湖南省浏阳市2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷

2023年下学期期末质量监测试卷高一数学（时量：120分钟总分：150分考试形式：闭卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，结合交集的概念即可求解.【详解】由题意，所以.故选：C.2.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义得，再运用二倍角公式解决即可.【详解】由题得，角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，若角的终边过点，所以,所以，所以，故选：A3.已知是定义域为的偶函数，则（）．A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的性质列方程求出，代入计算即可.【详解】由是定义域为的偶函数得，解得，.

故选：B.4.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由零点的存在性定理求解即可【详解】∵，，，，根据零点的存在性定理知，函数的零点所在区间为．故选：B5.“”是“”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先分别解出指数不等式和分式不等式，再利用充分性和必要性的概念得答案.【详解】，或，可以推出或，当或不能推出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6.函数的图像大致为（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和区间内的值域，用排除法得到图像.【详解】函数，，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，排除AB选项；当时，，排除D选项；故选：C7.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.【详解】函数中，在上单调递减，在上单调递减，且，则函数在定义域上单调递减，，，解得：，即不等式的解集为.故选：D.8.对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的零点，得出的零点的范围，根据二次函数的性质列不等式组得出a的范围．【详解】，函数定义域为，任取，有，，，则，即，所以在上单调递增，由，∴只有一个零点，函数与互为“零点相邻函数”，则在上存在零点．，解得或（1）当，即，存在唯一零点，时，符合题意；时，不符合题意；（2）当，即或，，；，；若在上只有1个零点，则，即，解得．若在上有两个零点，则，解得，综上，实数a的取值范围是.故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分.9.已知两个命题：（1）若，则；（2）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（）A.命题（2）是全称量词命题B.命题（1）否定为：存在C.命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等D.命题（1）和（2）被否定后，都是真命题【答案】AB【解析】【分析】对于A，由全称量词命题的定义即可判断；对于BC，由命题否定的定义即可判断；由命题及其否定的真假性的关系即可得解.【详解】对于A，若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．等价于“对于任意一个等腰梯形而言，它的对角线都相等”，故A正确；对于B，命题（1）的否定为：存在，故B正确；对于C，命题（2）的否定是：存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，故C错误；对于D，由于命题（2）：“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．”是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误.故选：AB.10.函数（是常数，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（）A.B.在区间上单调递增C.将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数D.【答案】BD【解析】【分析】由图象求出函数的解析式，利用正弦函数的性质验证各选项的结论是否正确.【详解】由图象可知，，，函数最小正周期，，，即，由，得，所以，，A选项错误；，，是正弦函数的单调递增区间，所以在区间上单调递增，B选项正确；将的图象向左平移个单位，得函数的图象，其中，不是函数最值，轴不是函数图象的对称轴，不是偶函数，C选项错误；，所以，D选项正确.故选：BD11.设，，，以下四个命题中正确的是（）．A.若为定值，则有最大值B.若，则有最大值4C.若，则有最小值4D.若总成立，则的取值范围为【答案】CD【解析】【分析】对A，利用均值不等式判断；对B，C构造不等式，解不等求得最值，判断是否正确；对D，分离变量，转化为恒成立，再用基本不等式求的最小值，求得的范围，得到是否正确.【详解】为定值时，应有最小值，∴A不正确；当时，，∴B不正确；，当且仅当，等号成立，∴C正确；由，又，∴，∴，∴D正确．故选：CD.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，构造不等式求最值，属于中档题.12.我们把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列判断正确的是（）A.若为“函数”，则B.函数在上是“函数”C.函数在上是“函数”D.若为“函数”，，则【答案】ACD【解析】【分析】根据“函数”的定义，使用赋值法可判断AB；按照“函数”的定义直接判断可知C；利用定义作差，可判断D.【详解】A选项，由（1）知，由（2）得时，，即，∴，故A正确；B选项，显然满足（1），若x，，则，，若x，，设，，则，，与（2）不符，故B不正确；C选项，，∵，∴，满足（1），，满足（2），故C正确；D选项，∵，∴，∵，∴，∴，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，且，则实数值为___________.【答案】3【解析】【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值.【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素互异性，舍去；若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去，所以.故答案为：3.【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.14.若幂函数在上单调递增，则实数________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义和单调性求得.【详解】是幂函数，所以，解得或，当时，在上单调递减，不符合题意.当时，在上单调递增，符合题意.所以的值为.故答案为：15.已知，若，则___________.【答案】8【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．详解】解：由，且所以是方程的两根，解得或，又，所以，即，又从而，且，则，．所以.故答案为：8.16.已知函数，关于的方程恰有6个不同实数解，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】通过数形结合，首先研究方程的根的情况，结合以及已知条件可知关于的方程有两个不同的根，且，由此即可得解.【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与直线的图象如图所示：由图可知当或时，方程无解，当时，方程有两个不同的根，当时，方程有四个不同的根，由题意可知，关于的方程恰有6个不同实数解，即关于的方程恰有6个不同实数解，所以关于的方程有两个不同的根，且不妨设，由韦达定理得.故答案为：.【点睛】关键点睛：关键是由关于的方程恰有6个不同实数解，得到关于的方程有两个不同的根，且满足，由此即可顺利得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合或．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由补集、并集的概念即可求解.（2）由包含关系分类讨论即可求解.【小问1详解】当时，，或，所以，因此，.小问2详解】当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时，由，可得，解得，此时．综上，，即实数的取值范围是.18.已知都是锐角，（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平方关系以及两角和差的正弦公式即可求解.（2）由平方关系以及两角和差的正切公式即可求解.【小问1详解】已知都是锐角，．，.【小问2详解】已知都是锐角，，，，．19.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量与时间之间的关系式为．已知5h后消除了10%的污染物，试求：（1）后还剩百分之几的污染物：（2）污染物减少50%所需的时间．（参考数据：，，）【答案】（1）10个小时后还剩的污染物.（2）污染物减少50%所需要的时间为35个小时.【解析】【分析】(1)由5小时后剩留的污染物列等式求出中k的值，得到具体关系式后代求得10个小时后还剩污染物的百分数；(2)由污染物减少50%,即列等式有求解污染物减少50%所需要的时间.【小问1详解】(1)由.可知时,当时.,所以,当时,,所以10个小时后还剩的污染物.【小问2详解】(2)当时,有,解得,所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时.20.已知.（1）求的周期和单调递增区间；（2）若，求的最大值和最小值.【答案】（1），单调递增区间为（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）对化简得，则，，，解出即可；（2）由范围有，结合正弦函数的最值即可得到答案.【小问1详解】依题意得：，则，由，，得，所以的单调递增区间为．【小问2详解】由（1）知，，当时，，则当，即时，，当，即时，，所以在时的最大值和最小值分别为：，．21.比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示：01040600142044806720为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；．（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；（2）现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶，高速上行驶．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量与速度的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速（单位：）满足，且每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？【答案】（1）选①，（2）当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为最少，最少为．【解析】【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.【小问1详解】解：对于③，当时，它无意义，故不符合题意，对于②，当时，，又，所以，故不符合题意，故选①，由表中的数据可得，，解得∴．【小问2详解】解：高速上行驶，所用时间为，则所耗电量为，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，∴，国道上行驶，所用时间为，则所耗电量为，∵，∴当时，，∴当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少，最少为．22.已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”.（1）判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由：（2）若函数，为“自均值函数”，求的取值范围；（3）若函数，有且仅有1个“自均值数”，求实数的值.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）；（3）或.【解析】【分析】(1)假定函数是“自均值函数”，由函数的值域与函数的值域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，由此推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数在上的值域包含函数在上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.【小问1详解】假定函数是“自均值函数”，显然定义域为R，则存在，对于，存在，有，即，依题意，函数在R上的值域应包含函数在R上的值域，而当时，值域是，当时，的值域是R，显然不包含R，所以函数不是“自均值函数”.【小问2详解】依题意，存在，对于，存在，有，即，当时，的值域是，因此在的值域包含，当时，而，则，若，则，，此时值域的区间长度不超过，而区间长度为1，不符合题意，于是得，，要在的值域包含，则在的最小值小