2020-2021学年唐山市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年唐山市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1,下列说法错误的是（）

A.命题“若比2-3%+2=0,则久=1”的逆否命题为：“若x*1则/一3x+2力0”

B.命题P：'勺xeR,使得/+尤+1<0"，则-1P:“Wx€R,均有/+X+1N0”

C.若“p且q”为假命题，则p,q至少有一个为假命题

D.若五#6,则方方=行］”是“石=铲的充要条件

2.一直平面内的定点4B和动点P,则“动点尸到两定点4B的距离之和为为一定值”是动点P的

轨迹是以4B为焦点的椭圆的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

3.已知直线《工+》一［=0与直线版一（4'+1）3-1=0互相垂直，贝©4句的最小值为（）

A.5B.4C.2D.1

22

4.已知点尸是双曲线台一色=l（a>0,6>0）的右焦点，点C是该双曲线的左顶点，过尸且垂直于x

轴的直线与双曲线交于4B两点，若△ABC是锐角三角形，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A.（1,2）B.（1,+8）C.（2,1+V2）D.（1,1+V2）

5.已知椭圆或£=.1（创海铜扪，M,N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，

鬻-劭

且直线PM,PN的斜率分别为时离，则椭圆的离心率为（）

AgB.孝C.D・雪

6.某四棱锥的三视图如图所示（单位：czn）,则该四棱锥的表面积是（）

正视图fil视困

A.(13+3V7)cm2B.(12+4V3)cm2C.(18+3V7)cm2D.(15+3V7)cm2

7.已知抛物线的标准方程是y2=6x,则它的焦点坐标是（）

A.(|,0)B.(-|,0)C.(0,|)D.(0,-|)

8.三梭锥2-BCD的高AH=3V3,若AB=AC,二面角4-BC-。为条G为公ABC的重心，则HG

的长为()

A.V5B.V6C.V7D.V10

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.已知函数/(%)=sina%—as讥%,%G[0,2TT],其中a—仇。>1,则下列说法中正确的是()

A.若f(x)只有一个零点，则a6(0,}

B.若/Xx)只有一个零点，则/(x)20恒成立

C.若f(x)只有两个零点，则aG(1,|)

D.若f(%)有且只有一个极值点Xo，则f0。)<a+l?3a-l1.兀恒成立

10.已知a,b为正实数,直线%+y+a=0与圆(％-b)2+(y-1)2=2相切，则()

A.直线久+y+a=0与直线％+y-b=0的距离是定值

B.点(一a,b)一定在该圆外

C.，一+的最小值是1

2

2

D.W的取值范围是(°，+8)

11.下列说法正确的是()

A.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,1000,从这些新生中

用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，贝U616号学生也会被抽

到

B.某围棋盒子中有多粒大小相同的黑子和白子，已知从中任意取出2粒都是黑子的概率为}2粒

都是白子的概事为蔡，则从中任意取出2粒恰好是不同色的概率为工

C.过(修,乃)，(与，火)两点的直线方程为悬=言

D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

12.已知Fi，F2分别为双曲线C：5一5=1缶>0,6>0)的左、右焦点，C的一条渐近线/的方程为

y=V3x,且6至W的距离为3百，点P为C在第一象限上的点，点Q的坐标为(2,0),PQ为乙F^PF2

的平分线，则下列正确的是()

A.双曲线的方程为9―1=1B.霜=2

C.|西+恒|=3①D.点P至此轴的距离为竽

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设F为抛物线y2=8%的焦点，A,B为抛物线上两点，若荏=2而，则|瓦5|+2|而|=.

14.三棱锥P—ABC中，PA=4,^PBA=/.PCA=90°,△ABC是边长为2的等边三角形，则三棱锥

P-4BC的外接球球心到平面ABC的距离是.

15.已知两点4(9,4)和B(3,6),则以为直径的圆的方程为.

16.与双曲线/—竺=1有共同的渐近线，且过点(-1,4)的双曲线方程是.

4

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知a＞阻a力1.条件p：函数/'(无)=log(2a-i)%在其定义域上是减函数；条件q：函数g(x)=

Jx+|光一a|-2的定义域为R.如果pVq为真，试求a的取值范围.

18.已知圆Q：x2+y2-2x-2y-3=0,直线/经过点P(0,2)交圆的于4、B两点.

(I)若［4升=2V3,求直线/的方程；

(口)若经过点M(8,5)的圆。2与圆的相切于点N(2,3),求圆C2的方程.

19.如图1所示，在凸四边形ABC。中，^ACB=AADC=^DAC=NC4B=£AB=4,点E为4B

26

的中点，M为线段2C上的一点，且ME1AB,沿着2。将4DAC折起来，使得平面口4c，平面B2C,

如图2所示.

(1)证明：BC14D；

(2)求平面MDE与平面DEB所成锐二面角的余弦值.

图1图2

20.（本小题满分15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器

鼻,鼻

运行（按顺时针方向）的轨迹方程为三带或=口，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）

后返回的轨迹是以y轴为对称轴、嬲:螂，三j:为顶点的抛物线的实线部分，降落点为激解il磁.观

测点.<W:，蹴蒯顺:同时跟踪航天器.

（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

（2）试问：当航天器在%轴上方时，观测点4B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出

变轨指令？

21.如图，在三棱锥P—ABC中，P4J_平面ABC,AB1BC,DE垂直

平分线段PC,且分别交4C、PC于D、E两点,PB=8C,P2=28=1.

（1）求证：PC_L平面BDE；AI

（2）求直线BE与平面PAC所成角的余弦值.

22.（本小题共14分）

已知椭圆C：之外与=蜘曲曲演顾，左焦点题-点顺:，且离心率籍=上

（I）求椭圆C的方程；

（口）若直线副:般=.舐叫喊款.孝顺:与椭圆C交于不同的两点魏谶（魏谶不是左、右顶点），且以£独

为直径的圆经过椭圆C的右顶点4求证：直线看过定点，并求出定点的坐标.

参考答案及解析

L答案：D

解析：解：根据逆否命题是对命题的条件、结论分别进行否定且交换条件与结论可知A正确

根据特称命题的否定是全称命题可知B正确

根据复合命题的真假关系可知，当“p且q”为假命题，则p,q至少有一个为假命题，故C正确

若五力6,贝明二不时，有1•b=反•3但是若1・6=1亮时，不一定有b=自故。错误

故选。

根据逆否命题是对命题的条件、结论分别进行否定且交换条件与结论可判断；

根据特称命题的否定是全称命题可判断B

根据复合命题的真假关系可知，当“p且q”为假命题，则p,q至少有一个为假命题，

a0,若日•/?=??,那寸，不一定有b=F，

本题主要考查了四种命题的关系，全称命题与特称命题的关系及复合命题的真假关系及向量的数量

积的性质的简单应用

2.答案：A

解析：解：若点P的轨迹是以4B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点48的距

离之和|P4|+\PB\=2a（a>0,且a为常数）成立是定值.

若动点P到两定点4,8的距离之和|P4|+|PB|=2a（a>0,且a为常数），当2aW|2B],此时的轨

迹不是椭圆.

••・“动点P到两定点A,B的距离之和为为一定值”是动点P的轨迹是以4B为焦点的椭圆的必要不充

分条件.

故选：A.

结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键.

3.答案:C

解析：解：•••直线"与"的斜率存在，且两直线垂直，

a2b—（a2+1）=0,

,a2+i、.

b=>0，

11

当a>0时，\ab\=ab=a+->2；当a<0时，|ab|=-ab=-a—展之2,

综上，|曲|的最小值为2.

故选c

4.答案:A

解析：解：•・・△ABC是锐角三角形

・•.”CB为锐角

・•,双曲线关于x轴对称，且直线4B垂直;c轴

/-ACF=乙BCF<45°

AF<CF

・•,尸为右焦点，设其坐标为(c,0)

所以a(c,9)

2

所以AF=th,CF=a+c

a

1.2

••・一Va+c即—ac—2a2<0

a

解得-1<(<2

双曲线的离心率的范围是(1,2)

故选：A.

利用双曲线的对称性及锐角三角形"CF<45。得到4尸<CF,求出4的坐标；求出”，CF得到关于

a,b,c的不等式，求出离心率的范围.

本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c2=a2+b2、考查双曲线的离心率问题就是

研究三参数a,b,c的关系.

5.答案：C

解析：试题分析：设点叭小㈤，则N(—m,f),其中父书三=」，则点=那门1坞)：……①

物,皆不溟严

设尸(久,y),因为点P在椭圆上，所以即/=£科01暗：..........②

辞-胡献

考点：本题考查椭圆的基本性质；椭圆的离心率；直线的斜率公式。

点评：本题主要考查了椭圆的应用，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力.

6.答案：D

解析：解：几何体是一个底面为边长为3的正方形，高为百的四棱锥，S全=?X3X2+；X3X2+

|x3xV7+|x3xV7+3x3=15+3V7,

故选：D.

三视图复原的几何体是一个底面为边长为3的正方形，高为次的四棱锥，求出几何体的表面积即可.

本题是基础题，考查三视图复原几何体的形状的判断，几何体的侧面积的求法，考查计算能力，空

间想象能力.

7.答案：A

解析：解：根据题意，抛物线的标准方程是必=6x,

其焦点在x轴正半轴上，且p=3,

则其焦点坐标为(|,0);

故选：A.

根据题意，由抛物线的标准方程分析可得其焦点在久轴正半轴上，且p=3,进而由焦点坐标公式计

算可得答案.

本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线的标准方程，关键是掌握抛物线的焦点坐标公式.

8.答案：C

解析：解：如图，

AHL^BCDS.AH=3V3,AB=AC,/>

取BC的中点E,连接4E,贝连接HE,/\

可得HE,BC,则乙为二面角2—BC—0为$/1

•••EH=AH-cot-=3V3X—=3,AE=6,.........-------------------31

33BEC

-I

又G为AABC的重心，EG=*=2,

由余弦定理可得G“=J22+32-2x2x3xcos^=V7.

故选：C.

由题意画出图形，取BC中点E,连接4E,HE,可得乙4EH为二面角A-BC-D的平面角，利用余弦

定理求解.

本题考查棱锥的结构特征，二面角的问题，考查学生逻辑思维能力，是中档题.

9.答案：ABD

解析：解：构造函数g(x)=》一"％-1,其中％>0,

则"(%)=1一；？，

当0<x<1时，g'(x)<0,函数g(%)单调递减，

当%>1时，d(%)>0,函数g(%)单调递增，

所以,9(.x^min=9(1)=

因为a—Ina>1,

所以a>。且aW1,

/(%)=sinax-asinx,则/(0)=0,

当a>1时，/(?)=sin9—asin^=sin^—a<0,

〃/3兀、."3an.37T.3。兀,、八

j\~^"J=sin——CLSiTt—sin——I-a>0,

由零点的存在定理可知，函数/Q)在G，芳)内至少有一个零点，

所以，当a>1时，函数f(%)在区间［0,2汨上至少有两个零点，

所以，当函数/(%)在区间［0,2兀］上只有一个零点时，OVaVI,

对于/：当0<a<1时，/'(%)=acosax—acosx=a(cosax—cos%),

因为0<aV1,则。<^<p0<2an<2TT,

fr(~)=acosy>0,/'(27T)=a(^cos2an—cos2n)=a^cos2air-1)<0,

由零点存在定理可得，函数/(%)在区间G，2TT)上至少有一个极值点，

令/'(%)=°，可得cosa%=cosx,

当％G(0,2兀)时，0Vcur<%V2TT,由cosax=cosx=COS(2TT—%),

可得a%=2TI—x,解得％=

a+l

所以函数/。)在区间(0,2兀)上有且只有一个极值点％=名，

作出函数yi=cosa%与函数丫2=cos%在区间［0,2兀］上的图象如下图所示:

由图象可知，函数月=COSQ%与函数丫2=cos%在区间(0,2兀)上的图象有且只有一个交点,

记该交点的横坐标为%o，当0<%<%0时，cosax<cosx,此时/'(%)>0,

当％0<x<27r时，cosax<cosx,此时尸(%)<0,

所以函数/(%)在区间(O/o)上单调递增，在区间。O,2TT)上单调递减，

所以/(%)7na%=/(%o)>f(0)=0，又f(2兀)=sin2cm,

若函数/(%)在区间［0,2兀］上有且只有一个零点，则/(2TT)=sin2an>0,

因为0Va<1,则0<2cm<2TT,

-1

所以0<2。兀<兀，解得0Va<于故A正确；

对于8：若函数/(%)在区间［0,2扪上有且只有一个零点时，

由/选项可知，函数在区间(O,%o)上单调递增，在区间(%。,2兀)上打电脑递减，

因为/(°)=0，/(2TT)=sinlan>0,

所以对于任意的汽E［0,2兀］,/(%)>0,故3正确；

对于C：取a—贝=sin：一之sin%=sin|—sin|cos=sin|(l—cos：),

因为04％W2TT,贝!J0W：47r,

令/(%)=0,可得sin|=0或cos|=1,可得|=0或|=冗,

解得X=。或％=2TT,

所以当a=2时，函数/(%)有两个零点，故C错误；

对于D：当a>1时，若0V%<2TT,贝IJO<ax<2am且2。兀>2兀，

当％6(0,2兀)时，令，(x)=0,可得出cosa%=cosx=COS(2/CTT±x)(fcGZ),

至少可得出a%=2TT—%或。%=%+2TT,

即函数/(%)在区间(0,2TT)上至少有两个极值点，不合题意，

所以0<a<1,

下面证明：0V%<]时，sinx<%,

构造函数九(%)=x—sinx,其中0<%<],则九'(%)=1—cosx>0,

所以函数以%)=%-sin%在区间(05)上为增函数，

所以九(%)>九(0)=0,BPsinx<x,

分以下三种情况证明/Go)<»厂1|.兀恒成立，

因为=a(cosQ%()—COSXQ)=0,可得cos。%。=cosx0,

因为0Vax0<x0<2TT,由cosa%。=cosx0,可得出a%。=2TT—%0,所以％o=

贝ijsi7ia%o=sin(27r—x0)=—sinx0,

①当a=1时，x0=y,则/"CO=sing-]sinx,

即/（珀<史上修.兀成立,

②当：<a<l时，久0=急6（兀,：）,

/(%o)=sinax0—asinx0=—sinx0—asinx0=—(a+l)sinx0=(a+l)sin(—x0)

=(a+l)sin(%0—TT)=(a+l)sin(^-—TT)=(a+l)sin^^<(a+1)•=(1—a)7i=

Q+1—|3Q-1|

综上所述，当函数f（x）只有一个极值点Xo时，/Qo）<E二尸■兀恒成立,

故选：ABD.

利用f（0）=0以及零点存在定理推导出当a>1时，函数/（久）在［0,2初上至少有两个零点，结合图象

可知当0<a<l时，函数f（x）在（0,2兀）上有且只有一个极值点，利用导数分析函数f（x）在（0,2兀）上

的单调性，可判断4是否正确；利用4选项的结论可判断B选项是否正确；取a=：,解方程〃久）=0可

-111

判断C是否正确；分析出当/（X）在（0,2兀）上只有一个极值点时，0<a<l,分a=『0<a<---<

a<1三种情况讨论，结合sinx<%,可判断。是否正确.

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

10.答案：ACD

解析：解：<％+y+a=0与圆（％-6）2+（y—=2相切，d=他奇可=&

则a+b+1=2,即a+b=l（a,b为正实数）,

直线x+y+a=0与直线x+y-b=0的距离是型=+（定值），故A正确；

（-a-瓦）2+（b—I）2=I2+a2<2（0Va<1）,・,•点（-a,b）一定在该圆内，故3错误；

心中表示直线a+b=1上的点（a,b）到原点的距离，最小为原点到直线的距离等于白，故C正确;

当且仅当b+l=2,即b=l时取等号，

va+h=l（a,b为正实数），0<b<1,则上式等号不成立.

2

5T的取值范围是（0,+8）,故。正确.

故选：ACD.

由圆心到已知直线的距离等于圆的半径可得a+b=l（a,b为正实数），再由两平行线间的距离公式判

断出把点的坐标代入圆的方程判断8;由点到直线的距离公式判断C;利用基本不等式求最值判断以

本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式、两平行线间的距离公式的应用，训练了利

用基本不等式求最值，是中档题，

11.答案：AB

解析：解：对于4从等距离的抽取100人，抽取的间隔为翳=10,由于46号被抽到，所以满足的

关系式为6+10（几—1）,由于6+10（九—1）=616,解得九=62,故A正确；

对于8：随意取出2粒都是黑子的概率为右2粒都是白子的概事为则从中任意取出2粒恰好是不同

色的概率为1-AH=H，故3正确;

对于C:过01，%），（%2，、2）两点的直线方程为（y-%）（K2-％1）=（久一%1）（72-、1），故C错误;

对于D：经过点（1,1）且在X轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0和y=x,故£>错误.

故选：AB.

直接利用系统抽样的应用判断4的结论，利用古典概型的应用判断B的结论，利用直线的两点式和截

距式的应用判断CD的结论.

本题考查的知识要点：系统抽样，古典概型，直线的两点式和截距式，主要考查学生的运算能力和

转换能力及思维能力，属于中档题.

12.答案：ABD

解析：解：•・•渐近线Z的方程为y=^x,.q=遍,

Fi(-c,0)至W的距离为38,3V3==b

••・a=3,

•••双曲线的标准方程为巴-g=1,即选项A正确;

927

c=Va2+b2=A/9+27=6,

.•・&(-6,0),尸2(6,0),

.•.^1=12=1^1，|PF2|=6,

在等腰△尸&尸2中，COSZ.PF2F1==

\F1F2\

2

•••sm^PF2F1=71-COSZ.PF2F1=苧

19

・•・Xp=\OF2\-\PF2\-COS^PF2F1=6-6X-=-,

yP=\PF2\,sinZ-PF2F1=6x乎=哼即选项D正确；

\OP\=Jd)2+(等)2=3屉,

.■.\VFl+PF^\=\2OP\=2\OP\=6V6)即选项C错误.

故选：ABD.

选项A，易知b=3W，a=3,从而写出双曲线的标准方程;

选项3,由角分线定理知，^=~

选项。，结合选项2中结论和双曲线的定义，可得1PF/=12,IPF2I=6,再利用三角函数，求得

点P的坐标；

选项C,由I丽+A及I=|2而I，得解.

本题考查双曲线的定义与几何性质，角分线定理，三角函数的简单计算，考查数形结合思想、逻辑

推理能力和运算能力，属于中档题.

13.答案：12

解析：解：过4B两点分别作准线的垂线，再过B作4C的垂线,

垂足为E,

设BF=m,贝=m,

■：AF=2FB，即瓦＜+2而=6,

AC=AF=2m,

如图，在直角三角形ABE中，

AE=AC-BD=2m—m=m,

AB=3m,•••cosZ-BAE=—=-

AB3

•••直线45的斜率为：k=tan^BAE=2V2

直线4B的方程为：y=2A/2(X-2)

将其代入抛物线的方程化简得：%2-5%+4=0

•••xr=4,x2=1

・•・4(4,4&),B(L-2V2),又F(2,0)

则I户皿+2|丽|回6+6=12.

故答案为：12.

先过4B两点分别作准线的垂线，再过B作4C的垂线，垂足为E,如图，在直角三角形ABE中，求

得COSNBNE=得出直线4B的斜率，进而得到直线4B的方程，将其代入抛物线的方程求得4B的坐

标，最后利用距离公式求得结果即可.

本题主要考查了抛物线的简单性质、共线向量及解三角形的知识，解答本题的关键是利用抛物线的

定义作出直角三角形ABE,从而求得直线的斜率，体现了数形结合起来的思想.

14.答案：运

3

解析：解：=NPC4=90。，的中点。为三棱锥P—4BC的

外接球球心，

二三棱锥。-ABC是棱长为2的正四面体，

过。作。M_L平面4BC,垂足为M,连接并延长BM交4C于D,则。为

AC的中点，

•••OD=BD=V3,MD=-BD=—,

33

•••OM=y/OD2-MD2=—.

3

故答案为：壁.

3

根据棱锥的特征可知24为外接球的直径，再利用正四面体的结构特征求出正四面体的高.

本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题.

15.答案：(%-6)2+(y-5)2=10

解析：

本题主要考查求圆的标准方程，求出圆心和半径，是解题的关键，属于基础题.

根据圆心即28的中点(6,5),半径为从而得到以4B为直径的圆的方程.

解：由题意可得，圆心即4B的中点(6,5),半径为|&8=|J(9—3尸+(4—64=内,

故以AB为直径的圆的方程为(x-6)2+(y—5)2=10,

故答案为(x-6)2+(y-5)2=10.

16.答案：9一9=1

123

2

解析：解：设双曲线方程为/一匕=k.

4

•••双曲线过点(―1,4),••.1—?=鼠

•••k=-3.

29

所以双曲线方程为：匕-二=1.

123

22

故答案为：匕—二=1.

123

设双曲线方程为/-二=卜.利用双曲线过点(-1,4),求出k,即可得出双曲线方程.

本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，是基础题.

17.答案：解：,•・函数=10g(2a-l)X在其定义域上是减函数，

1

0<2a—l<l=>-<a<l,

2

故命题p为真，则

・•・函数g(x)=Jx+|x—a|-2的定义域为R,即x+|x-a|-220对VxeR恒成立，

记九(%)=%+|x—a|—2,

则，依）=行二。—2,f的最小值为a-2,

.,.a-2>0=>a>2,

故命题q为真，则aN2,

由复合命题真值表知，如果pvq为真，则命题p、q至少一个为真，

a的取值范围为G，1）U[2,+8）.

解析：根据对数函数的单调性求得命题p为真时a的取值范围；利用绝对值函数的最小值，分析命题q

为真时a的范围，

根据复合命题真值表知：如果pvq为真，则命题p、q至少一个为真，故只需求并集可得答案.

本题借助考查复合命题的真假判定，考查对数函数的单调性及绝对值函数的最值，解题的关键是求

出组成复合命题的简单命题为真时的条件.

18.答案：解：（I）把Ci化成标准方程可得：（x—l）2+（y—1）2=5,

则圆G的圆心01（1,1）,半径q=花.-------------------（1分）

由直线/经过点P（0,2）,设直线/的方程为y—2=kx,即日—y+2=0,-----------（2分）

过。1作。1AB,则。是4B的中点，所以DB==痘,

22

在RtAOiDB中，OR=yjDB+O1B=V2,------------------（3分）

所以。1到直线/的距离d=4詈=。1。=&,；.k=1,此时直线I：y=x+2；-----------（5分）

当直线/的斜率不存在时，即直线/：x=0,此时4（0,3）,B（0,—1）,|4B|=442百，不满足题意,

一（6分）

故直线/的方程为：y=%+2.------------------------------------（7分）

（口）因为圆。2与圆G相切于点N（2,3）,设经过。/的直线为小贝的]=W=2,

所以直线人的方程为y-1=2Q-1）,即2%-y-1=0；-----------（9分）

设E为线段MN的中点，由M（8,5）,N（2,3）可得E（5,4）.

因为即^=言=点设MN的垂直平分线为"，则的2=-3,

所以直线"的方程为y—4=—3Q—5）,即3x+y—19=0,-----------（11分）

由题意知，圆。2的圆心。2既在直线A上，也在直线%上，即。2为两直线的交点，联立两直线方程得:

—MJ。'即。2（4,7），（13分）

又投=（4-8）2+（7-5）2=20,所以圆。2的方程为：（%-4）2+（y-7/=20.----------（14分）

解析：（I）把G化成标准方程，可得圆心坐标与半径，再分类讨论，利用垂径定理，结合弦长，即

可求直线/的方程；

（E）求出直线4的方程，设E为线段MN的中点，求出MN的垂直平分线为"，利用圆。2的圆心。2既在

直线k上，也在直线％上，求出圆心坐标，从而可得圆C2的方程.

本题考查圆的方程，考查直线与圆，圆与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计

算能力，属于中档题.

19.答案：（1）证明：如图，

•••平面ZMC1•平面B4C,且平面D4CC平面

BAC=AC,

BCu平面R4C,且BC1AC,BC，平面IMC,

而4。u平面£MC,BCLAD；

（2）解：以C为原点，分别以C4CB所在直线为

x、y轴建立空间直角坐标系,

在图1中，•••ZXCB=^ADC=^DAC=^CAB=AB=4,

26

••BC=2,AC=2V3,CD=W，CM=AC-AM=

・・・M(誓,0,0),E(V34,0),8(020),D(f,0,|)，

EM=(-今-1,0)，ED=(-/,-1,|),EB=(—V3,1,0).

设平面MOE的一个法向量为元=(x1,y1,z1)f

的

元V3-o

3--

由

前

V3-3取Z1=1,可得元=(3V3,-3J);

元2+

--4-o

2

设平面DEB的法向量为记=(x2,y2fz2)f

.TH,ED=—-%2_V?-IZo=0-n-,_,-,—

由_22/222,取%2=1,Z得F记=(1,遮遮).

.m•丽=-A/3%2+丫2=0

设平面MDE与平面DEB所成锐二面角为仇

_|?n-n|

则cos。

_\m\-\n\V37xV7259

故平面“DE与平面DEB所成锐二面角的余弦值为此.

解析：（1）由已知结合平面与平面垂直的性质可得BC1平面ZMC,从而得到BC_LAD；

（2）以C为原点，分别以C4CB所在直线为;c、y轴建立空间直角坐标系，分别求出平面MDE的一个

法向量与平面DEB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求得平面MDE与平面DEB所成锐

二面角的余弦值.

本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解

空间角，是中档题.

20.答案：⑴曲线方程为朋=绘.（2）当观测点4B测得AC、8C距离分别为鼠医科时，应

向航天器发出变轨指令.

解析：试题分析：（1）由题意变轨之后轨迹为开口向上的抛物线，所以利用待定系数法可以先设出方

程，再利用条件建立未知数的方程进而求解；

（2）由题意及图形可知变轨点C实质为两圆锥曲线的交点，故联立两方程即可求解.

试题解析：（1）设曲线方程为裁=./#卷，由题意可知，酹科丹彗

曲线方程为心,——:整「4F—・••陶——..•曲线方程为.=一一式「科—.

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（2）设变轨点为峨国威:，根据题意可知：口瞬鳖得蹴铲-觌-嬲=领，

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得朋=啾或步,=-丁（舍去），二,般=⑷>二3=电图=/i（舍去），二.黛噬:，|.|=象区>|溜铺|=珊.

答：当观测点4B测得4C、8C距离分别为豕底