抛物线的简单几何性质

3.：抛物线的简单几何性质【考点梳理】考点一：抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p考点二：直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．考点三：直线和抛物线1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.2．抛物线的焦点弦过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.【题型归纳】题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点、范围）1．（2023·全国·高二专题）对抛物线，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为【答案】A【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A.2．（2022·高二课时练习）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（

）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2【答案】D【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解.【详解】∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．∴，即p＞2．故选：D．【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.3．（2017秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期中）已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆作切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为A． B． C． D．【答案】B【详解】由圆圆心，半径，设，故选B.【点睛】解答本题的关键步骤是：1.确定圆的标准方程；；；4..根据四边形面积公式求出.4．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在抛物线中可借助直角三角形的正切值的求解.再由对称性求.【详解】，抛物线中时可得，且则，取（如图），,又对称性可知.故选；C.题型二：抛物线的对称性5．（2023·全国·高二专题练习）已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由题知为等腰直角三角形，进而得，再代入方程求解即可.【详解】解：∵，∴，∴，∵，且轴，∴由抛物线的对称性为等腰直角三角形，设与轴的交点为，∴，即，∴将代入得，解得．故选：D．6．（2023秋·高二课前预习）是抛物线上的两点，为坐标原，且的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可设，，利用的面积算出，再结合图形求出.【详解】如图，∵，知两点关于轴对称，设，∴，解得，∴，∴，∴，∴.故选：C题型三：抛物线的弦长问题7．（2023春·云南楚雄·高二校考阶段练习）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如图所示，由题得，利用抛物线焦半径公式即得解.【详解】如图所示，由题得，抛物线的准线方程为.过点A作AM垂直于准线于点M，过点B作BN垂直于准线于点N，由抛物线定义可知，，∴.故选：C8．（2023·全国·高二专题练习）设抛物线焦点为，准线与对称轴交于点，过的直线交抛物线于，两点，对称轴上一点满足，若的面积为，则到抛物线准线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为，设过点的直线方程为，，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合得到，解得，根据相似得到，从而列出方程，求出，再考虑焦点在轴上，同理可得到，求出答案.【详解】假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为，由题意得，，若过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设过点的直线方程为，，与抛物线联立得，设，则，因为，设，则，即，将代入中得，，如图所示，可知，，因为∽，所以，故，即，解得，则到抛物线准线的距离为，假设焦点在轴上，不妨设抛物线方程为同理可得，故到抛物线准线的距离为，综上，到抛物线准线的距离为.故选：B9．（2023·全国·高二专题练习）已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的面积求出，则可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程可得，由抛物线的定义可求出，同理求出，即可求出四边形AMBN的面积.【详解】不妨设，且．因为的面积为，所以，代入抛物线的方程可得，则．又因为直线过点，所以直线的方程为：，化简可得：．由，得，所以，则．直线的方程，同理可得．因为，所以四边形的面积为．故选：D.题型四：抛物线的焦点弦性质问题10．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，是抛物线在第一象限的一点，过作的准线的垂线，垂足为，的中点为，若直线经过点，则直线的斜率为（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【分析】设，进而可得，再根据抛物线定义可得，结合列式可得，进而求得.【详解】由题意，设，则，又的中点为，故.由抛物线定义可得，故.则，因为直线经过点，即，故，又是抛物线在第一象限的一点，故，解得.故，直线的斜率为.故选：C11．（2023春·江西吉安·高二江西省万安中学校考期中）过抛物线C：的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若，则l的斜率为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作垂足分别为，计算得到，得到，得到直线MN的倾斜角是150°，从而得到直线l的倾斜角是60°，即可求得直线l的斜率.【详解】设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作垂足分别为，因为直线l过抛物线的焦点，所以，又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以，所以，则直线MN的倾斜角是150°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角是60°，斜率是.故选：D12．（2023春·全国·高二期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，表达出点坐标，作出辅助线，求出，得到四边形DMFN为平行四边形，利用面积列出方程，求出.【详解】由题意知，直线AB的方程为．设，由，得，所以，所以，由，得．如图所示，作轴于点E，则．因为，故，，又，故，又，得四边形DMFN为平行四边形．所以其面积为，解得．故选：A题型五：抛物线中的参数范围13．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线上三点A，B，C，且当点B移动时，点C的横坐标的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据题意分析可得，换元，结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可设：，因为，因为，则，且，则，可得，整理得，令，则，当时，，当且仅当，即时，等号成立，则；当时，，当且仅当，即时，等号成立，则；综上所述：点C的横坐标m的取值范围是.故选：A.14．（2022春·北京·高二北京二中校考期末），是抛物线上的两个动点，为坐标原点，当时，的最小值为（

）A． B．4 C．8 D．64【答案】C【分析】联立直线，的方程和抛物线方程，求出点，的坐标，再求出，，根据基本不等式即可求出最小值．【详解】解：设直线的方程为，，，直线的方程为，由，解得，即，，则，由，解得，即，则，，当且仅当时取等号，的最小值为8．故选：C．15．（2022·全国·高二专题练习）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】设出，P点坐标，根据及抛物线方程，得到，从而表达出直线OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.【详解】因为，设，显然当时，，当时，，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时，设，因为，所以，即，解得：，由于，所以，即，由于，则，当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为.故选：C题型六：抛物线的定值、定点问题16．（2023秋·全国·高二期中）如图，设直线与抛物线(为常数)交于不同的两点，且当时，抛物线的焦点到直线的距离为.过点的直线交抛物线于另一点，且直线过点，则直线过点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，然后联立方程组并写出根与系数关系，求得直线、直线，进而确定正确答案.【详解】直线，即，依题意，到直线的距离为，所以抛物线方程为，直线，由消去并化简得，，且，设，则.由，直线的方程为，所以，即，则，故，所以，所以，直线的方程为，即，则，故，所以，也即直线过定点.故选：A.【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的方法有：根据焦点或准线来求、根据抛物线的定义来求、利用待定系数法来求、通过已知条件列等量关系式，化简后得到抛物线的标准方程.求解直线和抛物线的交点，可通过联立方程组来求解.17．（2023秋·高二单元测试）已知O为坐标原点，抛物线，点，设直线l与C交于不同的两点P，Q.(1)若直线轴，求直线的斜率的取值范围；(2)若直线l不垂直于x轴，且，证明：直线l过定点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）当点在第一象限时，设，，由基本不等式求得的范围，同理可求当点在第四象限时的范围.（2）设直线的方程为，由得，可证得直线l过定点．【详解】（1）

当点在第一象限时，设，则，（当时取等号），∴，同理，当点在第四象限时，.综上所述，直线的斜率的取值范围是.（2）设直线的方程为，联立方程得，设，则，∵，即，即，即，即，∴，满足，∴，∴直线过定点.18．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.(1)求抛物线的方程；(2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设，令，代入的方程得，结合三角形的面积求出，即可得出，从而得解；（2）由（1）知，可得的坐标，直线的方程为，代入抛物线的方程可得的坐标，进而得的方程，求解即可.【详解】（1）

设，则，令，代入的方程，得.所以，所以，故，即.所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，则.直线的方程为，代入抛物线的方程有.当时，，所以直线的方程为，即.所以此时直线过定点.当时，直线的方程为，此时仍过点，综上，直线过定点.【双基达标】单选题19．（2023·全国·高二专题练习）直线与抛物线交于、两点，若，其中为坐标原点，则的准线方程为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出点、的坐标，根据求出的值，即可得出抛物线的准线方程.【详解】不妨设点在第一象限，则点在第四象限，联立可得，则点、，所以，，解得，因此，的准线方程为.故选：B.20．（2023秋·高二课时练习）已知圆与抛物线的准线相切，则（

）A． B． C．8 D．2【答案】D【分析】根据抛物线的几何性质，直线与圆的位置关系即可求解.【详解】抛物线的准线为，又圆与该抛物线的准线相切,圆心到准线的距离：.故选：D.21．（2023秋·高二课时练习）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（

）A．4 B． C．8 D．【答案】C【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点的坐标，即可求得弦长.【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，，，，因为，所以，得，①因为，所以，即，②由方程①②可得，，所以.故选：C22．（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为（

）A． B． C．8 D．【答案】A【分析】分别求出抛物线标准方程和直线方程，联立消求的值，利用弦长公式，即可求得本题答案.【详解】因为抛物线的焦点为，双曲线E：其中一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离，解得，所以抛物线的标准方程为，因为直线过焦点且倾斜角为，所以直线方程为，所以抛物线标准方程与直线方程联立消，得，由韦达定理得，，所以弦长.故选：A23．（2023秋·高二课时练习）过抛物线：上一点作两条直线分别与抛物线相交于，两点，若直线的斜率为2，直线，的斜率倒数之和为3，则（

）A． B．5 C． D．15【答案】C【分析】设，，表示出，，的斜率，然后利用直线，的斜率倒数之和为3，列方程可求得结果.【详解】设，，故，则因为在抛物线上，所以，所以，所以，解之，得，故选：C.24．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，若成等差数列，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圆的圆心，的长，设出直线的解析式，令直线和抛物线联立即可求出直线的斜率.【详解】由题意，在圆中,，圆心,半径为1,在抛物线中，焦点为，∴圆的圆心为抛物线的焦点，∵圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，∴为圆的直径，即，∵成等差数列，则，解得：，∵直线过，两点是过圆心点的直线与抛物线交点，设的方程为,，联立和，并化简得：，∴，∴，∴，解得：，故选：D.25．（2023秋·高二课时练习）已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点.求证：(1)，；(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设出过抛物线的焦点F的直线方程，和抛物线方程联立，由根与系数的关系即可证明结论；（2）求出弦AB的中点M的坐标，求得弦长，证明M到准线的距离等于的一半，即可证明结论.【详解】（1）由抛物线可知焦点，准线方程为,又过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点.，故该直线斜率不为0，可设其方程为，联立，得，，故，所以；（2）设AB的中点为，结合（1）得，，所以以AB为直径的圆的半径为，圆心为M，点M到准线的距离为，即圆心到准线的距离等于圆的半径，即以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.26．（2023·全国·高二随堂练习）如图，是抛物线对称轴上一点，过点M作抛物线的弦AB，交抛物线于A，B.(1)若，求弦AB中点的轨迹方程；(2)过点M作抛物线的另一条弦CD，若AD与y轴交于点E，连接ME，BC，求证：.【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）由,设其方程为,联立方程后,结合韦达定理及中点公式,可得弦中点的轨迹方程;（2）用两点式求得的方程为:，的方程为:,由,都经过点,故,进而求得,根据直线平行的充要条件得到.【详解】（1）设方程为,联立得，则,设中点,则,因此弦AB中点的轨迹方程为.（2）证明:设，，其中均为正数，用两点式求得的方程为:,的方程为:,因为,都经过点,故,的方程为:,与轴交点为，，而，【高分突破】一、单选题27．（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则的面积为（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】利用题目所给的条件，计算出A点的坐标可得答案.【详解】依题意作下图：设，，所以，可得，由，解得，所以，所以.故选：A.28．（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）已知点为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】利用抛物线的定义可求得点的坐标，从而求得的值，由此求得双曲线的离心率.【详解】结合双曲线与抛物线的对称性，不妨设点为第一象限内的点，则，因为抛物线为，由抛物线的定义可得，解得，所以，可得，即点，因为双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则，所以，则所求双曲线的离心率为.故选：A.29．（2023·全国·高二专题练习）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】如图所示，由题得，利用抛物线的定义化简即得解.【详解】如图所示，由题得，抛物线的准线方程为.所以.故选：C30．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）已知点M，N是抛物线：和动圆C：的两个公共点，点F是的焦点，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，则当变化时，的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得到，结合是MN的中点，可得，由抛物线的定义可将转化为，当三点在一条直线时，可求得的最小值.【详解】圆C：的圆心，当MN是圆C的直径时，直线MN的斜率为2，设直线的方程为，化简为：，，消去可得：，设，，所以，因为是MN的中点，所以，解得：，故，，由抛物线的定义可知，过点作交于点，过点作交于点，所以，所以，当三点在一条直线时取等.故选：B.31．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】先根据题意和抛物线的性质可得到为等边三角形，进而即可求得的值．【详解】依题意有，则为等边三角形，又轴，所以．故选：A．32．（2023秋·全国·高二期中）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且位于第一象限，于点，过点作QF的平行线交轴于点，若，且四边形PQKR的面积为，则直线QR的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据几何关系可判断出PQFR为菱形，其可判断与均为正三角形，由此得到p与菱形边长关系，再根据面积得到p值，最终根据点斜式得到方程.【详解】如图，因为，，所以四边形PQFR为平行四边形．又因为，所以四边形PQFR为菱形，所以．由抛物线的定义知，则，即与均为正三角形，设，则在中，，即，即．因为四边形PQKR的面积为，所以，解得，则，又直线QR的斜率，所以直线QR的方程为，即.故选D．二、多选题33．（2023春·全国·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，，是C上相异两点，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，且，则C．若，则 D．若，则的最小值为【答案】ACD【分析】根据相等向量得F为的中点，利用焦半径公式求解弦长判断A，根据焦半径公式及点在抛物线上建立方程求解判断B，根据焦半径公式求解弦长判断C，根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，从而判断D.【详解】对于A，因为，所以F为的中点，根据抛物线的对称性知，直线与轴垂直，所以，正确；对于B，因为，所以，即，又，所以，所以，解得或，错误；对于C，若，则，正确；对于D，抛物线的焦点为，准线方程为，过点作准线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义得，则，当点N、A、M三点共线时，取得最小值，且最小值为.正确.故选：ACD.34．（2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l交抛物线于A，B两点，以下结论中正确的有（

）A．直线l的方程为B．原点到直线l的距离为C．D．以AB为直径的圆过原点【答案】ABC【分析】对选项A，利用点斜式求出直线方程即可判断A正确，对选项B，利用点到直线的距离公式即可判断B正确，对选项C，首先联立直线和抛物线，再利用焦点弦公式即可判断C正确，对选项D，根据即可判断D错误.【详解】如图所示：对选项A，抛物线的焦点为，所以直线l的方程为，故A正确；对选项B，，故B正确.对选项C，联立，设，，则，，所以，故C正确.对选项D，，故D错误.故选：ABC35．（2023秋·高二单元测试）如图，过抛物线的焦点F，斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】设在准线上的射影分别为,连接,设,直线的倾斜角为,则,由求得及；将直线方程与抛物线方程联立求得，由过焦点的弦长公式求得.【详解】

如图,设在准线上的射影分别为,连接，设,直线的倾斜角为,则，所以,解得，所以,故，故B正确.由得,不妨设直线方程为.将直线方程与抛物线方程联立得，设,进而可解得，于是.故C正确.故选：BC36．（2023秋·高二课时练习）已知O为抛物线的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（

）A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线B．若直线l过焦点F，则C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上D．若，则直线l恒过点【答案】BCD【分析】设直线，设，，联立直线与抛物线的方程，由可判断A；由抛物线的定义和平行线的性质可判断B；求出抛物线C在点M，N处的切线联立可得可判断C；由结合韦达定理可得可判断D.【详解】设直线，联立方程，得设，，则选项A，若直线l过焦点F，则，，又，，，三点共线，A错；选项B，由抛物线的定义和平行线的性质知：，又，，所以B对；选项C，设与抛物线相切的切线方程为，则化简得．由，可得，即，所以与抛物线相切的切线方程为，将点坐标代入方程可得，则，所以过的切线方程为．同理，过的切线方程为，联立，得：抛物线在点M，N处的切线的交点在定直线上，所以C对；选项D，因为，，将韦达定理代入得：.所以直线l恒过点，所以D对.故选：BCD.三、填空题37．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线与直线交于两点（点在第一象限），的焦点为，则.【答案】【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程即可求得点的坐标，再由两点间距离公式即可得到结果.【详解】因为抛物线，则其焦点，设，联立直线与抛物线方程，消去可得，解得或，当时，，当时，，且点在第一象限，所以，则，即，则.故答案为：38．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为．【答案】【分析】结合抛物线的定义，结合几何性质，即可求直线的倾斜角.【详解】如图，直线为抛物线的准线，过点分别作垂直于，作，因为，，且，所以,则，，所以，则，即直线的倾斜角为.故答案为：39．（2023秋·四川眉山·高二仁寿一中校考期末）过的直线l与抛物线E：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的3倍，则【答案】/【分析】由题意设直线的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系可得，再由的面积是的面积的3倍，可得到准线的距离是到准线有距离的3倍，则，从而可求出，进而可求得答案.【详解】由，得，由题意可知直线的斜率存在，所以设直线的方程为，由，得，易得，所以，因为的面积是的面积的3倍，所以，所以到准线的距离是到准线的距离的3倍，所以，即，因为，所以，化简得，解得或（舍去），所以，所以，故答案为：40．（2023秋·河北唐山·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，连接并延长，交抛物线于点，若中点的纵坐标为，则当最大时，．【答案】16【分析】由中点的纵坐标为，可知，又由余弦定理结合不等式可得最大时，为等边三角形，后将直线AF方程与抛物线联立，由抛物线定义结合韦达定理可得答案.【详解】由题可得抛物线焦点为，准线为.设，则由抛物线定义可得，又由题可得中点的纵坐标为，则.则.则，当且仅当取等号，则为等边三角形，即直线AD斜率为或.如图，设此时AD方程为，将其与抛物线联立有.设D，则由韦达定理有.再由抛物线定义有.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题关键为将