2024高考数学二轮复习讲义：圆锥曲线高考大题分类讲解

圆锥曲线高考大题的类型与解法

圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一,可以这样毫不夸张地说,只要是数学高考试卷,

都必有一个圆锥曲线问题的12分大题。从题型上看是20（或21）题的12分大题，难度为

中，高档题型，一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲

线大题问题主要包括：①已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直

线的斜率）；②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求多边形的面积（或多边

形面积的最值）；③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式子的值（或取

值范围）和证明某个式子的值为定值；④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求

点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤己知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线

过定点（或点在定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也

有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特

征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。

【典例1］解答下列问题：

2

尤2v1

1、（理）已知椭圆E：—+（a>b>0）的离心率为一，椭圆E上的点到其左，右焦点

a-b-2

的距离之和为4o

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过左焦点F的直线1与椭圆E相交于A,B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，

若椭圆E上存在点N满足ON=XOM（A>0）,求四边形AOBN面积的最小值及此时X

的值。

x~y~1

（文）已知椭圆E：—+-^-=1（a>b>0）的离心率为5,椭圆E上的点到其左，右焦点的

距离之和为4。

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过左焦点F的直线1与椭圆E相交于A,B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，

若椭圆E上存在点N满足ON=3OM,求四边形AOBN的面积（成都市高2021级高三零

诊）

2、设抛物线C：y2=2px（p>0）,直线x-2y+l=0与C相交于A,B两点，且|AB|=4Ji5。

（1）求p；（2023全国高考甲卷）

（2）设C的焦点为EM,N为C上两点，MF.NF=0,求AMNF面积的最小值。

3、在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0,1）的距离，记动点P的

轨迹为W。

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明矩形的周长大于3百（2023全国高考新高

考I）

r2v2

4、已知椭圆E：r+二勺（a>b>0）的右焦点为K，上顶点为H,0为坐标原点，

a2b2

3

NOHKuBO-，点（1,-）在椭圆,E上。

（1）求椭圆E的方程；

（2）设经过点F2且斜率不为0的直线1与椭圆E相交于A,B两点，点P（-2,0）,Q（2,

0）,若M,N分别为直线AP,BQ与Y轴的交点，AMPQ,ANPQ的面积分别为4.躅，SANPQ

5

求上丝的值（成都市2020级高三零诊）

。附PQ

%2y2

5、已知点A（2,1）在双曲线C：—=1（a>l）上，直线1交C于P,Q两点，直

a~a-

线AP,AQ的斜率之和为0。

（1）求直线1的斜率；

（2）若tan/PAQ=2也，求APAQ的面积（2022全国高考新高考I卷）

22

6、（理）已知椭圆C：*•+亲*=1（a>b>0）的左，右焦点分别为大，工，点P在椭圆C

上，|PF,|=3,N灯&二3,且椭圆C的离心率为:。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线1：y=kx+m（mWO）与椭圆C相交于A,B两点，O为坐标原点，求AOAB

面积的最大值。

22

（文）已知椭圆C：5+方=1（a>b>0）的左，右焦点分别为入，点P在椭圆C上,

FPF=11

|P6|=2,ZI!J'且椭圆C的离心率为5（成都市2019级高三零诊）

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点M（3,0）直线1与椭圆C相交于A,B两点，求AABK面积的最大值。

221

7、（理）已知椭圆C：二+2=1（a>b>0）经过点（6，-）,其右顶点为A（2,0）。

a~b-2

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P,Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为求AAPQ面积的

20

最大值。

22i

（文）已知椭圆C：「+与=1（a>b>0）经过点（也,-）,其右顶点为A（2,0）。

a2b22

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P,Q在椭圆C上，且满足直线AP与AQ的斜率之积为卷，证明直线PQ经过

定点，并求AAPQ面积的最大值（成都市2019级高三二诊）

8、（理）已知抛物线C：f=2py（p>0）的焦点为F,且F与圆M：/+（），+4）2=［上点

的距离的最小值为4（2021全国高考乙卷）。

（1）求P；

（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求APAB面积的最大值。

（文）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F到准线的距离为2。

（1）求C的方程；

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值。

9、已知椭圆C：―+g"=1（a>b>0）经过点A（1,-----）,其长半轴长为2。

a2b-2

（1）求椭圆C的方程；

（2）（理）设经过点B（-1,0）的直线1与椭圆C相交于D,E两点，点E关于X轴的对

称点为F,直线DF与X轴相交于点G,求ADEG的面积S的取值范围。（文）设经过点B

（-1.0）的直线1与椭圆C相交于D,E两点，点E关于X轴的对称点为F,直线DF与X

轴相交于点G,记ABEG与ABDG的面积分别为S1,S2,求|S「S?|的最大值（2021成都

市高三二诊）。

10、已知椭圆C：£+广=1（a>b>0）的左，右焦点分别为石（-G,0）,F,(V3,0),

a1b-

且经过点A（73,-）（2020成都市高三零诊）。

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）（理）过点B（4,0）作一条斜率不为0的直线1与椭圆C相较于P,Q两点，记点P

关于X轴对称的点为P,若直线P'Q与X轴相较于点D,求ADPQ面积的最大值。

（文）过点B（4,0）作一条斜率不为0的直线1与椭圆C相较于P,Q两点，记点P关于X

轴对称的点为P,证明直线P'Q经过X轴上一定点D,并求出定点D的坐标。

22［7T

11、已知椭圆C：---F2y=l（0<m<5）的离心率为——,A>B分别为C的左，右顶点。

25m-4

（1）求C的方程;

（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|,BP1BQ,求AAPQ的面积（2020

全国高考新课标HD。

12、已知椭圆C：二+£=1（a>b>0）过点M（2,3）,点A为其左顶点，且AM的斜率

crb-

为工（2020全国高考新高考H）。

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）N为椭圆上任意一点，求AAMN面积的最大值。

［思考问题1J

（1）【典例1】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，

②所求问题是多边形面积（或周长）的值（或取值范围或最值）；

（2）解答这类问题的基本思路是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不

存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方

程为：x=my+n,meR）,运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去

一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参

数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；

④运用多边形面积的相关知识把多边形的面积表示成关于参数的函数;⑤求出关于参数的函

数值（或值域或最值）；⑥得出问题的结果。

【典例2］解答下列问题：

1、设抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F,点D（p,0）,过点F的直线交C于M,N

两点，当直线MD垂直于X轴时，|MF|=3。

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线AB,MN的倾斜角分别为a,

B,当a-夕取得最大值时，求直线AB的方程（2022全国高考甲卷）

2、已知椭圆C：餐+方=1（a>b>0）的四个顶点围成的四边形的面积为2氐右焦点工

到直线x-y+2=0的距离为2&（2021成都市高三三诊）。

（1）求椭圆C的方程；

（2）（理）过点M（-3,0）的直线1与椭圆C相交于A,B两点，过点工作直线।的垂线，

垂足为N（点A,B在点M,N之间），若AA工M与△BF?N面积相等，求直线1的方程。

（文）过点M（-3,0）的直线1与椭圆C相交于A,B两点，过点K作直线1的垂线，垂

足为N（点A,B在点M,N之间），若|MA|=|BN|,求直线1的方程。

3、在平面直角坐标系XOY中，已知点耳（-J万，0）,6（J万，0）,点M满足|M片HMF21=2,

记M的轨迹为C。

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=L上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA|.|TB|

2

=|TP|.|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和（2021全国高考新高考I卷）。

4、抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在X轴上，直线l：x=l交C于P,Q两点，且OPLOQ,

已知点M（2,0）,0M与1相切。

（1）求C,OM的方程；

（2）设&,4,A3是C上的三个点，直线A,A2,4A3均与。M相切，判断A2A3与。M

的位置关系，并说明理由（2021全国高考甲卷）。

22

5、（理）已知椭圆C：=+2=1（a>b>0）的右顶点为A,上顶点为B（0,1）,右焦点

ab~

为F,连接BF并延长与椭圆C相交于点C,且|CF|=-|BF|,

7

（1）求椭圆C的方程；

（2）设经过点（1,0）的直线1与椭圆C相交于不同的两点M,N,直线AM,AN分别与

直线x=3相交于点P,点Q,若AAPQ的面积是AAMN的面积的2倍。求直线1的方程。

22n6

（文）已知椭圆C：——+=1（a>b>0）的离心率为，且经过点（、/5,）。

a2b~22

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在经过点（0,2）的直线与椭圆C相交于不同的两点M,N,使得M,N与Y

轴上的一点P连线后组成以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线1的方程；

若不存在，请说明理由（2019成都市高三零诊）

6、（理）已知长度为4的线段AB的两个端点A,B分别在X轴和Y轴上运动，动点P满

足记动点P的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程；

（2）设不经过点H（0,1）的直线y=2x+t,与曲线C相交于两点M,N,若直线HM与

HN的斜率之和为1,求实数t的值。

（文）已知点A（m,0）和B（0,n）,且机2+"二⑹动点P满足BP=3PA,记动点P

的轨迹为曲线c。

（1）求曲线C的方程；

（2）设不经过点H（0,1）的直线y=2x+t,与曲线C相交于两点M,N,若直线HM与

HN的斜率之和为I,求实数t的值（2019成都市高三一诊）

221

7、已知椭圆C：=+与=1（a>b>0）的短轴长为40,离心率为L

a-b-3

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）（理）设椭圆C的左右焦点分别为石，F2,左右顶点分别为A,B,点M,N为椭圆

C设位于X轴上方的两点，且-NWFzN,记直线AM,BN的斜率分别为匕，k2,若3匕

+2刈=0,求直线"M/的方程。（文）设椭圆C的左右焦点分别为耳，居，左右顶点分别

为A,B,点M,N为椭圆C设位于X轴上方的两点，且F1M〃F2N,直线6M的斜率为

276,记直线AM,BN的斜率分别为仁，k2,求3占+2网的值（2019成都市高三二诊）

r思考问题2j

（1）【典例2】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，

②所求问题是直线的方程或直线斜率的值（或取值范围）；

（2）解答这类问题的基本思路是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存

在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程

为：x=my+n,meR）,然后运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程，

消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关

于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式

子；④结合问题条件得到关于参数k（或m）的方程（或不等式）（注意相交于不同两点的

条件）；⑤求解方程（或不等式）求出参数k（或m）的值；⑥得出问题的结果。

【典例3］解答下列问题：

1、（理）已知月，尸2分别为椭圆C：—+^=1（a>b>0）的左，右焦点，与椭圆C有相

V2

同焦点的双曲线1-丁=1在第一象限与椭圆c相交于点P,且「尸2仁1。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线y=kx+l与椭圆C相交于A,B两点，O为坐标原点，且0£）=m08（m>0）,

若椭圆C上存在点E,使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围。

（文）已知中心为原点，对称轴为坐标轴的椭圆C经过点,巫）,Q（瓜，空）。

33

（1）求椭圆C的方程;

(2)设过点(0,1)的直线1与椭圆C相交于A,B两点，2OD=3OB,OE=OD+OA,

且点E在椭圆C上，求直线1的方程(成都市高2020级高三二诊)

22

2、设双曲线C：=-[=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为y=±百x。

a~b~

(1)求双曲线C的方程;

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别相交于A,B两点，点P(%,%)，Q(%，乂)，

在C上，且不>%>0，%>0,过点P且斜率为-6的直线与过点Q且斜率为G的直线相

交于点M,请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个条件成立。①M在AB上；②

PQ//AB,③=注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分(2022全国

高考新高考11卷)

3、已知抛物线C：y2=2px(p>0,pH4),过点A(2,0)且斜率为k的直线与抛物线C

相交于P,Q两点。

(1)设点B在x轴上，分别记直线PB,QB的斜率为占，k2,若尤+&=0,求点B的坐

标；

(2)过抛物线C的焦点F作直线PQ的平行线与抛物线C相交于M,N两点，求-Ml

\AP\.\AQ\

的值(成都市2019级高三一诊)

4、(理)已知椭圆E：/+F=1(a>b>0)的左，右焦点分别为《(-1,0),F,(1,

0)，点P在椭圆E上，PF21F,F2,且|P6|=3|PFJ。

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设直线1：x=my+l(meR)与椭圆E相较于A,B两点，与圆/+y)=/相较于C,D

两点，求|AB|.|CD/的取值范围。

22

(文)已知椭圆E：^-+^-=1(a>b>0)的左，右焦点分别为R(-1,0),F,(1,0),

a~b~

点P（1,—）在椭圆E上。

2

（I）求椭圆E的标准方程;

（2）设直线1:*=01丫+1（111€咫与椭圆£相较于八，B两点，与圆％2+》2=〃2相较于c,D

两点，当|AB|.|CD/的值为8贬时，求直线1的方程（2020成都市高三二诊）。

5、己知椭圆C：=+［=1（a>b>0）的左焦点为6（-G，0）,点Q（1,—）

a2b-2

在椭圆C上（2020成都市高三三诊）。

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）经过圆O：Y+），=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A,B,直线

PA,PB分别与圆O相较于异于点P的M,N两点。

（理）①求证：OM+ON=0；②求AOAB的面积的取值范围。（文）①当直线PA,PB的

斜率都存在时，记直线PA,PB斜率分别为匕，k2,求证：k「k,=-l；②求L型的取值范

12'2\MN\

围。

22=1（a>b>0）的离心率为它，且过点A（2,1）。

xy

6、已知椭圆C:-y+

a2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点M,N在C上，且AM±AN,AD±MN,D为垂足，证明：存在定点Q,使得

|DQ|为定值（2020全国高考新高考I）o

「思考问题3J

（1）【典例3］中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，

②所求问题是某一式子的值（或取值范围或最值）或证明某一式子为定值；

（2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不

存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方

程为：x=my+n,meR）,运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去

一个未知数得到关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参

数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；

④运用相关知识把问题中的式子表示成关于参数的函数；⑤求出关于参数的函数的值（或值

域或最值）或证明该式子的值与参数无关（为定值）；⑥得出问题的结果。

【典例4］解答下列问题：

x9v9

1、（理）已知椭圆C：-+^-=l（a>b>0）的左，右焦点分别为《，居，上顶点为D,

a

且AD5巴为等边三角形，经过焦点工的直线1与椭圆C相交于A,B两点，AF；AB的周

长为8。

（1）求椭圆C的方程；

（2）试探究：在x轴上是否存在定点T,使得L4.73为定值，若存在，求出点T的坐标;

若不存在，请说明理由。

尤2y2

（文）已知椭圆C：A炉=1（a>b>0）的左，右焦点分别为《，F2,上顶点为D,且

△D±工为等边三角形，经过焦点弱的直线1与椭圆C相交于A,B两点，AF；AB的周长

为8。

（1）求椭圆C的方程；

（2）求AF,AB的面积的最大值及此时直线1的方程（成都市2020级高三一诊）

2、在同一平面直角坐标系XOY中，圆V+y2=4经过伸缩变换9：（x'=x,后得到曲线

c。

（1）求曲线c的方程；

（2）（理）设直线1与曲线C相较于A,B两点，连接BO并延长与曲线C相较于点D,

且

|AD|=2,求AABD面积的最大值；（文）设曲线C与X轴和Y轴的正半轴分别相交于A,

B两点，P是曲线C位于第二象限上的一点，且直线PA与Y轴相交于点M,直线PB与X

轴相交于点N,求4ABM与ABMN的面积之和（2021成都市高三零诊）。

3、已知椭圆C：=+2=1（a>b>0）的离心率为亚，且直线±+»=1与圆x2+>2=2

a~b~2ah

相切。

（1）求椭圆C的方程；

（2）（理）设直线1与椭圆C相交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点，O为坐标

原点，射线OM与椭圆C相交于点P,且O点在以AB为直径的圆上，记AAOM,ABOP

的面积分别为5，52,求学的取值范围。（文）设直线1与椭圆C相交于不同的两点A,

B,M为线段AB的中点,O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P,且|OP|=V15|OM|,

求AABO的面积（2021成都市高三一诊）

(-邪),0),F,(6,

4、己知椭圆C：/十瓦=1（a>b>0）的左，右焦点分别为耳

0）,且经过点A（^,-）（2020成都市高三零诊）。

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）（理）过点B（4,0）作一条斜率不为0的直线1与椭圆C相较于P,Q两点，及点P

关于X轴对称的点为耳，若直线P'Q与X轴相较于点D,求ADPQ面积的最大值。（文）

过点B（4,0）作一条斜率不为0的直线1与椭圆C相较于P,Q两点，记点P关于X轴对

称的点为P,证明直线P'Q经过X轴上一定点D,并求出定点D的坐标。

5、已知椭圆C：1+%=1（a>b>0）的右焦点F与抛物线C,的焦点重合，G的中心

ao'

与G的顶点重合，过F且与X轴垂直的直线交G于A,B两点，交于C,D两点，且ICDI

4

=-|AB|（2020全国高考新课标H）。

3

（1）求G的离心率；

（2）（理）设M是G与。2的公共点，若IMF|=5,求G与。2的标准方程。（文）若G的

四个顶点到G的准线距离之和为12,求G与G的标准方程。

6、（理）已知抛物线C：y2=2px过点P（I,1）,过点（0,；）的直线1与抛物线C交

于不同的两点M,N,过点M作X轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中。为

原点。

（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A为线段BM的中点。

/7

（文）已知椭圆C的两个顶点分别为A（-2,0）,B（2,0）,焦点在X轴上，离心率为士

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）点D为X轴上一点，过D作X轴的垂线交椭圆C于不同两点M,N,过D作AM的

垂线交BN于点E,求证：ABDE与ABDN的面积之比为4：5（2017全国高考北京卷）

（理科图）（文科图）

「思考问题4」

（1）【典例4】中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，

②所求问题是某点的坐标（或点的轨迹方程）；

（2）解答这类问题的基本方法是：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不存

在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方程

为：x=my+n,meR）,运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程得到方

程组，消去一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和

与积关于参数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）

的式子；④运用相关知识结合问题的条件把点的坐标表示成关于参数k（或m）的式子；⑤

求出参数的值得到点的坐标（或消去参数得到点的轨迹方程）；⑥得出问题的结果。

【典例5］解答下列问题：

1、已知椭圆C：—-+—=1（a>b>0）的离心率为1,点A（-2,0）在C上。

a2b23

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点（-2,3）的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证

明：线段MN的中点为定点（2023全国高考乙卷）

2、已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（-2君，0）,离心率为6。

（1）求C的方程；

（2）记C的左，右顶点分别为4，A，过点（-4,0）的直线与C的左支相交于M,N两

点，M在第二象限，直线MA与直线NA?相交于点P,证明：点P在定直线上。

3、（理）已知斜率为也的直线1与抛物线E：y2=4x相交于p,Q两点。

（1）求线段PQ中点纵坐标的值；

（2）已知点T（百，0）,直线TP,TQ分别与抛物线E相交于M,N两点（异于P,Q）,

求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标。

（文）已知斜率为6的直线1与抛物线E：y2=4x相交于p,Q两点。

（1）求线段PQ中点纵坐标的值；

（2）已知点T（6,0）,直线TP,TQ分别与抛物线£相交于M,N两点（异于P,Q）,

则在y轴上是否存在一定点S,使直线MN恒过定点，若存在，求出点S的坐标；若不存在,

请说明理由（成都市高2020级高三三珍）

3

4、已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为X轴，Y轴，且过点A（0,-2）,B（-,-1）

2

两点。

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点P（l,-2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于X轴的直线与线段AB

交于点T,点H满足MT=T"，证明直线HN过定点（2022全国高考乙卷）

221

5、已知椭圆C：乌+==1（a>b>0）的离心率为，，且经过点（"，2）,椭圆C的

a2b-2

右顶点到抛物线E：y2=2px（p>0）的准线的距离为4。

（1）求椭圆C和抛物线E的方程；

（2）设与两坐标轴都不垂直的直线1与抛物线E相交于A,B两点，与椭圆C相交于M,

N两点，O为坐标原点，若。4.08=4,则在x轴上是否存在点H,使得x轴平分NMHN,

若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由（成都市2019级高三三珍）

6、已知椭圆C的方程为］+y2=i（a>b>0）,右焦点为F（、/5,0）,且离心率为逅。

a23

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线/+）,2=/相切，证明M,N,F三点

共线的充分必要条件是|MN|=6,（2021全国高考新高考H卷）。

v-22

7、（理）已知椭圆C：一+v==1的右焦点为F,过点F的直线（不与X轴重合）与椭圆

2b2

C相交于A,B两点，直线1：x=2与X轴相较于点H,过点A作ADJ_1,垂足为D。

（1）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；

（2）证明：直线BD过定点E,并求出点E的坐标。

2

（文）已知椭圆C：土+>2=1的右焦点为F,过点F的直线（不与X轴重合）与椭圆C相

2

交于A,B两点，直线1：x=2与X轴相较于点H,E为线段FH的中点，直线BE与直线1

的交点为D。

（1）求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；

（2）证明：直线AD与X轴平行（2020成都市高三一诊）。

x2,

8、已知A,B分别为椭圆E：—+y-=l（a>l）的左，右顶点，G为E上顶点，AG.GB=8,

矿

P为直线x=6上的动点，PA与E的另一个交点为C,PB与E的另一个交点为D。

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点（2020全国高考新课标I）。

9、（理）已知抛物线C：》2=2py经过点（2,-1）。

（1）求抛物线C的方程及其准线方程；

（2）设0为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线1交抛物线C于两点M,N,直线

y=T分别交直线OM,ON于点A和点B,求证：以AB为直径的圆经过Y轴上的两个定点。

22

（文）已知椭圆C：=+4=1（a>b>0）的右焦点为（1,0）,且经过点A（0,1）,

a"b'

（1）求椭圆C的方程；

（2）设O为原点，直线1：y=kx+t（tH±l）与椭圆C相较于不同两点P,Q,直线AP与

x轴相较于点M,直线AQ与x轴相较于点N,若|OM|.|ON|=2,求证：直线1经过定点（2019

全国高考北京）

r思考问题51

（1）【典例5］中问题的特点是：①条件是过某一定点的直线与曲线相交于不同的两点，

②所求问题是直线过定点（或点在定直线上）；

（2）解答这类问题的基本方法是：：①设出两点的坐标和直线的斜率k（注意考虑斜率不

存在的情况，为了避免考虑直线斜率的存在和不存在的情况，也可以直接设过定点的直线方

程为：x=my+n,meR）,运用点斜式，写出直线的方程；②联立直线方程与曲线方程消去

一个未知数化为关于x（或y）的一元二次方程；③运用韦达定理得到两根的和与积关于参

数k（或m）的式子，并根据直线方程求出问题中需要的其他量关于参数k（或m）的式子；

④运用相关知识结合问题的条件把直线方程（或某点的坐标）表示成关于参数k（或m）的

式子；⑤确定直线存在与参数k（或m）无关的点（定点）（或把某点的坐标代入给定的直

线方程验证）；⑥得出问题的结果。

圆锥曲线高考大题的类型与解法

圆锥曲线问题是近几年高考的热点问题之一,可以这样毫不夸张地说,只要是数学高考试卷,

都必有一个圆锥曲线问题的12分大题。从题型上看是20（或21）题的12分大题，难度为

中，高档题型，一般的考生都只能拿到4到10分。纵观近几年高考试卷，归结起来圆锥曲

线大题问题主要包括：①已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求直线方程（或直

线的斜率）；②已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求多边形的面积（或多边

形面积的最值）；③已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求某个式子的值（或取

值范围）和证明某个式子的值为定值；④已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，求

点的坐标（或点的轨迹方程）；⑤己知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点，证明直线

过定点（或点在定直线上）等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也

有一定的规律可寻。那么在实际解答圆锥曲线大题问题时，到底应该如何抓住问题的结构特

征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。

【典例1］解答下列问题：

尤2v21

1、（理）已知椭圆E：=+二=1（a>b>0）的离心率为一，椭圆E上的点到其左，右焦点

a-b~2

的距离之和为4o

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过左焦点F的直线1与椭圆E相交于A,B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，

若椭圆E上存在点N满足ON=2OM（A>0）,求四边形AOBN面积的最小值及此时X

的值。

x2y~1

（文）已知椭圆E：—+-^-=1（a>b>0）的离心率为5,椭圆E上的点到其左，右焦点的

距离之和为4。

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过左焦点F的直线1与椭圆E相交于A,B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，

若椭圆E上存在点N满足ON=3OM,求四边形AOBN的面积（成都市高2021级高三零

诊）

【解析】

【考点】①椭圆定义与性质；②求椭圆方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学思想及

运用；④平面向量坐标运算法则和基本方法；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥弦长公式及

运用；⑦三角形面积公式及运用；⑧基本不等式及运用。

【解题思路】（理）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的基本方法，结合问题条件就

可求出椭圆E的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和

椭圆的弦长公式，结合问题条件求出，AB|,点0到直线AB的距离关于参数k,m的式子，根

据三角形的面积公式得到AOAB面积关于参数k,m的表示式，运用基本不等式求出表示

式的最值就可得到AOAB面积的最大值。（文）（1）根据椭圆的性质，运用求椭圆方程的

基本方法，结合问题条件就可求出椭圆E的方程；（2）根据设而不求，整体代入的数学思

想，由点N在椭圆E上得到关于m的方程，求解方程求出m的值，运用点到直线的距离公式

和椭圆的弦长公式，结合问题条件求出IAB，点0到直线AB的距离的值，利用三角形的面

积公式得到AOAB面积，从而就可求出四边形AOBN的面积。

x*23y?]

【详细解答】（理）（1）椭圆E：=+彳=1（a>b>0）的离心率为一，椭圆E上的点

a'b'2

到其左，右焦点的距离之和为4,.•.£=,①，2a=4②，/=/+°2③，联立①②③解得:

a2

22

cr=4»b~=3,.,.椭圆E的方程为：=1；(2)设A(+W，,B(x2»%)，

.,由（1）知F（-1,0）,直线1经过点F,直线1的方程

为x=my-l,联立直线1和椭圆E的方程得：

(4+3〉)y2_6my_9=o,M是AB的中点,

6m9

6m2-8-6/T72-83m

=m(%+%>2=4+3疗=石而,=M(4+3*),OM-

4+3m2

—43帆-423力^、上

(-----,-----7),ON=AOM(2>0),・••N(z-------------r-----7),•点NT

4+3m724+3m24+3"4+3m2

―储

4储32+36

在椭圆E上，.1=1,=4+3阳2=2,|AB|=Jl+加

.(4+3加2)2(4+3加2)2zn2)2

22

6(1+/«)._|0-0+1|_1_11Dn,._13(1+m)

3,1+疝

ON=AOM(zl>0),=4+3"24,S四边形408N=%SAAOB

4+3加2

273(A2-!)3

)>>-,当且仅当分二4,即；1=2时，等号成立,

2

3

四边形AOBN面积的最小值为一,及此时/l的值为2。

2

xy2=1（a>b>0）的离心率为上，椭圆E上的点到其左，右焦

（文）（1）桶圆E：—+

a2

「I

点的距离之和为4,一=一①，2a=4②，a2=b2+c2@,联立①②③解得：a2=4,b2=3,

a2

X~2y2

-1_

椭圆E的方程为:+^=1；(2)设A(X[,,B(x2»%)，由(1)知F

（-1,0）,直线1经过点E.•.直线1的方程联立直线1和椭圆E的方程得:

(4+3m2)y2-6my-9=0,M是AB的中点,

6m9

y+.，，x为=-,♦••$+马

4+3疗4+3疗Q

6加2-8-6m2-8

=m(%+%)-2=—..-=..，，

4+3m~24+3m~

,-43mc,-43m、入、,八*,12

=>M(------,------),•/OM=(---------,---------),ON=30M，:.N(------

4+3/4+3"4+3"4+3"4+3m"

9m3621m24

点N在椭圆E上,-------+-------=1,=9〃/-3m-2-20=0,

4+3M(4+3〃?2)2(4+3加2)2

.6病+36(4+3符

2512(1+府」必

m--,|AB|=yjl+m2V(4+3/n2)2

34+3”