第07讲类比归纳专题一次函数与三角形综合问题(4类热点题型讲练)

第07讲类比归纳专题：一次函数与三角形综合问题(4类热点题型讲练)目录TOC\o"13"\h\u【类型一一次函数与三角形的面积问题】 1【类型二一次函数与三角形全等问题】 10【类型三一次函数与三角形存在问题】 19【类型四一次函数中折叠问题】 31【类型一一次函数与三角形的面积问题】例题：（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．(1)求这个一次函数的解析式；(2)若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）利用直线解析式求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得的面积．【详解】（1）解：∵一次函数（）的图象经过点，．∴，解得：，∴这个一次函数的解析式为：．（2）解：令，则，解得，∴，∵．∴．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）直线与两坐标轴所围成三角形的面积等于（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根据题意易得此直线与坐标轴的两个交点坐标，该直线与坐标轴围成的三角形的面积等于直线与轴交点的横坐标的绝对值直线与轴交点的纵坐标．【详解】解：当时，，当时，，所求三角形的面积．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数图象上的点坐标特征、三角形的面积．解题的关键是某条直线与轴，轴围成三角形的面积为：直线与轴的交点坐标的横坐标的绝对值直线与轴的交点坐标的纵坐标的绝对值．2．（2023春·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考期中）直线与坐标轴组成的三角形的面积是．【答案】【分析】分别令和，可求出与坐标轴的交点，从而可以求解．【详解】解：当时，；当时，；直线与坐标轴的交点分别为：，，直线与坐标轴所围成的三角形面积：．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点围成面积问题，掌握与坐标轴交点坐标求法是解题的关键．3．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）一次函数的图象由直线向下平移得到，且过点．(1)求一次函数的解析式；(2)求直线与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平移可得，再将代入函数解析式，求出b的值即可．（2）先求出函数图象与x、y轴的交点坐标，根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）∵一次函数的图象由直线向下平移得到，∴∴函数解析式为：∵过点∴，∴∴所求函数的解析式为：（2）在中令，得即图象与y轴交点为令，得即图象与x轴交点为∴【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、两点法确定函数图像；关键在于解出k、b值以及正确运用三角形面积公式求解．4．（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）将正比例函数的图象平移后经过点．(1)求平移后的函数表达式；(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一次函数平移规律，设平移后的解析式为，将点，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据解析式求得与坐标轴的交点坐标，即可求解．【详解】（1）解：依题意，设平移后的解析式为，将点，代入得，，解得：，∴平移后的函数表达式为：；（2）解：由，令，解得，令，解得：，如图，设一次函数，分别与坐标轴交于点，则∴平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为．【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，根据平移求得解析式是解题的关键．5．（2023春·江西南昌·八年级统考期末）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．(1)求A、B两点的坐标；(2)若在x轴上有一点P，使，求的面积．【答案】(1)，(2)或12【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标；（2）由点A，B的坐标可得出的长，结合可得出点P的坐标，进而可得出的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积．【详解】（1）在中，当时，；当时，．∴，．（2）∵，，∴，．∵，∴．当时，，∴．当时，，∴．综上所述，或12【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式；（2）利用三角形的面积计算公式，求出的面积．6．（2023春·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线(1)求这两条直线的解析式；(2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积．【答案】(1)，(2)16【分析】（1）根据平移可知，利用待定系数法求出解析式即可；（2）根据解析式求出A，B两点坐标，然后求出面积即可．【详解】（1）解：∵与平行，设直线的解析式为：，把点代入得：，∴直线的解析式为：，∴直线向上平移3个单位，得到直线的解析式为：，（2）解：令，则，解得：，∴，当时，，∴∴．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点坐标，掌握一次函数图象平行时值不变是解题的关键．7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，其中．(1)求k的值；(2)若点是第一象限内直线上的一个动点，当点A运动过程中，试求的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x取值范围；(3)点A是直线上的一个动点，当点A运动到什么位置时，的面积是1．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；（3）分两种情况考虑，利用三角形的面积求出求出点A坐标．【详解】（1）∵，∴，∵点B在直线上，∴，∴；（2）由（1）知，，∴直线BC解析式为，∵点是第一象限内的直线上的一个动点，∴，∴，（3）如图，由（2）知，，∵的面积是1；∴，∴，当点A在x轴下方时，，∴，此时，即；综上，点A的位置为或．【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出点A的坐标．8．（2023春·四川广安·八年级广安中学校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接．(1)求，两点的坐标；(2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)点坐标为，点坐标为(2)(3)或【分析】（1）分别求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案；（2）如图所示，过点作轴，，先求出，，再根据三角形面积公式进行求解即可；（3）分当时，过点作轴于，过点作于，当时，如图所示，过点作轴于M，利用一线三垂直模型证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：当时，，当时，，解得：，∴点坐标为，点坐标为；（2）解：如图所示，过点作轴，∵点是线段上的一个动点（不与，重合），∴，，∴的面积，∴；（3）解：∵，∴，解得：，∴点坐标为，当时，过点作轴于，过点作于，

∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，当时，如图所示，过点作轴于M，同理可证，∴，，∴，∴，综上，点的坐标为或．【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，列函数关系式等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【类型二一次函数与三角形全等问题】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）直线：分别与，轴交于，两点，点的坐标为，，过点的直线交轴正半轴于点，且．(1)求点的坐标及直线的函数表达式；(2)在坐标系平面内，存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，画出，并求出点的坐标．【答案】(1)点的坐标为，，；(2)图见解析，点的坐标为，或，或，．【分析】（1）将点点，代入解析式得出，继而得出点的坐标为，，根据得出，即点的坐标为，，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）分在轴上方：和如图和点在轴上如图②两种情况，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：∵直线：过点，，，．当时，，点的坐标为，，即．：：，．点在轴正半轴，点的坐标为，．设直线的解析式为，将，、，代入，得：，解得：，直线的函数表达式为．（2）分在轴上方：和如图和点在轴上如图②两种情况考虑：如图①：①当时，，．，，，，点的坐标为，；②当时，，，，点的坐标为，．如图②当时，，，点的坐标为，．综上所述，点的坐标为，或，或，．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·北京平谷·八年级统考期末）如图，直线与轴和轴分别交与，两点，射线于点，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与全等，则的长为．【答案】【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论．【详解】∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点，当时，即，解得：．当时，，∴．∴．∴．∵，点C在射线上，∴，即．∵，∴．若以为顶点的三角形与全等，则或，即或．如图1所示，当时，，∴；如图2所示，当时，，∴．综上所述，的长为6或．故答案为：6或．【点睛】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，把射线AB绕点A顺时针旋转90°得射线AC，点P是射线AC上一个动点，点Q是x轴上一个动点．若与全等，试确定点Q的横坐标．【答案】7或8【分析】根据与全等分两种情况分类讨论即可解答．【详解】解：在直线中，当x=0时，y=0+4=4，即，当y=0时，0=，∴，即；∵与全等，∴分两种情况：当时，，如图所示，则，∴点Q的横坐标为：，当时，，如图所示，则，∵，∴点Q的横坐标为：；综上所述：点Q的横坐标为7或8．【点睛】本题主要考查三角形全等的应用，一次函数的应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．3．（2022秋·陕西西安·九年级校考开学考试）如图，直线l1：y＝﹣2x+6与过点B（﹣3，0）的直线l2交于点C（1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D．(1)求直线l2的解析式；(2)若点M是直线l2上的点，过点M作MN⊥y轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与△AOD全等，求所有满足条件的点M的坐标．【答案】(1)(2)（3，6），（6，3）【分析】（1）先根据点C（1，m）在直线l1上求出m的值，再根据点C和点B求出直线l2的解析式；（2）先分别计算出OA、OD的长度，再根据三角形全等的情况展开讨论，分别根据和两种情况进行计算即可得到答案．（1）解：∵C（1，m）在直线l1上，∴，∴点C的坐标为（1，4），设直线的l2的解析式为,∵点C（1，4）和点B（﹣3，0）在直线l2上，∴，解方程组得，∴直线l2的解析式为：；（2）解：直线l1上，当时，；当时，∴，，当点M在轴下方时，设点M的坐标为（m，n）,如下图所示，当时，,∵点M在直线l2上，∴，∴，∴，∵，∴,∴点M（6，3）满足条件，当时，,得，∵，∴点M（9，6）不满足题意，舍去；当点M在轴上方时，设点M的坐标为（m，n）,如下图所示，当时，,∵点M在直线l2上，∴，∴，∴，∵，∴点M（0，3）不满足题意，舍去；当时，,∵点M在直线l2上，∴，∴，∴，∵，∴,∴点M（3，6）满足条件，∴满足条件的点M的坐标为（3，6），（6，3）．【点睛】本题考查一次函数和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意求出函数的解析式．4．（2022·辽宁丹东·八年级期末）已知一次函数y=3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C(3,0)．(1)如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．求点E的坐标；(2)△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；(3)如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．【答案】(1)E（，）(2)△AOB≌△FOD，理由见详解；(3)P（0，3）或（4，1）或（，）.【分析】（1）连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，首先求出点A，点B，点C，点D的坐标，然后根据点E到两坐标轴的距离相等，得到OE平分∠BOC，进而求出点E的坐标即可；(2)首先求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，即可证明△AOB≌△FOD；(3)首先求出直线GC的解析式，求出AB的长，设P（m，m3），分类讨论①当AB=AP时，②当AB=BP时，③当AP=BP时，分别求出m的值即可解答.(1)解:连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，当y=0时，3x+3=0，解得x=1，∴A（1，0），当x=0时，y=3，∴OB=3，B（0，3），∵点D与点C关于y轴对称，C（3，0），OC=3，∴D（3，0），∵点E到两坐标轴的距离相等，∴EG=EH，∵EH⊥OC，EG⊥OC，∴OE平分∠BOC，∵OB=OC=3，∴CE=BE，∴E为BC的中点，∴E（，）；(2)解:△AOB≌△FOD，设直线DE表达式为y=kx+b，则，解得：，∴y=x+1，∵F是直线DE与y轴的交点，∴F（0，1），

∴OF=OA=1，∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，∴△AOB≌△FOD；(3)解:∵点G与点B关于x轴对称，B（0，3），∴点G（0，3），∵C（3，0），设直线GC的解析式为：y=ax+c，，解得：，∴y=x3，AB==

，设P（m，m3），①当AB=AP时，=整理得：m24m=0，

解得：m1=0，m2=4，∴P（0，3）或（4，1），②当AB=BP时，=m26m+13=0,△＜0故不存在，③当AP=BP时，=，解得：m=，∴P（，），综上所述P（0，3）或（4，1）或（，），【点睛】此题主要考查待定系数法求一次函数，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定，勾股定理.【类型三一次函数与三角形存在问题】例题：（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）如图，已知直线的解析式为，且与轴相交于点，直线经过点，，直线，相交于点．(1)求直线的解析式；(2)求的面积；(3)在直线上是否存在点使得的面积等于3，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）求得的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；（3）设点P坐标为，过P作PQ⊥x轴，交于Q，则，求出，根据三角形面积的求法列出方程，解之可得．【详解】（1）解：设直线的解析式是，根据题意得：，解得：，则直线的解析式是；（2）在中，令，解得：．则的坐标是．根据题意得：，解得：，则的坐标是，则，∴；（3）存在，设点P坐标为，过P作轴，交于Q，则，∴，∴，即，解得：或，∴点P的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数交点坐标的求法，掌握把求交点坐标转化为解两个函数的解析式组成的方程组的方法是解题关键．【变式训练】1．（2023秋·广东梅州·八年级丰顺县丰顺中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：与轴交于点C，且点，.(1)点C的坐标为(2)求原点O到直线的距离；(3)在x轴上是否存在一点P，使得是直角三角形?若存在，求出点P的坐标.【答案】(1)；(2)；(3)存在，点的坐标为或【分析】(1)令，即可求解；(2)首先可求得点A、B的坐标，根据两点间距离公式可求得的长，再根据，设原点到直线的距离为，列方程即可求解；(3)设点的坐标为，根据题意可知不为直角，分两种情况，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：令，则，解得：，所以点的坐标为；（2）解：代入A、两点可得：，，解得：，，故，，，，设原点到直线的距离为，则，解得：，故原点到直线的距离为；（3）解：存在，设点的坐标为，根据题意可知不为直角，所以当是直角三角形分两种情况：①当时，此时点的坐标为；②当，，故，解得：，此时点的坐标为；综上所述，满足条件的点的坐标为或．【点睛】本题考查了两点间距离公式，坐标与图形，求不规则图形的面积，直角三角形的判定，解答的关键是采用分类讨论的思想．2．（2023秋·辽宁沈阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动．(1)求点B和点C的坐标．(2)求的面积．(3)是否存在点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)B的坐标为，点C的坐标为(2)12(3)存在，点M的坐标是或或【分析】（1）在中，令，则；令，则，从而可得答案；（2）直接利用三角形的面积公式进行计算即可；（3）设点M的坐标为，求解直线的表达式是，由，可得，当点M在线段上时，如图①，则，此时，当点M在射线上时，如图②，时，，则点的坐标是；时，，则点的坐标是．从而可得答案．【详解】（1）解：在中，令，则；令，则．故点B的坐标为，点C的坐标为．（2）∵，，∴．（3）存在点M使．

理由如下：设点M的坐标为，直线的表达式是．∵，∴，解得．∴直线的表达式是．∵，∴．∴．当点M在线段上时，如图①，则，此时，∴点M的坐标是．当点M在射线上时，如图②，时，，则点的坐标是；时，，则点的坐标是．综上所述，点M的坐标是或或．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．3．（2023·河北沧州·校考一模）如图，直线l1的表达式为．且与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2经过点，且与直线l1交于点．(1)写出点D的坐标，并求出直线l2的表达式；(2)连接，求的面积；(3)直线上是否存在一点P，使得的周长最小？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标．【答案】(1)；(2)4(3)存在，，理由见解析【分析】（1）把点代入即可求得点D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；（2）由求得A、B的坐标，从而求得的长，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）作点A关于直线l2的对称点，连接交直线l2于P，连接，此时的值最小，即的周长最小，求出的坐标，然后求得直线的解析式，最后与直线的解析式联立，解方程即可解决问题．【详解】（1）解：∵直线经过点，∴，解得，∴，设直线的解析式为，∵直线经过点，，∴，解得，∴直线的解析式为；（2）由直线l1的表达式为可知，，∴，∴；（3）存在，理由如下：作点A关于直线的对称点，连接交直线l2于P，连接，此时的值最小，即的周长最小，由直线l2为可知，，由轴对称的性质可知，∴，∵，，∴设此时的解析式为，则有，解得，∴直线的解析式为，解得，∴．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式以及轴对称最短问题等，解题的关键是熟练掌握待定系数法、学会根据轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．4．（2023秋·广东佛山·八年级校考期末）如图，直线的函数解析式为，且与轴交于点，直线经过点，直线交于点．(1)求直线的函数解析式；(2)求的面积；(3)在直线是否存在点，使得面积是面积的2倍？如果存在，请求出坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)3(3)存在，点或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）联立两直线解析式，求出点C的坐标，再求出点D的坐标，然后根据进行求解即可；（3）分当点在点上方时：，当点在点下方时：，两种情况求出点P的坐标即可．【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，将代入得：，解得：，∴直线的函数解析式为；（2）解：联立两直线解析式成方程组得，解得：∴点的坐标为，当时，解得，∴点的坐标为，∴；（3）解：由题意得：∴当点在点上方时：，当点在点下方时：，∴或，当时，，此时点的坐标为，当时，，此时点的坐标为，综上所述：存在点或符合题意．【点睛】本题主要考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求直线围成的图形面积等等，灵活运用所学知识是解题的关键．5．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点E．已知点D的坐标为，点C在A的左侧且．(1)分别求出直线和直线的表达式；(2)在直线上，是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在坐标轴上，是否存在一点Q，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，若点P在右侧，；若点P在左侧，(3)存在，或【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出交点和，再分两种情况：①若点P在右侧，②若点P在左侧，利用三角形面积，分别求解即可；（3）分两种情况：①当时，交x轴于Q，②当时，交x轴于Q，分别求解即可．【详解】（1）解：将，代入直线：，得：，解得：，∴直线：，∵，，∴，设直线：()将，代入直线：，得：，解得：，∴直线：．（2）解：联立，解得：，∴，∴，①若点P在右侧，∵，∴，∴，解得，∴②若点P在左侧，∵S△BEP=8，∴，∴，解得，当时，，∴．（3）解：分两种情况：①当时，交x轴于Q，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②当时，交x轴于Q，同理，∴，∵，，∴，由勾股定理，得，∴，∴，综上，存在，或．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，从标与图形，三解形面积，勾股定理，等腰直角三角形，注意分类讨论思想的应用是解题的关键．【类型四一次函数中折叠问题】例题：（2023秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．与轴交于点，直线与轴交于点(1)填空：______，______，______；(2)如图2．点为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交轴于点．①求线段的长度；②当点落在轴上时，求点的坐标；③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．【答案】(1)(2)①；②点的坐标为；③点的坐标为或【分析】（1）把代入，求出，得直线：，再把代入，求出，得点的坐标，然后把代入，求出；（2）①根据折叠的性质得出，勾股定理即可求解；②过点作轴于点，作轴于点，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案；③分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标；当时，设，则，由勾股定理得：，求出，得点坐标．【详解】（1）解：把代入，，，直线：，把代入，，把代入，，，；故答案为：．（2）①∵直线：令，解得，∴点的坐标为，∵∴，∵折叠，∴；②如下图，过点作轴于点，作轴于点，则，，，，，点的坐标为；③如下图，当时，由翻折得，，，，，点的坐标为；如图，当时，设，则，在中由勾股定理得：，解得：，点的坐标为，综上，点的坐标为或．【点睛】此题考查了一次函数，勾股定理，直角三角形的性质和判定，翻折的性质，解题的关键是作辅助线．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的处，若是轴负半轴上一动点，且是等腰三角形，则的坐标为______．【答案】或或【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用勾股定理可求出的长度，进而可得出的长度，设，则在中，利用勾股定理即可得出关于的方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标，进一步求得，然后分三种情况讨论求得点的坐标即可．【详解】当时，，点的坐标为；当时，，解得：，点的坐标为．．由折叠的性质可得，．设，则．在中，由勾股定理得：，即，解得：，点的坐标为，，当时，∵，∴点O是的中点，∴；当时，则；当时，设，则，，解得，此时；综上，点的坐标为或或；故答案为：或或【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质以及勾股定理，等腰三角形的定义，在中，利用勾股定理找出关于的方程是解题的关键．2．（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，点在轴上，将沿折叠，点恰好落在直线上，求点的坐标．【答案】或【分析】由题意可求点，点坐标，即可求得，分点在正半轴和负半轴两种情况讨论，根据勾股定理可求点坐标．【详解】解：如图，若点在正半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处，∵直线与轴、轴分别相交于点，，当时，，得：，当时，，∴，，∴，，∴，∵将沿翻折，点恰好落在直线上点处，∴，，，∴，在中，，∴，∴，∴；如图，若点在负半轴上，将沿翻折，点恰好落在直线上点处，∴，，，∵，∴，在中，，∴，∴，∴；综上所述，点的坐标是或．【点睛】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点坐标，勾股定理，折叠的性质，运用了分类讨论的思想．熟练运用折叠的性质是解题的关键．3．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)求点A，B的坐标；(2)在直线上是否存在点P，使是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若将折叠，使边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕所在直线的表达式．【答案】(1)，；(2)存在，点坐标为；(3)折痕的解析式为．【分析】（1）利用直线解析式，容易求得、的坐标；（2）作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则点即为所求，可求得点坐标，则容易求得点坐标；（3）可设，由折叠的性质可得到，，在中，由勾股定理可得到关于的方程，可求得的值，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式．【详解】（1））在中，令可得，令可求得，，；（2）如图1，作线段的垂直平分线，交轴于点，交于点，则，即点即为满足条件的点，，，在中，当时，可得，点坐标为；（3）如图2，设，则，，，由折叠的性质可得，，，，在中，由勾股定理可得，即，解得，，，设直线解析式为，，解得，折痕的解析式为．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、待定系数法、方