浙江省温州新力量联盟高二下学期期中联考数学试题

2021学年第二学期温州新力量联盟期中联考高二年级数堂学科试题选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.55 B.57 C.100 D.110【答案】B【解析】【分析】本题可通过排列数与组合数的计算得出结果.【详解】，故选：B.2.随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列X246Pabc则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等差中项及分布列的性质即可求解.【详解】因为a，b，c成等差数列，所以，由随机变量X分布列的性质知，，联立，解得，所以故选：D.3.从分别标有1，2，……，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型的概率计算公式，可得答案.【详解】解：从分别标有1，2，……，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，基本事件总数，而其中抽到的2张卡片上的数奇偶性相同的基本事件个数，则抽到的2张卡片上的数奇偶性相同的概率，故选：B4.某物体做自由落体运动的位移，，若，则是该物体（）A.从1s到这段时间的平均速度 B.从0s到1s这段时间的平均速度C.在t＝1s这一时刻的瞬时速度 D.在这一时刻的瞬时速度【答案】A【解析】【分析】根据某段时间内物体的平均速度的定义，结合条件可得出答案.【详解】由表示从1s到这段时间内物体的位移.为从1s到这段时间的增加量所以表示从1s到这段时间的平均速度故选：A5.现调查某群体使用微信支付的情况，假设该群体中的每位成员使用微信支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设随机变量X~B，且满足，，则p＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二项分布的方差公式及概率公式得到方程（不等式组）解得即可；【详解】解：因为且方差，，，解得，故选：B6.设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可逐项判断．【详解】由图可知，X的对称轴在y轴左侧，故；Y的对称轴在y轴右侧，故，故，故A错误；由图可知，X的最高点高于Y的最高点，X的分布较Y的分布集中，故，故B错误；由图可知，，故C错误；由图可知，，故D正确．故选：D．7.一个篮球远动员投蓝一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、），已知他投篮一次得分的均值为1，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意可求得的值，进而利用把转化为展开后利用基本不等式求得答案．【详解】由题意得，,故,当且仅当时，取得等号，即的最小值为，故选：．8.函数图象上一点P到直线的最短距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为，利用函数的导数，求解切点坐标，然后利用距离公式求解即可．【详解】解：设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为，因为，则，所以，则切点坐标为，最短距离为点到直线的距离，即为，故选：C．二、选择题：本题共四小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（）A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在处取得极大值D.在处取得极小值【答案】AD【解析】【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出的单调性，从而可得出答案.【详解】由的图象可知：当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以当时，取得极小值.所以根据选项可得，选项AD正确.故选：AD10.在同学聚会上，A，B，C，D四个同学站成一排照相留念，则下列说法正确的有（）A.若A、B不相邻共有12种方法 B.若A、B两人站在一起有24种方法C.若A在B左边有12种排法 D.若A不站在最左边，B不站最右边，有14种方法【答案】ACD【解析】【分析】使用插空法可判断A；用捆绑法可判断B；定序问题用除法可判断C；根据特殊元素特殊位置优先排，计算可判断D.【详解】A中，先排C，D，共有种，再将A，B插入到3个空位中，共有种，所以A、B不相邻共有种，A正确；B中，由捆绑法得，A、B两人站在一起共有，B错误；C中，四人排成一排共有种，A，B的位置关系共两种，A在B左边占一半，故满足条件的排法有种，C正确；D中，当B站最左边时，共有种；当B不站最左边时，先排B有2种，再排A有2种，最后排CD有，所以.所以A不站在最左边，B不站最右边共有14种方法.D正确.故选：ACD11.某校实行选课走班制度，小A同学选择的是地理、生物、政治这三科，且他的生物课要求在B层上，该校（上午共设置4节课）周一上午选课走班的课程安排如下表所示，小A同学选择的三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（）第1节第2节第3节第4节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A.此人有6种选课方式 B.此人有5种选课方式C.自习不可能安排在第1节 D.自习可安排在4节课中的任一节【答案】BD【解析】【分析】根据题意分两类：第一类，若生物选第2节，第二类，若生物选第3节，分别求出选法再相加得到选课方式共有5种，再依次判断选项即可.【详解】因为生物课要求在B层上，只有第2,3节课，故分两类进行讨论：第一类，若生物选第2节，则地理可选第1节或第三节，有2种选法，其他两节政治和自习，有2种选法，故有种选法.第二类，若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种选法.根据分类加法计数原理得到选课方式共有种，故A错误，B正确；对选项C，自习课可以安排在4节课的任意一节，故C错误，D正确.故选：BD12.已知函数，则（）A.成立 B.是上的减函数C.为的极值点 D.只有一个零点【答案】CD【解析】【分析】本题首先可根据求导得出，然后利用导函数求出函数的单调性，最后结合单调性求出函数的最值，即可得出结果.【详解】因为，所以，当时，，，即当时是增函数，B错误，当时，，，即当时是减函数，则当时，取极小值，即最小值，，，故A错误，C正确，D正确，故选：CD.非选择题部分三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分．13.若的二项展开式中含项的系数为______．【答案】15【解析】【分析】求出的二项展开式的通项，令得指数为，求出，即可求出的二项展开式中含项的系数.【详解】的二项展开式的通项为：，令得，则的二项展开式中含项的系数为：.故答案为：15.14.曲线在点处的切线的方程为______．【答案】【解析】【分析】利用导数求出切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】对函数求导得，则，因此，曲线在点处的切线的方程为.故答案为：.15.现有5名党员同志需要到3个社区协助疫情防控的宣传，每名同志只去1个社区，每个社区至少安排1名同志，则不同的安排方法共有______种．【答案】150【解析】【分析】由题意，分2种情况讨论：3个社区安排的党员人数为1,1,3和1,2,2，从而先分组再分配即可求解.【详解】解：由题意，分2种情况讨论：3个社区安排的党员人数为1,1,3，有种不同的安排方法；3个社区安排的党员人数为1,2,2，有种不同的安排方法；所以共有种不同的安排方法，故答案为：150.16.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为50%，利率不变的概率为40%,利率上调时股票不会上涨.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为70%．而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据条件概率的公式及相互独立事件，再利用概率的加法公式即可求解.【详解】记为事件“利率下调”，那么即为“利率不变”，记为事件“股票价格上涨”依题设知，于是所以该支股票将上涨的概率为.故答案为：51%四、解答题：本题共6小题．共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知展开式的二项式系数之和为128．（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项．【答案】（1）n＝7（2）；【解析】【分析】(1)根据二项式系数和的性质列方程求，(2)根据二项式系数的单调性确定二项式系数最大的项的项数及项的表达式.【小问1详解】因为展开式的二项式系数和为128，所以，即，解方程得；小问2详解】因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第四项或第五项，又二项式展开式的通项公式为所以，，所以的展开式中二项式系数最大的项为：，.18.用0，1，2，3，4五个数字．（1）可以排成多少个不重复的能被2整除的五位数？（2）可以排成多少个四位数？（3）可以排成多少个四位数字的电话号码？【答案】（1）60个（2）500个（3）625个【解析】【分析】（1）先考虑能被2整除的数为偶数，则个位数字应在0，2，4中选择，再考虑不重复的五位数字，需注意万位不为0，对个位是否为0分类讨论，进而求解；（2）四位数的要求为千位不为0，求解即可；（3）四位数字的电话号码相对（2）的区别在于首位可为0，进而求解.【小问1详解】由题，能被2整除的数为偶数，则个位数字应在0，2，4中选择，需用5个数字组成不重复的五位数，则万位不是0，所以当个位是0时，共有个；当个位不是0时，共有个，所以不重复的且能被2整除的五位数有个.【小问2详解】要组成一个四位数，则千位不0，所以共有个.【小问3详解】要组成一个四位数字的电话号码，则共有个.19.已知，（），处取得极值．（1）求的单调区间；（2）判断在区间上是否存在的最大值和最小值，若存在，求出来，若不存在，请说明理由．【答案】（1）的单调增区间为和，单调减区间为（2）存在；最大值为1，最小值为－2【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点求得参数a，判断导数的正负，可得答案；（2）求出函数的极值以及区间端点处的函数值，比较大小，可得答案.小问1详解】由题意得：，，，当时，，当时，故函数的增区间为，，减区间为；【小问2详解】由（1）知：在内函数有极值点，故，，则，，，则，故函数存在最大值和最小值，，.20.有一个猜谜语活动，有A和B两道谜语，小明猜对A谜语的概率为，猜对获得奖金10元，猜对B谜语的概率为，猜对获得奖金20元．猜不出不给奖金．（1）设事件A：“两道谜语中小明恰好答对一道”，求；（2）如果按照规则猜谜：只有在猜对一道谜语的情况下，才有资格猜下一道．(i)如果猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢？(ii)若小明已经获得30元奖金，此时主办方临时增加了一道终极谜语C，参赛者可以自行选择是否继续猜谜．假设小明猜对C谜语的概率为a，若小明不继续，可以直接拿走奖金，若继续且答错C谜语，则没收全部奖金．若继续且答对C谜语，即可获得奖金90元．问：概率a至少为何值，值得小明同学继续猜谜？【答案】（1）；（2）(i)先猜A谜语；(ii)．【解析】【分析】(1)分“答对A谜语且答错B谜语”和“答错A谜语且答对B谜语”求解即可；(2)(i)求出先猜A谜语时获得奖金的分布列和数学期望，并求出先猜B谜语时获得奖金的分布列和数学期望，比较即可判断小明应该先猜哪一道；(ii)【小问1详解】；【小问2详解】(i)有两种顺序：①先猜A，②先猜B．设选择先猜A谜语得到的奖金为X元，选择先猜B谜语得到的奖金为Y元﹒①X的可能取值为：0，10，30，，，，∴X的分布列为：X01030P则；Y的可能取值为：0，20，30，，，，∴Y的分布列为：Y02030P则，∵，∴小明应该先猜A；(ii)设小明继续谜语得到的奖金为Z元，Z的可能取值为：0，90，则Z的分布列为：Z090P1－aa则，若，则，即当a至少为时，值得小明同学继续猜谜﹒21.某心理师研究所对某城区的60位中小学生睡眠情况进行统计，统计情况如表所示．小学生初中生高中生合计睡眠不足4618872睡眠充足4228合计50201080（1）若从80位调查对象中随机轴取一人，该同学的睡眠不足，则该同学是初中生的概率．（2）按学段分层抽样方式从这80位学生中抽取8位学生，再从抽取的8位学生中随机抽取3位，求事件A“有初中生”的概率．（3）若以上表格计算出的频率近似概率，从该区域内的学