新人教版高中数学必修一第二章检测

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选择题(共13小题)

1.(2015♦河南二模)已知f(x)=e',xGR,a<b,记A=f(b)-f(a),B=1(b-a)(f(a)+f(b)),则A,B

2

的大小关系是()

A.A>BB.A>BC.A<BD.A<B

2.(2015•开封模拟)已知集合A={xly=lg(x-1)},B={yly2-2y-3<0},则ACB=()

A.{xll<x<3}B.{yll<y<3}C.{xll<x<3}D.{xll<x<3}

3.(2015•赤峰模拟)设a=log(),32,b=20-3,c=0.32,则这三个数的大小关系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

x

4.(2015•四川模拟)已知定义在R上的函数f(x)=log2(a-b+l)(a>0,awl)的图象如图所示，则a,b满足

的关系是()

B.0<bI<a<lC.0<b<a!<1D.0<a'<b<l

5.(2014•湖南)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产

总值的年平均增长率为()__

A.p+qB.(p+1)(q+1)-1C.Vpq

V(p+1)(q+1)-1

F2

6.(2014•山东)已知实数x,y满足a*<ay(0<a<l),则下列关系式恒成立的是()

A.11B.In(x2+1)>ln(y2+l)C.sinx>sinyD.x'>y'

—±—>--—

x2+ly2+l

7.(2014•山东)已知实数x,y满足@*<@丫(OVaVl),则下列关系式恒成立的是()

A、

A.x3>y3B.sinx>sinyC.In(x2+l)>ln(y2+1)D.11

—±—>--—

x2+ly2+l

1

8.(2014•辽宁)已知a=23,b=log2-^>c=log则()

13,

32

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

9.(2014•湖南)若0VxiVx2Vl,则()

A.B.

xxxx

e2-ei>lnx2-Inxie2-gi<lnx2-Inxj

C.XXD.XX

X2el>Xie2X2el<Xle2

、~~11

10.（2014•辽宁）已知a=93,b=log/,c=log,则（）

乙一3尹

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

11.（2014•成都一模）设a=log32,b=ln2,c=5亍，则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

12.（2014•四川）已知b>0,k）g5b=a,lgb=c,5d=10,则卜列等式一定成立的是（）

A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c

13.（2014•天津）设a=log2n,b=log/，c=n2,则（）

2

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

二.填空题（共4小题）

14.（2015•惠州模拟）计算：Iog318-log32=

15.（2014•重庆）函数f（x）=log2Vx,log被（2x）的最小值为

_21

16.（2014•龙泉驿区模拟）计算:（。.。27）［（.）-2+吗产-（亚-1）。=

2__1_

17.（2014•南阳三模）设a=ob=Qg4,c=log50.3,则a,b,c从小到大的顺序是

三.解答题（共13小题）

18.（2014•上海）设常数a20,函数f（x）=2+a.

2X-a

（1）若a=4,求函数y=f（x）的反函数丫=/1（x）；

（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由.

19.（2014•徐汇区一模）某种海洋生物的身长f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系:

f（t）=~^―.（设该生物出生时的忖刻t=0）

1+2-小

（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米？

（2）该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快.

20.（2014•嘉定区二模）设a是实数，函数f（x）=4X+I2X-al（xGR）.

（1）求证：函数f（x）不是奇函数；

（2）当a40时，解关于x的方程f（x）=a2；

（3）当a>0时，求函数y=f（x）的值域（用a表示）.

21.(2014•崇明县一模)解方程：kg(2-3)=l+logq.

JXJ3

22.(2014•眉山一模)己知函数f(x)=ex,xGR

(1)求f(x)的反函数图象上点(1,0)处的切线方程；

(2)证明：曲线y=f(x)与曲线y=*2+x+l有唯一公共点；

(3)设a<b,比较fQ).与f(一,(？)-的大小,并说明理由.

2b一a

23.(2014•崇明县二模)设f(x)=log[(匚:)为奇函数，a为常数，

1X-1

2

(I)求a的值；

(II)证明：f(x)在(1,+oo)内单调递增；

(III)若对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>(-1)“+rn恒成立，求实数m的取值范围.

24.(2014•宝山区二模)设函数g(x)=3X,h(x)=9X.

(1)解方程：x+log3(2g(x)-8)=log3(h(x)+9)；

g(x)+P++P(

(2)令p(x)=---------—q(x).3求证：P(嘉)(募)-篇)(籍)不

g(X)+V3h(x)+3

(—--)+q(——)+...+q+q(,期」)

2014201420142014

(3)若f(x)红空士是实数集R上的奇函数，月.f(h(X)-1)+f(2-k*g(x))>0对任意实数x恒成

g(x)+b

立，求实数k的取值范围.

2

25.(2014•德阳一模)已知f(x)=log2(2x-x).且关于x的方程2仆)=kx+l有两个不相等的实根x1、x2.

(1)求f(x)的定义域；

(2)求k的取值范围M；

(3)是否存在实数n,使得不等式n2+n+l>2lxi-X2I对任意的keM恒成立？若存在，求出n的取值范围，若不存

在，请说明理由.

2

26.(2014•上海模拟)已知f(x)=lg(74x+b+2x)，其中b是常数.

(1)若y=f(x)是奇函数，求b的值；

(2)求证：y=f(x)的图象上不存在两点A、B,使得直线AB平行于x轴.

27.(2014•江苏模拟)设集合A={yly=^2，x>0,且一xwl},集合B={xly=lg[x2-(2a+l)x+a2+a],aGR).

x-1

(1)求集合A,B；

(2)若AUB=R,求实数a的取值范围.

28.(2014•江苏模拟)设f(x)=晦1二ax-x为奇函数,a为常数.

X-1

(1)求a的值；

(2)判断并证明函数f(x)在xe(1,+8)时的单调性；

(3)若对于区间［2,3］上的每一个x值，不等式f(x)>2X+m恒成立，求实数m取值范围.

2

29.(2014•德阳一模)已知f(x)=log2(2x-x),且关于x的方程2,便=kx+l有两个不相等的实根xi，x2.

(1)求f(x)的定义域；

(2)求k的取值范围M：

(3)是否存在实数n,使得不等式J+tn+IAZxi-X2l对任意的k€M及t€［-1,1］恒成立？若存在，求出n的取值

范围：若不存在，请说明理由.

30.(2014•长宁区一模)已知函数f(x)=2-l°g-也为奇函数.

X21-x

(1)求常数a的值；

(2)判断函数的单调性，并说明理由；

(3)函数g(x)的图象由函数f(x)的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出g(x)的一个

对称中心，若g(b)=1,求g(4-b)的值.

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参考答案与试题解析

—.选择题(共13小题)

1.(2015♦河南二模)已知f(x)=e',xGR,a<b,记A=f(b)-f(a),B=1(b-a)(f(a)+f(b)),则A,B

2

的大小关系是()

A.A>BB.A>BC.A<BD.A<B

考点：指数函数单调性的应用.

专题：计算题.

分析：利用特殊值验证，推出A,B的大小，然后利用反证法推出A=B不成立，得到结果.

解答：解：考查选项，不妨令b=l,a=0,贝ijA=e-l,B=A(e+l).

2

Ve<3>=>2e-2<e+l=>e-1<—(e+l).

2

B|JA<B.排除A、B选项.

若A=B,则eb-e'」(b-a)(eb+ea)>

2

整理得：(2-b+a)eb=(b-a+2)ea

观察可得2=1?,与a<b矛盾，排除D.

故选：C.

点评：本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大.考查学生灵活解

题能力.

2.(2015♦开封模拟)已知集合人=陞&=怆(x-1)},B={yly2-2y-3<0},则ACB=()

A.{xll<x<3}B.{yll<y<3}C.{xll<x<3}D.{xll<x<3}

考点：对数函数的定义域；交集及其运算.

专题：函数的性质及应用；集合.

分析：求解函数的定义域化简集合A,求解一元二次不等式化简集合B,然后利用交集运算得答案.

解答：解：由x-1>0,得x>l.

A={xly=lg(x-1)}={xlx>1},

由y--2y-3<0>得-l<y<3.

**.B={yly2-2y-3<0}={yl-l<y<3},

则AnB={xll<x<3}.

故选：C.

点评：本题考查了函数的定义域的求法，考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题.

3.(2015・赤峰模拟)设a=log().32,b=20-3,c=0.32,则这三个数的大小关系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD・a<c<b

考点：对数值大小的比较.

专题：函数的性质及应用.

分析：利用对数函数和指数函数的单调性求解.

解答:Ma=logo,32<logo.31=0,

b=2°-3>2°=l,

0<C=0.32<0.3°=L

/.a<c<b.

故选:D.

点评：本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的单调性的合理

运用.

x

4.(2015•四川模拟)已知定义在R上的函数f(x)=log2(a-b+l)(a>0,a^l)的图象如图所示，则a,b满足

的关系是()

B.0<b-1<a<lC.0<b<a-1<lD.0<a'<b<l

考点：对数函数的图像与性质.

专题：计算题；函数的性质及应用.

1

分析：由图可知，a>l,f(0)=log2(1-b+1),故0<log2(1-b+1)<1,log2(a'-b+1)<0,从而解得.

解答：解：由图可知，a>l,f(0)=log2(1-b+1),

故0<log2(1-b+1)<1,

即0<b<l,

log2(a1-b+1)<0,

即aWb,

故选D.

点评：本题考查了函数图象的应用，属于基础题.

5.(2014•湖南)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产

总值的年平均增长率为()_

-

A.p+qB.(p+1)(q+1)1C.-\/pqDV(p+1)~(q+1)1

~22

考点：有理数指数幕的化简求值.

专题：函数的性质及应用.

分析：根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论.

解答：解：设原来的生产总值为a,平均增长率为x,

贝IIa(1+p)(1+q)=a(1+x)2,

解得1+X=V(p+D(q+1)'

即X=V(p+1)~(q+1)-11

故选：D.

点评：本题主要考查指数嘉的计算，根据条件建立条件关系是解决本题的关键，比较基础.

6.(2014•山东)已知实数x,y满足aX<aY则下列关系式恒成立的是()

A.11B.In(x2+l)>ln(y2+l)C.sinx>sinyD.x3>y3

—±—>--—

x2+ly2+l

考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质.

专题：函数的性质及应用.

分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.

解答：解：•・,实数x,y满足aXVa、'(OVaVl),...x>y,

A.若x=l,y=-l时，满足x>y,但一^=—^—―，故一^—>—y—不成立.

x2+ly+12x2+ly+1

B.若x=l,y=-1时，满足x>y,但In(x2+1)=ln(y2+1)=ln2,故In(x2+l)>ln(y2+l)不成立.

C.当X=TI,y=O时，满足x>y,此时sinx=siim=O,siny=sinO=O,Wsinx>siny,但sinx>siny不成立.

D・•・,函数y=x3为增函数，故当x>y时，x3>y3,恒成立，

故选：D.

点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.

7.(2014•山东)已知实数x,y满足aX〈aY(OVaVl),则下列关系式恒成立的是()

A.x3>y3B.sinx>sinyC.In(x2+l)>ln(y2+l)D.11

—1—>—t—

x2+ly2+l

考点：指数函数的图像与性质.

专题：函数的性质及应用.

分析：本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.

解答：解：■・•实数x,y满足a'VaY(OVaVl),，x>y,

A.当x>y时，x3>y3,恒成立，

B.当x=n,丫=今•时，满足x>y，但sinx>siny不成立.

C.若In(x2+l)>ln(y2+l),则等价为x?>y2成立，当x=l,y=-l时，满足x>y,但不成立.

D.若「^>一~,则等价为x2+l<y2+I,即x2<y2,当x=l,y=7时，满足x>y,但x2<y2不成立.

x2+ly2+l

故选：A.

点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.

8.(2014•辽宁)已知a=23,b=log2-i,c=logj—,则()

3—0

2

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

考点：对数的运算性质.

专题：计算题；综合题.

分析：利用指数式的运算性质得到0<a<I,山对数的运算性质得到b<0,c>l,则答案可求.

解答：__1

解：VO<a=23<2°=1,

b=log>i<log?1=0,

一3

^=l°g23>log22=l,

c=log1

2

/.c>a>b.

故选：c.

点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特

殊值能起到事半功倍的效果，是基础题.

9.（2014•湖南）若0<xi<X2<l,则（

A

xxxx

■e2-ei>lnx2-Inxie2-ei<lnx2-lnxi

Dxx

CXX-xKx2

X2el>X|e22ele

考点：对数的运算性质.

专题：导数的综合应用.

分析-

分别设出两个辅助函数f(x)=ex+lnx,g(x)邑由导数判断其在(0,1)上的单调性，结合已知条件

x

0<Xi<X2<l得答案.

解答:解：令f(x)=ex+lnx,

f(x)=eX4—>

x

当OVxVl时，f'(x)>0,

：.f(x)在(0,1)上为增函数，

V0<X1<X2<L

・X./X2

e+lnX］〈e+lnx2，

X1

即产-e>lnx1-lnx2-

由此可知选项A,B不正确.

令g(x)

X

//\xeX_eX

g(x)=----2-，

x

当OVxVl时，g'(x)<0.

・・・g(x)在(0,1)上为减函数，

V0<x1<x2<l,

即为£】〉町/2.

・,・选项C正确而D不正确.

故选：C.

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，解答此题的关键在于想到构造两个函数，是中

档题.

10.（2014•辽宁）已知a=23,b=log2-^»c=log3，则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

考点：对数的运算性质.

专题：计算题；综合题.

分析：利用指数式的运算性质得到0<a<l,山对数的运算性质得到b<0,c>l,则答案可求.

解答：

解：VO<^a=23V20=1,

b=log2-^<log21=0,

3

c=log看log23>10g22=1,

2

.,«c>a>b.

故选：D.

点评：本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特

殊值能起到事半功倍的效果，是基础题.

11.（2014•成都一模）设a=log32,b=ln2,c=g2,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

考点：对数值大小的比较；换底公式的应用.

专题：计算题；转化思想.

分析：根据a的真数与b的真数相等可取倒数，使底化相同，找中间量1与之比较大小，便值a、b、c的大小关系.

解答：11

解：a=logj2=----------,b=ln2=----------,

log23log2e

ffolog23>log2e>L所以aVb,

c=5，喷，而粕>2=log24】。g23,

所以c<a,综上c<a<b,

故选C.

点评：本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式

中的倒数法则的应用.

12.（2014•四川）已知b>0,k）g5b=a,lgb=c,5d=I0,则下列等式一定成立的是（）

A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c

考点：对数值大小的比较.

专题：函数的性质及应用.

分析：利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出.

解答：解：由5d=10,可得

cd=lgb-^=logsb=a.

“lg5

故选：B.

点评：本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题.

13.（2014•天津）设a=log2n,b=log严，c=n2,则（）

2

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a

考点：对数值大小的比较.

专题：函数的性质及应用.

分析：根据对数函数和黑函数的性质求出，a,b,c的取值范围，即可得到结论.

解答：解：log2n>1,log严<0,0<n2<1,

~2

即a>l,b<0,0<c<l,

,*.a>c>b,

故选：C

点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和募函数的性质是解决本题的关键，比较基础.

—.填空题(共4小题)

14.(2015•惠州模拟)计算：log318-loga2=2.

考点：对数的运算性质.

专题：函数的性质及应用.

分析：根据对数的运算法则求得要求式子的值.

解备：解：log318-log32=log-i^=log39=2,

J2

故答案为：2.

点评：本题主要考查对数的运算性质的应用，属于基础题.

15.(2014•重庆)函数f(x)=log7A/x,logj-(2x)的最小值为_.

72~4-

考点：对数函数图象与性质的综合应用；换底公式的应用.

专题：函数的性质及应用.

分析：利用对数的运算性质可得f(x)=(log^x+l)2-1,即可求得f(x)最小值.

解•合：解：(x)=log24・log(2x)

；.f(x)=llog近Mog遮(2x)

4'°gV2X，，OgV2(2x)

4'°gV2X(，OgV2X+，OgV22)

4'°gV2X(1°gV2X+2)

4(loMx+1)2-T

・••当logx+l=0

V2

即X此时，函数f(x)的最小值是

24

故答案为：

4

点评：本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中

档题.

_21

32

16.(2014•龙泉驿区模拟)计算：(0.027)-(-A)-+(2^)2-(、万-1)°=-45.

79vz

考点：有理数指数幕的运算性质.

专题：计算题.

分析：把基指数小于0的写到分母上去，变代分数为假分数加以开方，最后一项用非0的0次事等于1.

解答：二1

解:(0.027)(-1)-2+(2$/-(V2-l)°

1------\一人俘--49+--1=-45-

当0.027(-A)2V90.33

故答案为-45.

点评：本题考查了有理指数幕的运算性质，解答的关键是熟记有关性质，同时需熟练掌握分数指数幕与根式的互

化，属基础题.

17.(2014•南阳三模)设a=0§2，b=gg4,c=k>g5().3,则a,b,c从小到大的顺序是c<a<b.

考点：有理数指数基的化简求值：对数的运算性质.

专题：函数的性质及应用.

分析：利用指数函数和对数函数的性质，分别判断a,b,c的大小取值范围，然后判断大小即可.

解答：j__2

解：0<0.5^<1，0.9I>1，logc0.3<0-

0

所以b>a>c,即cVaVb.

故答案为：c<a〈b.

点评：本题主要考查指数函数和对数函数的取值的应用，利用指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键.

三.解答题(共13小题)

18.(2014・上海)设常数a20,函数f(x)=2+a.

2X-a

(1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数丫=/1(x)；

(2)根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由.

考点：反函数；函数奇偶性的判断.

专题：函数的性质及应用.

分析：(1)根据反函数的定义，即可求出，

(2)利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决.

解答：解：(1)；a=4,

../x_2x+4

••f(x)------=y

2X-4

力用，

y1

.i4H4

•,x=log---

z9y-1

，调换x,y的位置可得尸f1(x)=logx6(-°°,-1)U(1,+8).

zx-1

(2)若f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)对任意x均成立，

xXXX

,2+a=2+a,整理可得a(2-2)=0.

2X-a2-x-a

V2X-2r不恒为0,

.,.a=0,此时f(x)=l,xGR,满足条件;

若f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)对任意x均成立，

2

2「+a二_.2;十豆,整理可得a-1=0,

2X-a2~x-a

/.a=±19

Va>0,

•・3-1,

此时f(x)=2+1,x卢0，满足条件；

2X-1

综上所述，a=0时，f(x)是偶函数，a=l时，f(x)是奇函数.

点评：本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题.

19.(2014•徐汇区一模)某种海洋生物的身长f(t)(单位：米)与生长年限t(单位：年)满足如下的函数关系:

f(t)=_^―.(设该生物出生时的忖刻t=0)

1+2-1

(1)需经过多少时间，该生物的身长超过8米？

(2)该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪•年长得更快.

考点：指数型复合函数的性质及应用.

专题：函数的性质及应用.

分析：(1)根据函数表达式直接解不等式即可，

(2)计算f(2)和f(3)的值，然后比较大小即可.

解答：解：(1)设f(t)=_”_>8,

1+2一百

即22号,

解得t>6,

即该生物6年后身长可超过8米.

(2)由于f(3)⑵上一上二

1+21+223

f(4)-f(3)=JA-

1+11+23

.•.第3年长了W米，第4年长了王米,

33

.•.第4年长得快.

点评：本题主要考查与指数函数有关的性质的计算，要求熟练掌握指数函数的图象和性质.

20.(2014•嘉定区二模)设a是实数，函数f(x)=4X+I2X-al(x6R).

(1)求证：函数f(x)不是奇函数；

(2)当avO时，解关于x的方程f(x)=a2；

(3)当a>0时，求函数y=f(x)的值域(用a表示).

考点：指数型复合函数的性质及应用；函数奇偶性的判断.

专题：函数的性质及应用.

分析：(1)根据奇函数定义，利用反证法证明

(2)讨论a的范围，解方程即可

(3)利用换元将函数变为二次函数，进而利用二次函数的单调性求值域

解答：解：(1)证明：假设f(x)是奇函数，

则对于一切xeR,有f(-x)=-f(x),

Af(-0)=-f(0),即f(0)=0,

又f(0)=4°+l2°-alSl,

矛盾，所以假设不成立，

故f(x)不是奇函数.

(2)V2x>0,4x>0,

...当aSO时，f(x)=4X+2X-a,

由f(x)=a2,得4X+2X-a=a2,

即4X+2X-a(a+1)£

解得2、=a(舍去)或2、=-(a+1)；

二当a+120时，BP-l<a<0时，原方程无解;

当a+1VO,即aV-1时,原方程的解为x=log2[-(a+1)].

(3)令t=2、,则t>0,原函数变成y=t?+lt-al

Va>0

.t2-t+a,0<t<a

••y=<,

12+t-a,t>a

对于OVtVa,有y=(t­)2+a-工，

24

当0<a<3时，y是关于t的减函数，y的取值范围目，a)；

、'la，^时，ymin=a-2，

XaVl时，y的取值范围是忸-卷a),

aNl时，y的取值范围是[a-工，a?)；

4

对于t>a,有yl+Lau(t+A)?-&-'是关t的增函数，其取值范围(a2,+-).

综上可知，

当0<a<1时，函数y=f(x)的值域是目，+8)；

2

当时，函数y=f(x)的值域是[a-3,+°°).

点评：本题主要考察了函数的奇偶性以及复合函数的相关性质，综合性较强，属于难题.

2

21.(2014•崇明县一模)解方程：kg(X-3)=l+logq.

JJ3

考点：对数的运算性质.

专题：函数的性质及应用.

分析：由原方程可化简得kg?02-3)=log33(x-至)，利用对数函数的单调性和定义域可得

\2-3>0

3Cx--)〉0

，3，解得即可.

X2-3=3(X-1)

2

解答：解：由原方程化简得1叫(X-3)=log33(x-1)，

\2-3>0

..3(x-^)>0

X2-3=3(X-1)

解得x=2.

经检验x=2是原方程的实数根.

，原方程的实数根是x=2.

点评：本题考查了对数函数的单调性和定义域，属于基础题.

22.(2014•眉山一模)己知函数f(x)=ex,xGR

(1)求f(x)的反函数图象上点(1,0)处的切线方程；

⑵证明：曲线y=f(x)与曲线y=#+x+l有唯一公共点；

(3)设a<b,比较f@+,")一与工-f©-的大小,并说明理由.

2b-a

考点：反函数.

专题：函数的性质及应用.

分析：(D先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可.

(II)令h(x)=f(x)-(lx2+x+l)=ex-lx2-x-I,利用导数研究函数h(x)的单调性即可得出.

22

faba

(III)利用作差法得底仕』仕)-f(a)=e,[(b_a+2)+(b-a-2)«e].构

2b-a2(b-a)

造函数，令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),利用导数的符号研究其单调性，可得g(x)的符号，从而得

到f(a)+f(b)(b)-f(一一的大小关系.

2b-a

解答：解：⑴由于f(x)=ex的反函数为g(x)=lnx(x>0),

则点(1,0)处的切线斜率为卜;8,(1)=1,故点(1,0)处的切线方程为y-0=lx(x-1),

即x-y+l=0.

(2)证明：设h(x)=f(x)-(-x2+x+l)=ex--x2-x-1,

22

贝ijh'(x)=ex-x-1,h"(x)=ex-1,故当x<0时，h"(x)<0,h*(x)为减函数.

当x>0时，h"(x)>0,h'(x)为增函数.

故当x=0时，h'(x)取得最小值为0,故有h'(x)20恒成立，

故函数h(x)在R上是增函数，故函数h(x)最多有一个零点.

再根据h(0)=0,可得函数h(x)有唯零点.

小评/h-fQ)+f(b)

(3)攻aVb,.----------------------

2

f(b)-f(a)(2+b1a)f(a)+(b-2-a)f(b)(2+b-a)*ea+(b2a)»eb

b-a2(b-a)2(b-a)

baa

(b-a+2)+(b-a-2)-e-aerc工c…

2(b-a)2(b-a)

a

由于一厂^―r—>0,故只需考虑(b-a+2)+(b-a-2)eeba的符号即可.

2(b-a)

令g(x)=x+2+(x-2)ex(x>0),贝ijg'(x)=1+(x-1)ex.

在(0,+°°)上，g"(x)=xex>0,・・・V(x)在(0,+oo)上单调递增，且/(0)=0,

,,

..g(x)>0,Ag(x)在(0,+8)上单调递增，而g(0)=0,...在(0,+8)上，g(x)>0.

..土、八叶,、,,z、、x、八口.(b-2+a)+(b-2+a)eba»ea^

.当x>0时，g(x)=x+2o+(x-2)«e>0,且a<b,------------------------------------------------------>0A,

2(b-a)

anf(a)+f(b)f(b)-f(a)

2b-a

点评：本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了

分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.

23.(2014•崇明县二模)设f(x)=log[(二为奇函数，a为常数，

1X-1

2

(I)求a的值；

(II)证明：f(X)在(1,+8)内单调递增；

(III)若对于[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>(1)x+m恒成立，求实数m的取值范围.

考对数函数图象与性质的综合应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质.

点：

分(1)利用奇函数的定义找关系求解出字母的值，注意对多解的取舍.

析：(2)利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性，关键要在自变量大小的前提下推导出函数值的大小.

(3)将恒成立问题转化为函数的最值问题，用到了分离变量的思想.

解解：(1)Vf(x)是奇函数，Af(-x)=-f(x).

答：••・1/(上冷")=-logi(匕牛)7*/1>0=1[22=1_*24=±1.

1-X-11X-1-X-11-ax

22

检验a=l(