x=5.

19.已知OVaV*sina=

（1）求siMa+sin2a的值;

cos2a+cos2a

（2）求tan（a—苧）的值.

【分析】（1）利用平方关系和倍角公式即可得出；

（2）利用商数关系和两角差的正切公式即可得出.

解：（1）・・•（）＜〃＜去sina=［，••cosa—V1—sin2a=

4243

.sin2a+sin2asin2a+2sinacosa（g）+2x-x-

cos2a+cos2acos2a+2cos2a-l3x（-）2-l

（2）由（1）可知：tana=S^*na=

cosa3

■江、jrtana—tan-r亍—1i

tan（a——）=tcvn^oc-彳）=-------jf=-7—=亏.

4'4，1+tanaa-tan^1+917

20.已知函数f（x）=2cos2x+sin2x-4cosx.

（I）求&）的值；

（II）求/（X）的最大值和最小值.

【分析】（I）把x=5代入到了（X）中，利用特殊角的三角函数值求出即可；

（II）利用同角三角函数间的基本关系把sin2x变为1-COS2尤，然后利用二倍角的余弦函数

公式把cos2x变为2cos2%-1,得到f（X）是关于COSX的二次函数，利用配方法把f（X）

变成二次函数的顶点式，根据COSX的值域，利用二次函数求最值的方法求出了（X）的最

大值和最小值即可.

解：（I）/（可）=2.cos—Fsin?1可一4cos可=-1+《-2=一不

（II）/（尤）=2（2cos2x-1）+（1-cos2x）-4cosx

=3cos2x-4cosx-1

27

=3（cosx—2）2—可，x£R,

因为cosxC[T,1],

所以当cosx=-l时，f（x）取最大值6；当cos比=|时，取最小值

21.设函数尸（X）=/（无）—9（%）,其中/（x）=log2（x2+l）,g（x）=log2（|x|+7）.

lg（久），/（X）vgO）

（1）在实数集R上用分段函数形式写出函数尸（无）的解析式；

（2）求函数尸（尤）的最小值.

【分析】（1）令log2（N+l）210g2（kl+7）,解得：尤的取值范围，再